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Fachbereich Mathematik Prof. Dr. H.-D. Alber Nataliya Kraynyukova

Dr. Sergiy Nesenenko

A TECHNISCHE UNIVERSIT¨ DARMSTADT

SS 2008

AT

03.04.08

Analysis I

Tutorium zur OWO Vorlesung

Definition F¨ur Zahlena1, . . . , an sei

n

X

i=1

ai = a1+a2+. . .+an,

n

Y

i=1

ai = a1·a2·. . .·an.

Aufgaben

G1: (Lagrange Polynom)

Seien x1, . . . , xn gegebene Zahlen mitxi 6=xj f¨ur alle i, j = 1, . . . , n mit i6=j. Wie in der Vorlesung sei

Li(x) =

n

Y

j=1 j6=i

x−xj

xi−xj.

Zeigen Sie:

a) F¨ur alle Zahlenx gilt

n

X

i=0

Li(x) = 1.

b) F¨ur alle Zahlenk= 1, . . . , ngilt:

n

X

i=0

xkiLi(0) = 0.

G2: (Vollst¨andige Induktion)

Zeigen Sie durch vollst¨andige Induktion, dass

a) nGeraden auf der Ebene sich h¨ochstens in n2(n−1) Punkten schneiden,

b) f¨ur jede nat¨urliche Zahln die Summe 1 + 3 + 5 +...+ (2n+ 1) eine Quadratzahl ist.

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