Die Sätze von Legendre und Tchebycheﬀ Ausarbeitung zum Proseminar Modul 4c

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Die Sätze von Legendre und Tchebycheff

Ausarbeitung zum Proseminar Modul 4c Primzahlen im Fachbereich 3

Marina Gertner

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Inhaltsverzeichnis

1 Voraussetzungen 3

1.1 Definitionen . . . 3 1.2 Die p-adischen Zahlen . . . 4

2 Der Satz von Legendre 5

3 Der Satz von Tchebycheff 8

4 Literaturverzeichnis 11

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1 Voraussetzungen

Die folgende Ausarbeitung beschäftigt sich mit den Beweisen des Satzes von Legendre und des Satzes von Tschebyscheff. Definitionen und Sätze wurden aus dem Buch Zahlentheorie von Harald Scheid und Andreas Frommer und dem Skript Elementarmathematik von Regula Krapf entnommen.

1 Voraussetzungen

1.1 Definitionen

Definition. (Der Binomische Lehrsatz)

Seiena undbreelle Zahlen und neine natürliche Zahl. Dann ist (a+b)ⁿ=

n

X

k=0

( n

k

)a^n−kb^k

mit den Binomialkoeffizienten n

i

= n!

i!·(n−i)! fur¨ 0≤i≤n.

Definition. (Gauß-Klammer)

Die Gauß-Klammerbxc ∈Z vonx∈Rist definiert durch bxc= max{ n∈Z:n≤x} . Definition. (Die geometrische Reihe)

Seiq ∈Rgegeben. Man betrachte die zur geometrischen Folge (qⁿ)n∈N0

gehörende Reihe

∞

X

n=0

qⁿ= lim

k→∞

k

X

n=0

qⁿ.

Diese wird geometrische Reihe zu q gennant.

Summenformel für die endliche geometrische Reihe:

Fürq ∈R,q6= 1 und n∈N0 gilt

n

X

k=0

q^k = 1−qⁿ⁺¹ 1−q .

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1.2 Die p-adischen Zahlen

Definition. Sein∈N undp eine Primzahl. Dann ist eine Darstellung der Form n=n_kp^k+nk−1p^k−1+...+n₁p+n₀ =

k

X

i=0

n_ipⁱ

mit ni∈ {0, ..., p−1}und nk6= 0 einep-adische Darstellung von nund wir schreiben n= (n_k...n₀)_p.

Theorem. Seip∈P. Dann hat jedesn∈N\ {0} eine eindeutigep-adische Darstellung.

Beispiel 1. Wir zeigen nun an einem Beispiel, wie man die p-adische Darstellung einer natürliche Zahln∈Nfindet: Dazu wählen wirn=101 und p=3. Wir schreiben zunächst mit Division mit Rest

101 : 3 = 33Rest: 2 33 : 3 = 11 Rest: 0 11 : 3 = 3 Rest: 2 3 : 3 = 1 Rest: 0 1 : 3 = 0 Rest: 1 und erhalten 101 = (1,0,2,0,2)3. Wir können auch schreiben

101 = 3·33 + 2

= 3·(3·11) + 2

= 3²·11 + 2

= 3²·(3·3 + 2) + 2

= 3⁴+ 2·3²+ 2 woraus für die 3-adische Darstellung folgt

1·3⁴+ 0·3³+ 2·3²+ 0·3¹+ 2·3⁰.

Ergänzung. P-adische Zahlen lassen sich unter Berücksichtigung eines Übertrages ad- dieren.

Beispiel 2.

0·3⁵+ 1·3⁴+ 0·3³+ 2·3²+ 0·3¹+ 1·3⁰ + 1·3⁵+ 1·3⁴+ 1₁·3³+ 2·3²+ 1·3¹+ 1·3⁰

1·3⁵+ 2·3⁴+ 2·3³+ 1·3²+ 1·3¹+ 2·3⁰

Wir können auch schreiben(0,1,0,2,0,1)₃+ (1,1,1,2,1,1)₃ = (1,2,2,1,1,2)₃.

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2 Der Satz von Legendre

Der Satz von Legendre befasst sich mit der Frage, wie oft ein Primfaktor in der Prim- faktorzerlegung von n! für ein n ∈ N vorkommt. Allgemein lässt sich sagen, dass ein Primfaktor in einem Produkt so oft vorkommt, wie er in den Faktoren vorkommt. Dieses Prinzip lässt sich auch auf Fakultäten anwenden, indem man die Anzahl Primfaktoren zählt.

