BewertungsschlüsselAufgabe123∑max. erreichbare Punkte333334100Notenspiegel

BB-OPR-P11-080607-AUFGABEN Seite 1 Studiengang Bachelor Betriebswirtschaft

Fach Operations Research

Art der Leistung Prüfungsleistung Klausur-Knz. BB-OPR-P11-080607

Datum 07.06.2008

Bezüglich der Anfertigung Ihrer Arbeit sind folgende Hinweise verbindlich:

• Verwenden Sie ausschließlich das vom Aufsichtführenden zur Verfügung gestellte Papier und geben Sie sämtliches Papier (Lösungen, Schmierzettel und nicht gebrauchte Blätter) zum Schluss der Klausur wieder bei Ihrem Aufsichtführenden ab. Eine nicht vollständig abgegebene Klausur gilt als nicht bestanden.

• Beschriften Sie jeden Bogen mit Ihrem Namen und Ihrer Immatrikulationsnummer. Lassen Sie bitte auf jeder Seite 1/3 ihrer Breite als Rand für Korrekturen frei und nummerieren Sie die Seiten fortlaufend. Notieren Sie bei jeder Ihrer Antworten, auf welche Aufgabe bzw. Teilaufgabe sich die- se bezieht.

• Die Lösungen und Lösungswege sind in einer für den Korrektor zweifelsfrei lesbaren Schrift abzufassen. Korrekturen und Streichungen sind eindeutig vorzunehmen. Unleserliches wird nicht bewertet.

• Bei numerisch zu lösenden Aufgaben ist außer der Lösung stets der Lösungsweg anzugeben, aus dem eindeutig hervorzugehen hat, wie die Lösung zustande gekommen ist.

• Zur Prüfung sind bis auf Schreib- und Zeichenutensilien ausschließlich die nachstehend genann- ten Hilfsmittel zugelassen. Werden andere als die hier angegebenen Hilfsmittel verwendet oder Täuschungsversuche festgestellt, gilt die Prüfung als nicht bestanden und wird mit der Note 5 bewertet.

Bearbeitungszeit: 90 Minuten Hilfsmittel:

Aufgaben: 3 Studienbriefe

HFH-Taschenrechner Höchstpunktzahl: -100-

Bewertungsschlüssel

Aufgabe 1 2 3 ∑

max. erreichbare Punkte 33 33 34 100

Notenspiegel

Note ^{1,0 1,3 1,7 2,0 2,3 2,7 3,0 3,3 3,7 4,0 5,0}

bei Punkten 100 - 95 94,5 - 90 89,5 - 85 84,5 - 80 79,5 - 75 74,5 - 70 69,5 - 65 64, 5 - 60 59,5 - 55 54,5 - 50 49,5 - 0

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Aufgabe 1 33 Punkte

a) Lösen Sie die folgende LO-Aufgabe mit der Zweiphasenmethode. Nennen Sie den maximalen Zielfunktionswert und die Werte der echten Variablen und der Schlupfvariablen der Optimallö- sung.

26 P

1 2 3

1 3

1 2 3

1 2

1 2 3

I Z x 2x x max

II x 2x 6

x x x 8

2x x 7

III x , x , x 0

= − + + →

+ ≥

− + ≤

+ ≤

≥

b) Formulieren Sie die zugehörige duale Aufgabe, indem Sie I, II und III notieren. 7 P

Aufgabe 2 33 Punkte

Ein Wagen einer Einrichtungsfirma soll vom Firmensitz im Ort 1 aus Waren an drei Kunden in den Orten 2, 3 und 4 ausliefern und sofort wieder zum Ort 1 zurückkehren. In nachstehender Matrix sind die Distanzen zwischen den einzelnen Orten in einer Einheit aufgeführt.

0 28 30 26 27 0 30 25 D 28 30 0 24 28 26 25 0

 

 

 

=  

 

 

Demonstrieren Sie an dem bewusst einfachen Beispiel die Vorgehensweise der Methode Branch–

and–Bound beim Aufsuchen des kürzesten Hamiltonschen Zyklus vom Ausgangsort 1 über alle ande- ren Orte zurück zum Ort 1. Halten Sie alle Schritte einschließlich der unteren Schranken für die Weglänge in einem Entscheidungsbaum übersichtlich fest. Nennen Sie den kürzesten Hamilton- schen Zyklus und seine wahre Länge. Gewertet wird nur eine nach dem Verfahren Branch–and–

Bound gewonnene Lösung.

Hinweis:

ƒ Existieren in einer Tabelle mehrere Elemente mit größtem Mindestzuwachs, ist stets das erste derartige Element zu wählen. Dabei wird unterstellt, dass Sie die Tabelle zuerst in der ersten Zeile von links nach rechts, dann in der zweiten Zeile von links nach rechts, usw. durchlaufen.

33 P

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Aufgabe 3 34 Punkte

Es sei Ihnen die nachstehende Vorgangsliste eines kleinen Projektes gegeben, das lediglich Minimalabstände aufweist. Dabei sind alle Dauerwerte und Zeitdifferenzen in der Einheit „Tage“ aufgeführt. Eine zuvor durchgeführte Strukturanalyse hat die in der ersten Spalte genannten Rangwerte geliefert. Zusätzlich sind bereits die Scheinvor- gänge „Anfang“ und „Ende“ berücksichtigt worden.

Rang UV(Diff) Typ Vorgang Dauer

0 – Anfang 0

3 L(–1) AA A 4

2 D(0) EA B 3

5 I(0)

F(1)

AA EA

C 1

1 Anfang(0) EA D 1

2 D(0), H(0) EA E 3

4 A(–1)

E(1)

EA EE

F 2

3 E(0)

M(–1)

EA EE

G 2

1 Anfang(0) EA H 2

4 K(–3) EA I 1

4 B(2), G(–1) AA J 3

3 L(2) EA K 4

2 H(2) EE L 1

2 D(1) EA M 3

6 C(0), J(0) EA Ende 0

a) Führen Sie nach einer geeigneten Sortierung der Vorgänge die Zeitanalyse durch, indem Sie für jeden Vorgang die vier Vorgangszeitpunkte FAZ, SAZ, FEZ und SEZ und für alle echten Vor- gänge die gesamte Pufferzeit bestimmen.

Bitte benutzen Sie für die Lösung dieser Teilaufgabe das beigefügte Lösungsblatt L1.

28 P

b) Nennen Sie die Projektdauer und alle kritischen Vorgänge.

Bitte benutzen Sie für die Lösung dieser Teilaufgabe das beigefügte Lösungsblatt L1. 2,5 P c) Nennen und interpretieren Sie den Rang von F. Finden und nennen Sie eine Vorgangsfolge, die

in den Knoten zu F einmündet und den Rang verdeutlicht. Gibt es eine in F einmündende Pfeil- folge mit dem Anfangsknoten „Anfang“, die vor F weniger Vorgänger besitzt? Nennen Sie diese.

3,5 P

Viel Erfolg !

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BB-OPR-P11-080607-AUFGABEN L 1

Lösungsblatt L1

Name, Vorname:

Matrikel-Nr:

Aufgabe 3:

a)

UV(Diff) Typ Vorgang Dauer FAZ SAZ FEZ SEZ GP

b)

Projektdauer: ___________________________________________________________________

Kritische Vorgänge: ______________________________________________________________

Bitte geben Sie dieses Blatt mit Ihrer Lösung ab.

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Klausur-Knz. BB-OPR-P11-080607

Datum 07.06.2008

Für die Bewertung und Abgabe der Prüfungsleistung sind folgende Hinweise verbindlich vorgeschrieben:

• Die Vergabe der Punkte nehmen Sie bitte so vor wie in der Korrekturrichtlinie ausgewiesen. Eine summarische Angabe von Punkten für Aufgaben, die in der Korrekturrichtlinie detailliert bewertet worden sind, ist nicht gestattet.

• Nur dann, wenn die Punkte für eine Aufgabe nicht differenziert vorgegeben sind, ist ihre Aufschlüsselung auf die einzelnen Lösungsschritte Ihnen überlassen.

• Stoßen Sie bei Ihrer Korrektur auf einen anderen richtigen Lösungsweg, dann nehmen Sie bitte die Verteilung der Punkte sinngemäß zur Korrekturrichtlinie vor.

• Rechenfehler sollten grundsätzlich nur zu Abwertung eines Teilschritts führen. Wurde mit einem falschen Zwischenergebnis richtig weiter gerechnet, so erteilen Sie die hierfür vorgesehenen Punkte ohne weiteren Abzug.

