1
Kugelkondensator
Radien a (innen) und b (außen), Ladung ±Q.
In der inneren Hohlkugel ist das E-Feld null (wie in jeder Hohlkugel, s. oben), außerhalb der äußeren Kugel ist das Feld auch null, weil die eingeschlossene Gesamtladung null ist.
2
0 0
0
0
1 1
: 4 4
: const 1 stetig bei 0
4
: const 1 stetig bei 0
4
r
a
b
Q Q
a r b E e
r r
r a Q r a E
a
r b Q r b E
b
Kapazität des Kugelkondensators (U ist die Potenzialdifferenz zwischen den beiden Kugeln)
a b
b a b
Q a
Q
Q Q
U C Q
b
a
0
0 0
4 4
4
für b gegen unendlich (nur eine Kugel):
Q a C
a
40
Energie des elektrischen Felds
Aufladen einer Kugel mit Radius R erfordert Energie
2
0 0 0
2
2
0
1 1
4 4 4 2
1 1
mit 4
2 2
R R
Q Q
dW dQ W dW Q dQ
R R R
W Q C U C R
C
Energie des elektrischen Felds am Beispiel des Plattenkondensators:
Allgemein: Energiedichte (Energie/Volumen) des elektrischen Felds:
E d E A d E V
d U A
C
W 2 0 2 0 2 0 2 2
1 2
1 2
1 2
1
2
2 0
1 E
V
wW
Beispiel: Defibrillator
Ein Kondensator wird in sehr kurzer Zeit (wenige ms) entladen und erzeugt einen Stromstoß von etwa 1 Ampere. Dies dient dazu, das sogenannte Kammerflimmern zu beenden, eine Herzrhythmusstörung, die in vielen Fällen dem "plötzlichen Herztod" vorausgeht.
2 3 2 2
1000 F 750 V
1 1 C
10 750 V 281 C V 281 J
2 2 V
C U
W CU
+
Experiment: Schnelles Entladen eines Kondensators Ein Kondensator wird aufgeladen (U = 110 V, C = 2500 F).
Die Ladung beträgt demnach Q = 0,275 C und die
3
Experiment: Kerzenflamme in einem Kondensator
Eine Kerzenflamme enthält positive Kohlenstoffionen und positiv geladene Rußpartikel. Sie wird daher von der negativen
Kondensatorplatte angezogen.
Experiment: Elektrischer Dipol im homogenen und inhomogenen elektrischen Feld
Homogenes Feld: Zwei Kondensatorplatten. Der Dipol richtet entlang der elektrischen Feldlinien aus.
Inhomogenes Feld: Eine einzelne Glaskugel (Dielektrikum) an einem Faden demonstriert die Kraft auf einen Dipol im
inhomogenen Feld.
1.7 Dielektrika im elektrischen Feld
Wenn man in einen Plattenkondensator bei konstanter Ladung einen Isolator (Dielektrikum) einbringt, sinkt die anliegende Spannung, d.h. die Kapazität (Ladung pro Spannung) mit Dielektrikum (D) hat sich gegenüber der Kapazität mit Vakuum oder Luft (V) um einen Faktor erhöht. Dieser Faktor heißt relative Dielektrizitätskonstante, Dielektrizitätszahl oder Permittivität. Typische Werte:
Glas ca. 3-5
Porzellan ca. 6-7 Ladung konstant Keramiken 100-1000
Wasser 81 Luft 1,0006
Auch das elektrische Feld ist um vermindert. Ursache ist die Polarisierung des Dielektrikums. Bei der Influenz in Leitern bewegen sich Ladungen unter dem Einfluss des E-Felds, so dass das Innere des Leiters feldfrei ist. Ähnlich ist es im Dielektrikum, aber weil die Ladungen nicht frei beweglich sind, wird das äußere Feld nur teilweise kompensiert. Im E-Feld bilden sich elektrische Dipole, deren Dipolmoment proportional zum Feld ist:
wobei a die Polarisierbarkeit eine materialabhängige Konstante ist. Im allgemeinen Fall ist die Polarisation richtungsabhängig und a ist ein Tensor. Manche Dielektrika bestehen aus Molekülen mit einem Dipolmoment, das sich im E-Feld ausrichtet (Orientierungspolarisation, z.B. Wasser), andere bilden Dipole durch Verschiebungen der Elektronenhülle gegen den Atomkern (Verschiebungspolarisation, nur ca.