Beispiel 3. Will man beispielweise wissen, wie oft der Primfaktor 7 in1000! vorkommt, so betrachtet man sich als erstes, wie oft der Faktor 7 im Produkt1·2·3·...·1000enthalten ist. Außerdem muss die Häufigkeit der Vielfache von 7, d.h. 7² = 49 und 7³ = 343 im Produkt überprüft werden. Es gilt

b1000

7 c+b1000

49 c+b1000

343 c= 142 + 20 + 2 = 164 Der Primfaktor 7 ist 164 mal in1000! enthalten.

Beispiel 4. Nach diesem Prinzip lässt sich ebenfalls berechnen, wieviele Nullen die Zahl 10 000! am Ende hat. Wir wissen, dass eine Zahl nur dann auf Null endet, wenn sie durch 10 teilbar ist. Weiterhin ist sie nur dann durch 10 teilbar, wenn sie durch 5 und 2 teilbar ist. Will man demnach die Anzahl der Nullen am Ende wissen, so gilt es die Anzahl der Faktoren 10= 5·2, die in der Primfaktorzerlegung von 10 000! auftreten, herauszufinden.

Es gilt b10000

5 c+b10000

5² c+b10000

5³ c+b10000

5⁴ c+b10000

5⁵ c= 2000 + 400 + 80 + 16 + 3 = 2499.

Der Primfaktor 5 ist 2499 mal in der Primfaktorzerlegung vorhanden. Da der Faktor 2 alle geraden Zahlen teilt und somit häufiger vorhanden ist, lässt sich festhalten, dass es den Faktor 10 ebenfalls 2499 mal gibt. Die Anzahl der Nullen am Ende ist demnach 2499.

Satz 1 (Satz von Legendre). Es sei n∈ N und p eine Primzahl. Ferner sei n=a₀+a₁p+a₂p²+...+a_rp^r (mit r =

log n log p

)

die p-adische Zifferndarstellung vonn und sp(n) :=a0+a1+a2+...+ar diep-adische Quersumme vonn. Dann gilt für den Exponent e_p(n!) des Primfaktors p in der kanoni- schern Primfaktorzerlegung von n!

ep(n!) = n−sp(n) p−1 .

Beweis. Betrachten wir uns die Anzahl dernFaktoren inn!, so stellen wir fest, dass [ⁿ_p] der Faktoren den Faktorpenthalten. Von diesennFaktoren wiederum enthalten [_pⁿ₂] den Faktorpmindestens zweimal, [_pⁿ₃] enthalten den Faktor pmindestens dreimal, usw. Falls

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nbeispielsweise ein 2,5-faches von p ist, so wird p 2-mal vorkommen und wir müssen ⁿ_p abrunden. Gekennzeichnet wird dies durch die Gauß’sche Klammer. Also ist

e_p(n!) =

∞

X

i=1

[n

pⁱ]. (1)

Füri > r ist [_pⁿi] = 0, da wenn i > r, so ist[_pⁿi]<1 und beim Abrunden einer positiven Zahl<1, wird diese stets Null und hat somit keinen Einfluss auf die Summe.

Für0< i≤r ist [n

pⁱ] = [a0

pⁱ + a1

pⁱ⁻¹ +...+ ai−1

p +ai+ai+1p+...+arp^r−i ]

=ai+ai+1p+...+arp^r−i, wobei zu zeigen gilt

a0

pⁱ + a1

pⁱ⁻¹ +...+ai−1

p <1

⇔a₀+a1p+...+ai−1pⁱ⁻¹ < pⁱ. Es gilt für allej ∈ {0, ..., i−1} , dassa_j ≤(p−1)

⇒a0+a1p+...+ai−1pⁱ⁻¹ ≤(p−1) + (p−1)p+...+ (p−1)pⁱ⁻¹

= (p−1)(1 +p+...+pⁱ⁻¹) Unter Verwendung der geometrischen Summenformel erhalten wir nun

1 +p+...+pⁱ⁻¹=

i−1

X

j=0

p^j = 1−pⁱ

1−p = pⁱ−1 p−1

Somit gilt

(p−1)·pⁱ−1

p−1 =pⁱ−1< pⁱ. Es folgt

ep(n!) =a1+a2p+a3p²+...+arp^r−1 +a₂ +a₃p +... +a_rp^r−2 + a₃ +... +a_rp^r−3

...

