Fachbereich Mathematik Prof. Dr. U. Reif
TECHNISCHE UNIVERSIT¨ AT DARMSTADT
A
18.04.20085. ¨ Ubung
Differenzialgeometrie SS 2008 Aufgabe 18:
Gegeben seien die beiden Fl¨achef(u, v) = [u, v, u2/2±v2/2]t. a) Berechnen Sie jeweils
• die erste und zweite Fundamentalform sowie die Weingarten-Abbildung in Matrixdarstellung;
• die beiden Hauptkr¨ummungenκ1, κ2 sowie die Gausskr¨ummungK und die mittlere Kr¨ummung H;
• Berechnen Sie die Hauptkr¨ummungsrichtungenvi, i∈ {1,2}, sowie die zugeh¨origen Vektorenwi :=
Df vi im Tangentialraum;
• den Grenzwert lim(u,v)→(0,0)wi(u, v) und diskutieren Sie das Ergebnis.
Aufgabe 19:
Sei ˜f :=f◦ϕeine Umparametrisierung vonf. Zeigen Sie: Wennv eine Hauptkr¨ummungsrichtung von f ist, dann gibt es eine Hauptkr¨ummungsrichtung ˜v von ˜f mit Df v=Df˜˜v.
Aufgabe 20:
Sei Q eine orthogonale Matrix, q ein Vektor und ˆf := Qf +q die Fl¨ache, die durch die zugeh¨orige Bewegung ausf hervorgeht. Zeigen Sie:
a) Wennν eine Gauss-Abbildung vonf ist, dann ist ˆν :=Qν eine Gauss-Abbildung von ˆf. b) Mit ˆν =Qν giltS= ˆS.
Aufgabe 21:
SeiP :=G−1Dft die Pseudo-Inverse von Df und E :=PtBP die eingebettete Weingarten-Abbildung der Hyperfl¨achef :=Rn →Rn+1.
a) Welche Dimensionen habenP undE? Zeigen Sie Eν=P ν= 0.
b) Verifizieren Sie die GleichungEDf=−Dν. So, wieS die Relation zwischen denZeilenvonDf und Dνbeschreibt, beschreibt alsoE die Relation zwischen denSpaltenvon Df undDν.
c) Zeigen Sie: AusSv=κvundw:=Df v folgtEw=κw.
d) Verifizieren Sie mit Hilfe des Resultats aus Teil b) nochmals den aus der Vorlesung bekannten Satz, dass alle Eigenwerte von S reell sind und dass die Hauptkr¨ummungsrichtungen im Tangentialraum paarweise orthogonal gew¨ahlt werden k¨onnen.
e) Bestimmen SieE f¨ur die zwei Fl¨achen aus Aufgabe 18.
