PROSEMINAR MODUL 4C, GRUPPE 3: PRIMZAHLEN SOMMERSEMESTER 2018, DONNERSTAG 12:15-13:45 DR. REGULA KRAPF

PROSEMINAR MODUL 4C, GRUPPE 3: PRIMZAHLEN

SOMMERSEMESTER 2018, DONNERSTAG 12:15-13:45

DR. REGULA KRAPF

Vortragsthemen

(0) 12.04.2018. Einleitung und Kurzvortr¨age. Kurvortr¨age durch die Seminarteilneh- mer zu jeweiligen Vortragsthemen.

(1) 19.04.2018. Primzahlen und Primfaktorzerlegung. Es wird eine Einf¨uhrung in die Teilbarkeit und die Theorie der Primzahlen gegeben. Zudem wird bewiesen, dass jede nat¨urliche Zahl n≥2 eine eindeutige Primfaktorzerlegung besitzt.

Literatur: [1], Kapitel I.1-I.3, [3] Kapitel 4.6

(2) 26.04.201. Die S¨atze von Legendre und Tchebycheff.Der Satz von Legendre gibt an, wie oft ein Primfaktor in der Primfaktorzerlegung von n! vorkommt. Der Satz von Tchebycheff ist ein wichtiges Resultat ¨uber die Anzahl Primzahlen kleiner gleich einer Zahl n∈N. Es werde beide S¨atze bewiesen.

Literatur: [1] I.4

(3) 03.05.2018. Der gr¨oßte gemeinsame Teiler und das kleinste gemeinsame Viel- fache.Es werden der ggT und das kgV zweier nat¨urlicher Zahlen eingef¨uhrt und es wird gezeigt, wie man aus der Primfaktorzerlegung zweier Zahlen die Primfaktorzerlegung des ggT und des kgV dieser Zahlen erh¨alt.

Literatur: [1] I.6 und I.7, [3] Kapitel 4.6

(4) 17.05.2018. Die Existenz unendlich vieler Primzahlen. Es werden mehrere Be- weise f¨ur die Existenz unendlich vieler Primzahlen vorgetragen.

Literatur: [4] Kapitel 1, [2], Kapitel 1.

(5) 07.06.2018. Der Zwei-Quadrate-Satz von Fermat.In diesem Vortrag wird die Fra- ge, welche nat¨urlichen Zahlen sich als Summen zweier Quadratzahlen darstellen lassen, beantwortet.

Literatur: [2], Kapitel 4

(6) 14.06.2018. Das Quadratische Reziprozit¨atsgesetz.Es wird das Legendre-Symbol eingef¨uhrt und es wird das Quadratische Reziprozit¨atsgesetz bewiesen, welches ein zen- trales Resultat in der Zahlentheorie ist und f¨ur Primzahltests verwendet wird.

Literatur: [2] Kapitel 5

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(7) 21.06.2018. Der Satz von Euler-Fermat. Es werden einige Resultate ¨uber die Eu- lersche ϕ-Funktion vorgetragen und es wird der Satz von Euler-Fermat bewiesen.

Literatur: [1] Kapitel III.3 und III.4 (III.4 nur Satz 9 und ein Teil von Satz 10)

(8) 28.06.2018. Primzahltests. Es werden einige Primzahlkriterien und Primzahltests vorgetragen, unter anderem der Satz von Wilson und der Rabin-Test.

Literatur: [1] Kapitel III.8, ggf. [4] Kapitel 2.III

(9) 05.07.2018. Mersennesche und Fermatsche Primzahlen. Es werden besondere Zahlen, die Mersenneschen und Fermatschen Zahlen, eingef¨uhrt und es werden Kriterien zum Testen der Primalit¨at solcher Zahlen vorgetragen.

Literatur: [1] III.9, V.4 und Teile von [4] 2.VI-2.VII

(10) 12.07.2018. RSA und das Rabin-Verfahren.Es werden zwei kryptographische Ver- fahren, RSA und das Rabin-Verfahren, vorgestellt. Die Schwierigkeit diese Verfahren zu knacken, beruht auf der Schwierigkeit, eine gegebene Zahl in ihre Primfaktoren zu zer- legen.

Literatur: [1] IV.6, [5] Kapitel 8

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Ablauf der Sitzungen

• Erste Sitzung: Alle Seminarteilnehmer halten einen Kurzvortrag (ca. 5 min), in dem sie einen ¨Uberblick ¨uber ihr Thema geben. Daher ist es wichtig, dass Sie sich bereits in der vorlesungsfreien Zeit mit Ihrem Thema befassen!

