− r = 2 ≈ 0.59460355750136 = 2, b = 2 ≈ 1.681792830507429 a

(1)

a

Abb. 1: Start und erster Schritt

Davon machen wir zwei Kopien (gelb in Abb. 1b) mit dem Verkleinerungsfaktor r:

r=2⁻⁴³ ≈0.59460355750136 (2) Diese stellen wir hochkant und platzieren sie gemäß Abbildung 1b in die rote Ellipse.

Die gelben Ellipsen berühren einander in einem stumpfen Scheitel und haben links und rechts außen in den Berührungspunkten mit der roten Ellipse denselben Krümmungs- kreis wie die rote Ellipse. Wir haben eine kissing point Situation. Die gelben Ellipsen schmiegen sich bestmöglich an die rote.

Rechnerische Herleitung siehe [1].

Nun iterieren wir den Prozess. Die Abbildungen 2 und 3 zeigen die Folgeschritte.

a) b)

(2)

Abb. 2: Folgeschritte

Abb. 3: Folgeschritte

Wenn wir immer so weiterfahren, erhalten wir das Fraktal. Da wir aber nicht unendlich lang leben und auch die Speicherkapazität meines Computers beschränkt ist, müssen wir mit den vorläufigen Bildern vorlieb nehmen.

a) b)

(3)

Abb. 4: Zweifarbig, schwarze Linien

Abb. 5: Linien

(4)

Abb. 6: Zweifarbig, weiße Linien

Abb. 7: Zweifarbig

(5)

Abb. 8: Einfarbig, weiße Linien

3 Fraktale Dimension

Die fraktale Dimension D (Mandelbrot Dimension) ist:

D= ^{log 2}( )

log 2⎛ ³⁴

⎝⎜

⎞

⎠⎟

= ^log²( )²

log₂⎛2³⁴

⎝⎜

⎞

⎠⎟

= ¹₃

4

= ⁴₃ (3)

Wir haben in unserem Beispiel eine rationale fraktale Dimension.

(6)

4 Variante

Die Abbildungen 9, 10 und 11 zeigen eine Variante. Rechnerische Herleitung siehe [1].

Auch diese Variante hat die fraktale Dimension D= ⁴₃.

Abb. 9: Variante m it fünf kleinen Ellipsen

Abb. 10: Iteration

(7)

Abb. 11: W eitere Iteration

W e b l i n k s

[1] Hans Walser: Ellipsen in Ellipse (11.07.2018):

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/E/Ellipsen_in_Ellipse/Ellipsen_in_Ellipse.htm

L i t e r a t u r

Mandelbrot, Benoît B. (1983). The Fractal Geometry of Nature. New York: Freeman.

ISBN 0-7167-1186-9

Mandelbrot, Benoît B. (1991). Die fraktale Geometrie der Natur. Basel: Birkhäuser.