• Ihre Korrekturhinweise und Punktbewertung nehmen Sie bitte in einer zweifelsfrei lesbaren Schrift vor: Erstkorrektur in rot, evtl. Zweitkorrektur in grün.

• Die von Ihnen vergebenen Punkte und die daraus sich gemäß dem nachstehenden Notenschema ergebene Bewertung tragen Sie in den Klausur-Mantelbogen sowie in die Ergebnisliste ein.

• Gemäß der Diplomprüfungsordnung ist Ihrer Bewertung folgendes Notenschema zu Grunde zu legen:

Notenspiegel

Note 1,0 1,3 1,7 2,0 2,3 2,7 3,0 3,3 3,7 4,0 5,0

Punkte 100 -

95 94,5 -

90 89,5 -

85 84,5 -

80 79,5 -

75 74,5 -

70 69,5 -

65 64,5 -

60 59,5 -

55 54,5 -

50 49,5 - 0

• Die korrigierten Arbeiten reichen Sie bitte spätestens bis zum

25. Juni 2008

in Ihr Studienzentrum ein. Dies muss persönlich oder per Einschreiben erfolgen. Der angegebene Termin ist unbedingt einzuhalten. Sollte sich aus vorher nicht absehbaren Gründen eine

Terminüberschreitung abzeichnen, so bitten wir Sie, dies unverzüglich Ihrem Studienzentrumsleiter anzuzeigen.

BEWERTUNGSSCHLÜSSEL

Aufgabe 1 2 3 ∑

max. erreichbare Punkte 33 33 34 100

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BB-OPR-P11-080607-KORREKTURRICHTLINIE Seite 2

Lösung Aufgabe 1 33 Punkte

a)

x1 x2 x3 s1 s2 s3 k1 r.S.

0 0 0 0 0 0 –1

0

1 0 2 –1 0 0 0

6

1 0 2 –1 0 0 1

6

1 –1 1 0 1 0 0

8

2 1 0 0 0 1 0

7

0 0 0 0 0 0 –1

0

12 0 1 –¹₂ 0 0 ¹²

3

12 –1 0 ¹² 1 0 –¹₂

5

2 1 0 0 0 1 0

7

x1 x2 x3 s1 s2 s3 r.S.

–1 2 1 0 0 0 0

–³₂ 2 0 ¹² 0 0 –3

12 0 1 –¹₂ 0 0 3

12 –1 0 ¹² 1 0 5

2 1 0 0 0 1 7

–¹¹₂ 0 0 ¹2 0 –2 –17

12 0 1 –¹₂ 0 0 3

52 0 0 ¹2 1 1 12

2 1 0 0 0 1 7

–8 0 0 0 –1 –3 –29

3 0 1 0 1 1 15

5 0 0 1 2 2 24

2 1 0 0 0 1 7

Zmax = 29 x1 = 0, x2 = 7, x3 = 15 , s1 = 24 , s2 = 0 , s3 = 0 4 P

5 P

4 P

5 P

4 P

4 P

BB-OPR-P11-080607-KORREKTURRICHTLINIE Seite 3 b)

x1 x2 x3 s1 s2 s3

–1 2 1 max –6 8 7 min

–1 0 –2 –6 –1 1 2 –1

1 –1 1 8 → 0 –1 1 2

2 1 0 7 –2 1 0 1

1 –1 –2 1

Die duale Aufgabe lautet:

1 2 3

1 2 3

2 3

1 2

1 2 3

I Z 6s 8s 7s min

II s s 2s 1

s s 2

2s s 1

III s , s , s 0

= − + + →

− − ≤

− + ≥

− + ≥

≥

2,5 P

≤ ≥

2 P ≤

2,5 P

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BB-OPR-P11-080607-KORREKTURRICHTLINIE Seite 4

Lösung Aufgabe 2 33 Punkte

1 2 3 4 Min 1 2 3 4

1 ∞ 28 30 26 26 1 ∞ 2 4 0

2 27 ∞ 30 25 25 2 2 ∞ 5 0

3 28 30 ∞ 24 24 3 4 6 ∞ 0

4 28 26 25 ∞ 25 4 3 1 0 ∞

100 Min 2 1 0 0 3

1 2 3 4

1 ∞ 1 4 0¹

2 0¹ ∞ 5 0⁰

3 2 5 ∞ 0²

4 1 0¹ 0⁴ ∞

1.) M

M

: Wahl von (4, 3). Das bedingt d

= ∞ .