• Ubrige Sitzungen:¨ Tafelvortrag von ca. 80 min, indem das jeweilige Thema mit Be- weisen und Beispielen erl¨autert wird.

Bedingungen f¨ur eine erfolgreiche Teilnahme (1) Kurzvortrag am 12.04.2018

(2) Vortrag ¨uber das angegebene Thema (3) Ausarbeitung des Vortrags

(4) Handout f¨ur die anderen Seminarteilnehmer

(5) Termin sp¨atestens 10 Tage vor dem Vortrag um den Vortragsablauf, das Handout und die Ausarbeitung zu besprechen (auf Wunsch mehrere Termine).

(6) Teilnahme an allen Proseminarsitzungen (max. zwei Fehltermine).

Allgemeines

• Halten Sie sich an den ¨ublichen mathematischen Formalismus sowie die Notationen in der Literatur; dies gilt sowohl f¨ur den Vortrag als auch f¨ur das Handout und die Ausarbeitung.

• Es soll ein Termin sp¨atestens 10 Tage vor dem Vortrag vereinbart werden, um die Ausarbeitung, das Handout sowie den Ablauf des Vortrags zu besprechen.

• Das Handout und die Ausarbeitung sollen in L^ATEX erstellt werden und sp¨atestens 2 Tage vor dem Termin eingereicht werden.

• Es findet vor Beginn des Sommersemesters ein L^ATEX-Kursstatt (f¨ur n¨ahere Informa- tionen siehe KLIPS).

Vortrag

• Tafelvortrag von ca. 80 min (somit bleiben ca. 10 min f¨ur Fragen).

• Pr¨asentation aller wichtigen Ergebnisse zum Thema, inkl. Beweise der Hauptresultate und Beispiele (gerne auch eigene Beispiele).

• Da die Zeit oft nicht ausreicht, den gesamten Inhalt des Themas vorzustellen, sollten Sie den Vortragsstoff eingrenzen und den Fokus auf die Hauptresultate und deren Beweise zu richten. Kontaktieren Sie gerne die Seminarleiterin um die Auswahl zu besprechen.

• Es wird empfohlen einen Probevortrag zu halten, insbesondere zum Testen des Zeitplans.

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Handout

• Ubersicht ¨¨ uber alle Definitionen und S¨atze zum Thema, ohne Beweise und Beispiele.

• Das Handout soll ca. 1-2 Seiten lang sein und in L^ATEX geschrieben sein.

• Notationen und Nummerierung soll dem Vortrag und der Ausarbeitung entsprechen.

Ausarbeitung

• Die Ausarbeitung (max. 10 Seiten) soll mit L^ATEX erstellt werden und soll alle Infor- mationen zum Seminarthema inkl. Definitionen, Beweise und Beispiele beinhalten; also auch diejenigen Themen, die (aus Zeitgr¨unden) im Vortrag nicht behandelt werden.

• Die Beweise sollen sehr ausf¨uhrlich ausgearbeitet werden, d.h. kleine L¨ucken in der Literatur sollen gef¨ullt werden.

Weitere Hilfestellungen

• zum mathematischen Schreiben: K¨ummerer, Burkhard:Wie man mathematisch schreibt, Springer: Wiesbaden, 2016 (online verf¨ugbar ¨uber die Bibliothek der Universit¨at Koblenz- Landau).

• zum Halten von Seminarvortr¨agen:

http://www.alt.mathematik.uni-mainz.de/Members/lehn/le/seminarvortrag

Literatur

[1] Scheid, Harald; Frommer, Andreas:Zahlentheorie, 4. Auflage. Elsevier: M¨unchen, 2007.

[2] Aigner, Martin; Ziegler, G¨unter: Das Buch der Beweise, 4. Auflage. Springer: Berlin, Heidelberg, 2015.

[3] Krapf, Regula:Elementarmathematik vom h¨oheren Standpunkt. Vorlesungsskript, Win- tersemester 2017/18, Universit¨at Koblenz-Landau.

[4] Ribenboim, Paulo:Die Welt der Primzahlen. Geheimnisse und Rekorde. Aus dem Eng- lischen ¨ubersetzt von J¨org Richenstein. Springer: Berlin, Heidelberg, 2016.

[5] Buchmann, Johannes: Einf¨uhrung in die Kryptographie, 6. Auflage. Springer: Berlin, Heidelberg: 2016.

Kontakt

Dr. Regula Krapf krapf@uni-koblenz.de B¨uro G131