1/10.000 Atomdurchmesser). Die Vektorsumme aller Dipolmomente pro Volumen heißt Polarisation:
V
D D V
V D
Q C U U U C C
E E
ED
p
a
5
Experimente
Wird eine leitende Platte zwischen zwei Kondensatorplatten gebracht, erhöht sich die Kapazität entsprechend der Verringerung des Abstands in Luft. Experimentell:
- bei konstanter Spannung steigt die Ladung - bei konstanter Ladung sinkt die Spannung.
Wird ein Dielektrikum zwischen die Kondensatorplatten gebracht, geschieht das Gleiche, aber die Erhöhung der Kapazität ist geringer, weil die Ladungen im Dielektrikum nicht so flexibel sind wie im Leiter. Annahme: Plattenabstand d, Dicke des Dielektrikums b.
Diese Anordnung kann man wie zwei in Reihe geschaltete Kondensatoren behandeln:
1. Kondensator mit Luft ( = 1) und Plattenabstand d b.
2. Kondensator mit Dielektrikum ( > 1) und Abstand b.
Bei Kondensatoren in Reihe addieren sich die inversen Kapazitäten:
/ 1
/ 1
1 1
0
0 0
0 0
2 1
b d C A
A b b d A
b b d A b A
b d C C C
Einbringen eines Leiters entspricht in diesem Ausdruck ∞.
Eine dielektrische Flüssigkeit, in die das untere Ende eines
Plattenkondensators eingetaucht wird, steigt zwischen den Platten nach oben, sobald eine Spannung angelegt wird
Durch Polarisation entstehen an den Oberflächen des Dielektrikums Polarisationsladungen. Ihre Flächendichte hat denselben Betrag wie die Polarisation
Die Quellen des E-Felds im Vakuum sind die äußeren ("freien") Ladungen auf den Kondensatorplatten.
Die Quellen des Felds im Dielektrikum sind - die freien Ladungen
- die gebundenen Polarisationsladungen
0 0 0 0
0 0
0
0
1 1
1
d.h. 1
frei frei pol pol
V D V V
D
D D D V V D
D V V
E E E E P
P n E E E E E E E
E E E
n
a
a
dielektrische Suszeptibilität
(materialabhängige, dimensionslose Konstante) A P
A d q n
pol
7
0 0
00 0 0
0
div div
div div
( 1)
frei pol frei
frei
frei A
E P
E P D
D da Q
D E P E E
D E
D = dielektrische Verschiebung, ein "Hilfsfeld"
das für manche Anwendungen praktisch ist, aber in vielen Lehrbüchern gar nicht behandelt wird. Einheit:
D und E sind sehr verschieden:
- es gibt für D kein Coulombsches Gesetz - die Rotation von D ist i.d.R. ungleich null - es gibt für D kein elektrostatisches Potenzial
0 2
m 1 C
E D
Gaußsches Gesetz in Materie: die dielektrische Verschiebungsdichte
Im inhomogenen E-Feld entstehen Polarisationsladungen nicht nur an der Oberfläche, sondern auch im Volumen des Dielektrikums
(das E-Feld zeigt von der positiven zur negativen Ladung, P von der negativen zur positiven Ladung.
Durch diese Definition zeigen beide Vektoren im polarisierten Dielektrikum in dieselbe Richtung) P pol
div
Experiment (an der Uni Hamburg)
Blasen in einer dielektrischen Flüssigkeit werden in den Bereich des schwächeren elektrischen Felds gezogen
Schattenwurf:
