Ganzzahlige Vierecke 1 Worum geht es?
Gefragt ist nach Vierecken mit ganzzahligen Seitenlängen, bei denen auch beide Diago- nalen ganzzahlige Längen haben.
Bei Quadraten ist das nicht möglich, da
2irrational.
2 Parallelogramme
Seitenlängen a und b mit
a!bund Diagonalenlängen e und f mit
e! f. Der Kosinus- satz liefert die Bedingung:
e2 + f2 =2
(
a2 +b2)
Weiter muss:
a<e<a+b und ggT
(
a,b,e, f)
=1Gesucht sind ganzzahlige Lösungen.
Beispiel:
a=9,b=7,e=14, f =8Beispiel
Liste:
a b e f Kommentar 4 3 5 5 Rechteck 5 5 8 6 Rhombus 7 4 9 7
7 6 11 7 9 7 14 8 9 8 13 11 10 5 13 9 11 7 14 12 11 8 17 9 11 10 19 9
12 5 13 13 Rechteck 12 11 19 13
13 6 17 11 13 9 20 10 13 11 18 16
13 13 24 10 Rhombus 14 13 21 17
15 8 17 17 Rechteck 15 10 19 17
15 10 23 11 16 7 21 13 16 11 23 15 16 13 25 15 16 13 27 11 16 15 29 11 17 6 19 17 17 9 22 16 17 11 26 12 17 14 23 21 17 16 27 19
17 17 30 16 Rhombus 18 11 23 19
18 13 25 19 19 8 25 15 19 9 22 20 19 12 29 13 19 13 24 22 19 17 30 20 19 17 34 12 19 18 29 23 20 15 31 17 20 17 33 17
Die Rechecke sind aus zwei pythagoreischen Dreiecken (Spiegelung an der Hypotenu- senmitte) zusammengesetzt. Von den beiden Seitenlängen ist eine gerade und die andere ungerade. Die Diagonalenlänge ist ungerade.
Die Rhomben sind aus vier pythagoreischen Dreiecken (Spiegelungen an den Katheten) zusammengesetzt. Die Seitenlänge ist ungerade, beide Diagonalenlängen sind gerade.
3 Gleichschenklige Trapeze
Seiten a und c mit
a!cparallel, Schenkel b, Diagonale e. Satz des Ptolemäus (gleich- schenklige Trapeze sind Sehnenvierecke) liefert die Bedingung:
e2 =ac+b2
Weiter muss
h2 =b2 !( )
a!c2 2 >0gelten (kein „flaches“ Trapez) sowie
ggT a,b, c, e( )
=1.
Beispiel: a=5,b=7,c=3,e=8
Beispiel
Das Beispiel ist aus pythagoreischen Dreiecken der 60°/120°-Geometrie zusammenge- setzt.
Beispiel: a=4, b=2, c=3, e=4
In diesem Beispiel ist der Diagonalenschnittpunkt kein Rasterpunkt auf den Diagonalen.
Beispiel
Wenn wir jedoch mit dem Faktor 7 aufblasen zu
a=28,b=14,c=21,e=28, erhalten wir einen Rasterpunkt als Diagonalenschnittpunkt. — Sind allgemein die Diagonalen- schnittpunkte in diesem Sinne rational?
Liste:
a b c e Kommentar 3 4 3 5 Rechteck 4 2 3 4
4 3 4 5 Rechteck 5 7 3 8
5 4 4 6
5 12 5 13 Rechteck 6 5 4 7
7 10 3 11 7 6 4 8 7 17 5 18
8 5 3 7 Fibonacci-Trapez 8 7 4 9
8 3 5 7 8 9 5 11 8 11 6 13 8 5 7 9 8 13 7 15
8 15 8 17 Rechteck 9 13 3 14
9 8 4 10 9 6 5 9 9 9 7 12 9 3 8 9 9 7 8 11 9 17 8 19 10 9 4 11 10 19 8 21 11 16 3 17 11 10 4 12 11 9 8 13 11 15 9 18 12 8 3 10 12 11 4 13 12 14 5 16 12 7 6 11 12 17 6 19 12 4 7 10 12 20 7 22 12 5 8 11 12 7 10 13 12 13 10 17 12 8 11 14
12 5 12 13 Rechteck 13 19 3 20
13 11 8 15 13 18 9 21 13 10 12 16 14 13 4 15 14 11 12 17 14 19 12 23 15 14 4 16 15 11 5 14 15 8 7 13 15 16 7 19 15 7 8 13 15 13 8 17 15 11 9 16 15 14 11 19 15 4 12 14 15 17 13 22
15 8 15 17 Rechteck 16 11 3 13
16 15 4 17 16 8 5 12 16 19 5 21 16 12 7 16 16 5 9 13 16 9 9 15 16 16 9 20 16 7 11 15 16 20 11 24 16 13 12 19 16 9 13 17 16 4 15 16 16 7 15 17 16 11 15 19 16 17 15 23 17 16 4 18 17 15 8 19 17 14 12 20 17 13 16 21 18 17 4 19 18 9 8 15 19 18 4 20 19 17 8 21 19 16 12 22 19 15 16 23 20 14 3 16 20 19 4 21 20 13 6 17 20 12 9 18 20 6 11 16 20 7 12 17 20 11 12 19 20 17 12 23 20 8 13 18 20 9 14 19
20 11 16 21 20 12 17 22 20 9 18 21 20 13 18 23 20 14 19 24