1 2 4 Min 1 2 4

1 ∞ 1 0 0 1 ∞ 1 0

2 0 ∞ 0 0 2 0 ∞ 0

3 2 5 ∞ 2 3 0 3 ∞

2 Min 0 1 0 1

1 2 4

1 ∞ 0² 0⁰

2 0⁰ ∞ 0⁰

3 0² 2 ∞

1,5 P

M: ρ=s(M)=100+3=103 1 P 1,5 P

1,5 P

M₁: ρ₁= 2 + 1 = 3 liefert s(M1)=s(M)+ ρ1 = 103 + 3 = 106 1,5 P

1 P 1,5 P

→

1,5 P

1 P

BB-OPR-P11-080607-KORREKTURRICHTLINIE Seite 5

2.)

(4,3)

d

= ∞

1 2 3 4 1 2 3 4

1 ∞ 1 4 0 1 ∞ 1 0 0

2 0 ∞ 5 0 2 0 ∞ 1 0

3 2 5 ∞ 0 3 2 5 ∞ 0

4 1 0 ∞ ∞ 4 1 0 ∞ ∞

Min 0 0 4 0 4

3.)

d

= ∞

1 4

2 ∞ 0

3 0 ∞

4.)

( ) ^{1, 2}

d

= ∞

1 2 4 1 2 4

1 ∞ ∞ 0 1 ∞ ∞ 0

2 0 ∞ 0 2 0 ∞ 0

3 0 2 ∞ 3 0 0 ∞

Min 0 2 0 2

Der kürzeste Hamiltonsche Zyklus enthält die Verbindungen (4, 3), (1, 2), (2, 4) und

(3, 1). Er lautet 1–2–4–3–1 und seine „Länge“ beträgt 106. 4 P

1 P

→

1,5 P

1,5 P

M2: ρ2=4 s(M2)=s(M)+ ρ2= =103+4=107 1 P

M3: ρ3=0 ; s(M3) = s(M1)+ ρ3 = 106+0 = 106 Zusätzlich sind die Verbindungen (2, 4) und (3, 1) zu wählen.

→

M4: ρ4=2

s(M4)=s(M1)+ ρ4= = 106+2 = 108

1,5 P

1,5 P

1 P

M2

107 M

103

(4,3)

( ) ^4,3

(1,2)

( ) ^1,2

M1

106

M3

106

M4

108

(2, 4) (3, 1)

2,5 P 1 P

1 P 2 P

1,5 P

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BB-OPR-P11-080607-KORREKTURRICHTLINIE Seite 6

Lösung Aufgabe 3 34 Punkte

a)

UV(Diff) Typ V D FAZ SAZ FEZ SEZ GP

− Anfang 0 0 0 0 3 , 0 –

Anfang(0) EA D 1 0 3 1 5 , 4, 6 3

Anfang(0) EA H 2 0 0 2 4 , 2 0

D(0) EA B 3 1 5 4 8 4

D(0), H(0) EA E 3 1 , 2 4 5 8 , 7 2

H(2) EE L 1 3 4 , 3 4 4 0

D(1) EA M 3 2 7 5 11 , 10 5

L(–1) AA A 4 2 3 6 7 1

E(0) M(–1)

EA EE

G 2 5

2

8 7

4

10 3

L(2) EA K 4 6 6 10 12 , 10 0

A(–1) E(1)

EA EE

F 2 5

4

6 7

6

8 1

K(–3) EA I 1 7 9 8 10 2

B(2), G(–1) AA J 3 3 , 4 7 6 , 7 10 3

I(0) F(1)

AA EA

C 1 7

8

9

9

10 1

C(0), J(0) EA Ende 0 9 , 6 , 10 10 10 10 –

b) Die Projektdauer beträgt 10 Arbeitstage.

Die kritischen Vorgänge lauten H, L und K.

1 P 1,5 P c) Der Rang von F ist 4. Es gibt eine im Knoten “Anfang“ beginnende und in den

Knoten F einmündende Pfeilfolge, die vor F 4 Vorgänger aufweist. Diese Pfeilfolge lautet Anfang–H–L–A–F.

Die Pfeilfolge Anfang–H–E–F hat vor F nur 3 Vorgänger.

2 P 1,5 P

7 P 7 P 7 P 7 P