Prof.Dr. W.Koepf
Dipl.-Math. T.Sprenger Ubungen zur Vorlesung
Ubungsblatt 03 Grundlagen der Algebra & Computeralgebra 05.11.2008
Aufgabe 1: (Nicht-euklidische Ringe) Sei R =
a + bp
5 j a; b 2 Z mit + und aus dem Korper C. (R; +; ) ist ein kommutativer Ring mit Eins.
(a) Gegeben sei die Abbildung
' : R ! Z; a + bp
5 7! a2+ 5b2:
Zeigen Sie, dass ' zwar kein Ringhomomorphismus ist, aber immerhin '(rs) = '(r)'(s) fur alle r; s 2 R gilt. Folgern Sie daraus, dass
s j t in R ) '(s) j '(t) in Z:
(b) Zeigen Sie, dass die Menge der Einheiten in R die Menge f1; 1g ist und die Zahlen 2 +p 5; 2 p
5; 3 irreduzible Elemente aus R sind1. Damit ist wegen 9 = 3 3 = (2 +p
5) (2 p 5)
gezeigt, dass in R die Zerlegung in irreduzible Elemente nicht eindeutig ist!
(c) Bestimmen Sie in R alle Teiler von 9 und von 3(2 +p
5) mit nichtnegativem Realteil unter Verwendung von ' und Aussage (a).
(d) Zeigen Sie, dass in R nicht immer ein groter gemeinsamer Teiler existiert.
Hinweis: Betrachten Sie gcd(9; 3(2 +p 5)).
(8 Punkte)
Aufgabe 2: (Lucas-Test)
Sei n 2 N3. Es gilt n 2 P genau dann, wenn es ein a 2 N gibt mit 1 < a < n und an 1 1 mod n und an 1q 6 1 mod n
fur alle Primteiler q von n 1.
(a) Beweisen Sie obige Aussage.
(b) Implementieren Sie den Lucas-Test in einem Computeralgebrasystem Ihrer Wahl, der obige Aussage verwendet, um zu testen, ob n 2 N eine Primzahl ist oder nicht.
(c) Welche Kenntnisse von n bzw. n 1 sollte man haben, damit eine Anwendung des Lucas-Tests sinnvoll ist?
(8 Punkte) Es reicht aus, die Irreduzibilitat exemplarisch fur eine der drei Zahlen zu zeigen!
Abgabetermin: bis spatestens Mittwoch, 12.11.2008, 10.15 Uhr in der Ubung.
