1. Plattenkondensator mit Dielektrikum (1+1+2+2+1+1)

Übungen zur Physik II (Elektrodynamik) SS 05

5. Übungsblatt, Lösungen 12.05.2005

1/4

1. Plattenkondensator mit Dielektrikum (1+1+2+2+1+1)

Die Abbildung zeigt einen Plattenkondensator der Plattenfläche A=115cm² mit einem Plattenabstand d =1,24cm. An den Platten liege die Potentialdifferenz V₀ =85,5V einer Batterie. Nun werde die Batterie entfernt und eine dielektrische Platte der Dicke b=0,78cm mit der Dielektrizitätszahl κ =2,61 werde wie dargestellt in den Plattenzwischenraum gebracht.

a) Wie groß ist die Kapazität des Kondensators ohne Dielektrikum?

b) Wie groß ist die freie Ladung auf den Kondensatorplatten?

c) Wie groß ist das elektrische Feld E₀ in den Zwischenräumen zwischen Kondensatorplatten und Dielektrikum?

d) Wie groß ist das elektrische Feld E₁ im Inneren des Dielektrikums?

e) Wie groß ist die Potentialdifferenz V zwischen den Kondensatorplatten, nachdem das Dielektrikum eingeschoben wurde?

f) Wie groß ist die Kapazität des Kondensators mit Dielektrikum?

Lösung:

a)

( )( )

_pF

m

m m

F d

C A 8,21

10 24 . 1

10 15 . 1 10

85 , 8

2

2 2 12

0

0 =

⋅

⋅

= ⋅

=ε ⁻ ₋ ⁻

. b) q=C₀V₀ =702pC.

c) Ansatz: Gaußscher Satz für gaußsche Flächen I: Diese verläuft im Raum zwischen Platte und Dieelektrikum und schließt deshalb ausschließlich freie Ladungen der oberen

Kondensatorfläche ein:

(

^{12 1}

) ^{( )} (

^{4 2}

)

¹

10

0 0 0

0 6900

10 15 , 1 1 10

85 , 8

10 02 ,

, ₋ 7 _{− −} ⁻

− =

⋅

⋅

= ⋅

=

∫

^{ε kEr dAr}=^{q E} _ε^q_{kA Fm} ^C _m ^Vm . Da die Fläche

nicht innerhalb des Dieelektrikums liegt ist k=1.

Übungen zur Physik II (Elektrodynamik) SS 05

5. Übungsblatt, Lösungen 12.05.2005

2/4

d) Ebenso für Fläche II: ^{0 1}

0 0

0 =− =− , = = =2,65 ⁻

∫

^{ε kErIdAr ε kEIA q EI} _ε^q_kA ^E_k ^kVm . Das erste Minuszeichen ergibt sich aus dem Skalarprodukt, da Feldvektor und Flächennormale in diesem Fall entgegengesetzt sind.

e) V ergibt sich aus Integration entlang einer geraden Linie, die die Platten verbindet. Der Integrationsweg verläuft über eine Länge b innerhalb des Dieelektrikums, die Gesamtstrecke zwischen den Kondensatorplatten und den Oberflächen des Dieelektrikums ist d-b:

(

^{d b}

)

^{E b V}

E

Eds= ₀ − + _I =52,3

∫

⁺

−

f) pF

V C V

C q 13,4

3 , 52

10 02 ,

7 ⋅ ¹⁰ =

=

= ⁻

2. Gradient, Divergenz und Rotation (2+2+2):

Berechnen sie:

a) die Komponenten von ^grad

(

α^r⋅^rr

)

in Kugelkoordinaten, b) diver_r graddiver_r roter_r diver_ϕ roter_ϑ

, ,

,

, in Kugelkoordinaten,

c) die Komponenten von ^rot

(

α^r×^rr

)

in Zylinderkoordinaten (αr =const. ).

Lösung

a) _{ϑ ϑ ϕ ϑ}

ϑ∂ +

∂ +

∂

=

∇ sin

1 1

e r e r

er_{r r} r r

. Mit αr

als Polarachse folgt αr⋅rr=α ⋅r⋅cosϑ ,

(

α r

) (

α ϑe ϑeϑ

)

grad r r r_r r

sin

cos −

=

⋅ .

b)

( )

( )

ϕ

ϕ ϑ

ϕ

re r r

e e rot

e div e

rot r e

e div r grad r r

e div

r

r r r

r r

r r

r

r r

r r

r

1 1 1

, 0 ,

0 2 ,

2, 1 1

2 2

2

=

⋅

∂

=

=

=

−

=

=

⋅

∂

=

c) αr

: Z-Achse r er_z rv er zer_z +

=

=

→α α , ρ _ρ ,

( ) ( ) ^{( )}

^z

z r rot r e

rot r v r v r

α α

α ρ αρ

α 1 _{ρ 2} 2 2

=

×

⇒

=

∂

=

× .

Übungen zur Physik II (Elektrodynamik) SS 05

5. Übungsblatt, Lösungen 12.05.2005

3/4

Übungen zur Physik II (Elektrodynamik) SS 05

5. Übungsblatt, Lösungen 12.05.2005

4/4

3. Strommeßgerät (3):

Zu einem Strommesser, dessen Innenwiderstand R_i =1Ω beträgt, werden nacheinander Widerstände (Shunts) von 0,2Ω,0,01266Ω und 0,00402Ω parallelgeschaltet. Auf den wievielfachen Wert erhöht sich dadurch der Messbereich?

Lösung:

(

^I−^I₁

)

:^I₁ =^Ri :^R. Die Meßbereichserweiterung entspricht dem Verhältnis 1

1

+

= R R I

I _i

und damit 6, 80, 250.

4. Reale Widerstände (3):

Zwei Widerstände von ²⁰⁰Ω

(

¹±^10%

)

bzw. ⁵⁰⁰Ω

(

¹±^10%

)

sind parallelgeschaltet. Wie groß sind der Gesamtwiderstand und die dazugehörige Toleranz?

Lösung:

Ω + =

= 142,86

2 1

2 1

R R

R

R_ges R . Mit dem Größt- bzw. Kleinstwert ergibt sich Ω

= Ω

=157,14 , _kl 128,57

gr R

R , so dass mit einer Toleranz von ±14,3Ω gerechnet werden muss.