+a_r

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= (a1+ (a2p+a2) + (a3p²+a3p+a3) +...+ (arp^r−1+...+ar))

=a₁·p−1

p−1 +a₂·(p+ 1)(p−1)

p−1 +a₃·(p²+p+ 1)(p−1)

p−1 +...+a_r·(p^r−1+...+p²+p)·(p−1) p−1

=a1·p−1

p−1 +a2·p²−1

p−1 +a3·p³−1

p−1 +...+ar·p^r−1 p−1

= (a0−a0) + (a1p−a1) + (a2p²−a2) + (a3p³−a3) +...+ (arp^r−ar) p−1

= (a0+a1p+a2p²+...+arp^r)−(a0+a1+a2+...+ar) p−1

= n−s_p(n) p−1 .

Bemerkung. Zur Berechnung vonep(n!)haben wir das Zwischenergebnis (1) verwendet.

Ergänzung. Betrachten wir uns nun nochmal Beispiel 4. Die Berechnung derp- adischen Darstellung fürn=10 000 liefert uns mit p=5

10000 = 3·5⁵+ 1·5⁴.

Die 5-adische Quersumme fürn= 10 000 ist somit:s₅(10000) = 4.

Unter Anwendung des Satzes von Legendre erhalten wir e₅(10000!) = 10000−s5(10000)

5−1 = 10000−4

5−1 = 2499.

Anmerkung. Für das Rechnen mitep(n) gelten folgende Regeln

ep(a·b) =ep(a) +ep(b) (2) ep(a

b) =ep(a)−ep(b) (3)

für a, b∈N\{0} .

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3 Der Satz von Tchebycheff

Der Satz von Tchebycheff liefert die Möglichkeit die Anzahl der Primzahlen bis zu einer bestimmten Zahl x anzunähern. Die genaue Anzahl bezeichnen wir im Folgenden als π(x). Mit Hilfe des Satzes von Legendre werden wir beweisen, dass die Anzahl π(x) der Primzahlen≤xvon der Größenordnung _log^x_x ist, d.h. die Funktion _log^x_x hat ein ähnliches asymptotisches Verhalten wieπ(x).

Satz 2 (Satz von Tchebycheff). Für x ≥2 gilt mit a= ¹₄log 2und A= 6 log 2 a· x

logx < π(x)< A· x logx.

Beweis. Den Satz von Tchebycheff beweisen wir, indem wir π(x) nach oben und nach unten abschätzen.

(1) Abschätzung von π(x) nach oben:

Um π(x) nach oben abzuschätzen verwenden wir den Binomialkoefizienten ²ⁿ_n . Nach dem Binomischen Lehrsatz gilt fürn≥1

2²ⁿ= (1 + 1)²ⁿ=

2n

X

k=0

2n k

>

2n n

.

Somit gilt für das ProduktQ

n<p≤2n p∈P

paller Primzahlen pfür n≥1

n^{π(2n)−π(n)} < Y

n<p≤2n p∈P

p≤ 2n

n

<2²ⁿ. (4)

Fürn= 2^k−1 ergibt sich demnach

2^{(k−1)·(π(2}^k^)−π(2^k−1⁾⁾< Y

2^k−1<p≤2²^k p∈P

p <2²^k.

Nun logarithmieren wir und erhalten

(k−1)·(π(2^k)−(π(2^k−1) <log₂2²^k

⇔(k−1)(π(2^k)−π(2^k−1))<2^k

⇔(k−1)·(π(2^k))−(k−1)·(π(2^k−1))<2^k

⇔k·π(2^k)−π(2^k)<(k−1)·(π(2^k−1)) + 2^k

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(9)

also

k·π(2^k)<(k−1)·π(2^k−1) +π(2^k) + 2^k.

Da die Hälfte der Zahlen 1 bis2^k gerade ist und 1 keine Primzahl ist, gilt:

π(2^k)≤2^k−1. Also ist

k·π(2^k)<(k−1)·π(2^k−1) + 2^k−1+ 2^k

und da2^k−1+ 2^k = 2^k−1+ 2·2^k−1 = 3·2^k−1 können wir auch schreiben k·π(2^k)<(k−1)·π(2^k−1) + 3·2^k−1

bzw.

π(2^k)< k−1

k ·π(2^k−1) + 3·2^k−1

k . (5)

Mithilfe von (5) kann man nun induktiv beweisen, dass für allek ≥1 gilt:

π(2^k)<3·2^k

k. (6)

Induktionsanfang: Für k= 1 erhalten wir π(2)<6 = 3·²₁¹.

Induktionsvoraussetzung: Wir nehmen an, dass π(2^k−1)<3·²_k−1^k−1 .

Induktionsschluss: Wir zeigen, dass auch kdie Ungleichung (6) erfüllt. Es gilt π(2^k)⁽³⁾< k−1

k ·π(2^k−1) + 3·2^k−1 k

IV< k−1

k ·3· 2^k−1

k−1 + 3·2^k−1 k

< 3

k(2^k−1+ 2^k−1)

< 3

k·(2¹·2^k−1)

<3·2^k k .

Nun betrachten wir unsx mit 2^k ≤x <2^k+1 . Es gilt π(x)^x<2

k+1

≤ π(2^k+1)⁽⁴⁾< 3· 2^k+1 k+ 1.

(10)

Es folgt

π(x)<6· 2^k

k+ 1 = 6· 2^k

k+ 1·log2

log2 = 6log2· 2^k

log(2^k+1) ≤A· x logx.

Somit ist die Abschätzung vonπ(x) nach oben bewiesen.

(2) Abschätzung von π(x) nach unten:

Nach dem Satz von Legendre gilt ep

2n n

=ep((2n)!

n!n!)

=e_p((2n)!)−e_p(n!·n!)

=e_p((2n)!)−(e_p(n!) +ep(n!))

=e_p((2n)!)−2e_p(n!)

= 2n−s_p(2n)

p−1 −2·(n−s_p(n)) p−1

= 2n−s_p(2n)−2n+ 2·s_p(n) p−1

= 2s_p(n)−s_p(2n) p−1 für n≥1.

Ist p^r ≤ 2n < p^r+1 und 2n =a₀+a₁p+...+a_rp^r diep-adische Zifferndarstellung von 2n, dann treten bei der Addition „n+n= 2n“ höchstensr Ziffernübertragungen auf. Es ist also

2sp(n)−sp(2n)≤r(p−1)

⇔2s_p(n)−s_p(2n)

p−1 ≤r mit r=

log n log p

also ep 2n n

≤r. Daher gilt

p^e^p ≤p^r≤2n, wenn man stattep 2n

n

nur ep schreibt. Daraus folgt 2n

n

= Y

2≤p≤2n p∈P

p^e^p ≤(2n)^π(2n).

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(11)

4 Literaturverzeichnis

Andererseits ist 2n

n

=(2n)!

n!n!

=2n·(2n−1)·...·(n+ 1)·n·(n−1)·..·1 (n·(n−1)·...·1)·(n·(n−1)·...·1)

= 2n n

|{z}≥2

·2n−1 n−1

| {z }

≥2

·2n−2 n−2

| {z }

≥2

·...·n+ 1 1

| {z }

≥2

,

da

2n−i

n−i ≥2⇔2n−i≥2n−2i.

Somit gilt

2n n

≥2ⁿ. Es gilt also

2ⁿ≤(2n)^π(2n). Fürn= 2^k−1 ergibt sich

2²^k−1 ≤(2·2^k−1)^π(2·2^k−1⁾

⇔2²^k−1 ≤(2·2^k−1)^π(2^k⁾

⇔2²^k−1 ≤2^π(2^k⁾·2^{(k−1)·π(2}^k⁾

⇔2²^k−1 ≤2^kπ(2^k⁾. Nun logarithmieren wir und erhalten

2^k−1 ≤k·π(2^k)

⇔π(2^k)≥ 2^k−1 k = 2^k

2k. Für2^k≤x <2^k+1 folgt schließlich

π(x)≥π(2^k)≥ 2^k 2k = 2^k

2k ·2·log2

2·log2 = log2 4 · 2^k+1

log2^k > a· x logx.

4 Literaturverzeichnis

[1] Scheid, Harald; Frommer, Andreas: Zahlentheorie, 4.Auflage. Elsevier: München, 2007.

[2] Skript Elementarmathematik, Regula Krapf, Wintersemester 2017/2018 [3] Skript Analysis, Peter Ullrich, Wintersemester 2017/2018