1.¨Ubung A TECHNISCHEUNIVERSIT¨ATDARMSTADT

Fachbereich Mathematik Prof. Dr. U. Reif

TECHNISCHE UNIVERSIT¨ AT DARMSTADT

A

1. ¨ Ubung

Splineapproximation SS 2007 Aufgabe 1: [M] Zeigen Sie mit Hilfe der Marsden-Identit¨at die Formel

t²=BⁿP^∗, p^∗_j =µ²_j− σ_j² n−1,

wobeiµ_j, σ_j² den Mittelwert bzw. die Varianz der Knotenτ_j+1, . . . , τ_j+n−1bezeichnen.

Aufgabe 2: [M] Die zweite Vorw¨artsdifferenz ∆²₀P des Vektors P ist gegeben durch (∆²₀P)j :=

pj−2pj+1+pj+2. Geben Sie eine Abstandsformel vom Typ

kBⁿP−HPk∞≤c(n)k∆²₀Pk∞

explizit f¨ur den

a) Bernstein-FallT = [0$n,1$n]

b) uniformen FallT =hZ

an.Hinweis: Unterscheiden Siengerade/ungerade.

Aufgabe 3: [M] a) Seien τ1, . . . , τn−1 Knoten im Intervall sⁿ₀ = [τ0, τn] und σ₀² deren Varianz. Be- stimmen Sie den maximal m¨oglichen Wert vonσ²₀.Hinweis:Unterscheiden Siengerade/ungerade.

b) Verifizieren Sie die Absch¨atzung

σ_j²

n−1 ≤ |sⁿ_j|² 4(n−2)

im Skript auf Seite 35.Hinweis: Unterscheiden Siengerade/ungerade.

c) Wie kann diese Absch¨atzung verbessert werden?

Aufgabe 4: [P] Schreiben Sie ein Programm

WorstCase(T, n),

das zu der KnotenfolgeT die FunktionenBⁿP^∗ undHP^∗in ein erstes Fenster sowie die Fehlerfunktion DⁿP^∗= (Bⁿ−H)P^∗in ein zweites Fenster plottet.Hinweis:Im BereichMatlabder Homepage finden Sie das Programmseval, mit dem Splines ausgewertet werden k¨onnen.

Bringen Sie Ihr Programm entweder auf dem eigenen Laptop oder auf einem USB-Stick mit in die Ubungen.¨