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6.¨Ubung A TECHNISCHEUNIVERSIT¨ATDARMSTADT

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Fachbereich Mathematik Prof. Dr. U. Reif

TECHNISCHE UNIVERSIT¨ AT DARMSTADT

A

27.06.2008

6. ¨ Ubung

Differenzialgeometrie SS 2008 Aufgabe 22:

Ein Vektor X ∈R2\{0} heißt Asymptotenrichtung der Fl¨ache f : U →R3 im Punkt p, wenn f¨ur die Normalkr¨ummung giltκn(X) =bp(X, X) = 0. Zeigen Sie mit Hilfe der Euler-Formel:

a) Die Gausskr¨ummungK(p) ist genau dann negativ, wenn es im Punktpgenau zwei linear unabh¨angige Asymptotenrichtungen gibt.

b) Die mittlere Kr¨ummungH(p) verschwindet genau dann, wenn es zwei senkrechte Asymptotenrich- tungenX1, X2 gibt, d.h.,g(X1, X2) = 0.

Aufgabe 23:

Seif :U →R3 eine Immersion mit Gauss-Abbildungν und

fs(u, v) :=f(u, v) +sν(u, v), (u, v)∈U

die zugeh¨origeParallelfl¨acheim Abstands∈R. Man kann zeigen, dassfsebenfalls eine Immersion ist, sofern|s| hinrecihend klein ist. Dies sei im Folgenden stets vorausgesetzt.

a) Zeigen Sie, dassν auch Gaussabbildung vonfsist.

b) Wir nehmen nun an, dassf nach Kr¨ummungslinien parametrisiert ist, d.h.,νu =−κ1fu undνv =

−κ2fv. (Das geht lokal immer, sofernf keinen Nabelpunkt besitzt.) Zeigen Sie:

fus×fvs= (1 + 2Hs+Ks2)(fu×fv).

c) Folgern Sie f¨ur den Fl¨acheninhalt der Parallelfl¨ache die Entwicklung A(fs) =A(f) + 2s

Z

U

HdA+s2 Z

U

KdA.

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