”Rigged Hilbert spaces”

(1)

”Rigged Hilbert spaces”

Morris Brooks

1 Einf¨ uhrung

1.1 Die Notwendigkeit einer Hilbertraum Erweiterung

Ein ”rigged Hilbert space” oder in dieser Arbeit auch nukleares Tripel genannt, ist eine Erweiterung eines Hilbertraumes H zu einem Tripel (X, H, X⁰). Dabei ist X ein topologischer Vektorraum , sodass eine stetige Einbettung von X in H existiert. Des Weiteren soll das Bild dieser Einbettung dicht in H liegen, damit man mit Hilfe der Identifizierung vonH mitH⁰ auchH inX⁰ einbetten kann. Anschaulich haben wir drei ineinander geschachtelte R¨aume.

Allgemein werden wir Hilberträume immer über dem Skalarkörper C betrachten. Des Weiteren benutzen wir die Konvention, dass Skalarprodukte h.|.i konjugiert-linear im ersten und linear im zweiten Argument sind.

Die hier vorgestellte Arbeit benutzt größtenteils die in [6] vorgestellten Definitionen und Konventionen. Weitere Literatur zu dem Thema findet man zum Beispiel unter [1] oder [7]. Zum Studium dieser Arbeit wird ein gewisses Grundwissen über Analysis und Funk- tionalanalysis vorausgesetzt-insbesondere im Zusammenhang mit Hilberträumen.

In der Quantenphysik identifiziert man physikalische Gr¨oßen mit selbstadjungierten Op- eratoren. Der Erwartungswert einer solchen Messgr¨oßeA von einem physikalischen Zu- stand ψist gegeben durch die quadratische Form

EA(ψ) := hψ|Aψi, wobei h.|.i das Skalarprodukt auf H bezeichnet. Ein Axiom der Quantenmechanik (siehe [3] s. 65-66) postuliert, dass ein Zustand nach einer Messung der Gr¨oßeA in einen Eigenzustand vonA ubergeht, wobei der dazugeh¨¨ orige Eigenwert mit dem gemessenem Ergebnis ¨ubereinstimmt.

Ausgehend von diesen Überlegungen ergeben sich zwei Probleme. Erstens mussA nicht auf ganz H definiert sein, weshalb man die physikalisch sinnvollen Zustände aus einer geeigneten Unterstruktur X wählen muss. Zweitens kann es sein, dass A überhaupt keine Eigenvektoren hat. Im Laufe dieser Arbeit werden wir erkennen, dass sich durch die Erweiterung von H zu einem nuklearen Tripel auch das Problem mit den Eigen- vektoren in den Griff kriegen lässt. Die grundlegende Idee hierbei ist, dass wir unsere Untersuchungen auf verallgemeinerte Eigenvektoren ausweiten.

Definition 1.1. Es sei A :X → X eine lineare Abbildung. Wir nennen ξ ∈X⁰ einen verallgemeinerten Eigenvektor zum Eigenwertω, falls

ξ(Ax) =ω ξ(x) f¨ur allex ausX gilt.

2 Stetige lineare Abbildungen zwischen Hilbertr¨ aumen

2.1 Kompakte Operatoren

Wir werden uns des ¨Ofteren auf die aus der Funktionalanalysis bekannte Polarzerlegung berufen.

(3)

Lemma 2.1 (Polarzerlegung). Sind H₁, H₂ Hilbertr¨aume, und ist T ∈L_b(H₁, H₂), so ist A:=√

T^∗T ein positiver Operator und es existiert ein isometrischer Operator U :range(A)→H₂, sodass T =U◦A.

Definition 2.2. Wir nennen einen OperatorT ∈L_b(H₁, H₂)kompakt, falls jede beschränkte Menge auf eine präkompakte Menge abgebildet wird, oder äquivalent, falls die Menge T(B₁(0)) kompakt ist. B₁(0) bezeichnet dabei die Einheitskugel. Die Menge aller kompakten Operatoren nennen wir K(H₁, H₂).

Korollar 2.3. Ist T :H1 →H2 ein kompakter Operator, so existieren

Orthonormalsysteme {v_k : k ∈ I} ⊂ H1, {b_k : k ∈ I} ⊂ H2 und λ_k ∈ R, k ∈ I mit I ={1, .., n} oder I =N, sodass

T(x) =X

k∈I

λ_khv_k|xib_k f¨ur alle x∈H₁.

Des Weiteren gilt λ_k >0, λ_m ≥λ_n f¨ur k, n, m∈N, n≥m und limk→∞λ_k = 0, falls I nicht endlich ist.

Beweis. Betrachten wir einen beliebigen kompakten Operator T, so können wir ihn gemäß 2.3 polar zerlegen. Mit T = U ◦A ist auch B := T^∗T kompakt. Da B selb- stadjungiert ist, folgt aus dem Spektralsatz für kompakte selbstadjungierte Operatoren die Existenz eines Orthonormalsystemes {v_k : k ∈ I} und von reellen µ_k 6= 0, k ∈ I, mit einer Indexmenge I ={1, .., n} oder I =N, sodass B(x) =P

k∈Iµkhv_k|xivk. Weil B positiv ist, gilt µ_k > 0. Ohne Beschr¨ankung der Allgemeinheit k¨onnen wir die µn

so wählen, dass µ_m ≥ µ_n für n ≥ m ist. Wenn I nicht endlich ist, gilt außerdem limk→∞µk = 0. Fürλk:=√

µk folgt A(x) =

√

B(x) =X

k∈I

λkhv_k|xivk. Der OperatorT l¨asst sich dann schreiben als

T(x) =U(X

k∈I

λ_khv_k|xiv_k) =X

k∈I

λ_khv_k|xiU(v_k) =X

k∈I

λ_khv_k|xib_k,

wobei b_k := U(v_k) auf Grund der Isometrie von U wieder ein Orthonormalsystem ist.

FallsI nicht endlich ist, gilt auch limk→∞λk = 0.

2.2 Hilbert-Schmidt-Operatoren

Definition 2.4. Wir nennen einen kompakten OperatorT ∈Lb(H1, H2)Hilbert-Schmidt- Operator, falls f¨ur die λ_k aus der Darstellung in Korollar 2.3 gilt P

kλ²_k<+∞.

(4)

Im Folgenden wird eine andere Herangehensweise zu Hilbert-Schmidt-Operatoren vorgestellt.

Lemma 2.5. Seien T ∈ Lb(H1, H2) und {f_k :k ∈ I},{g_k : k ∈ I} Orthonormalbasen von H₁. Dann gilt

X

k

kT(g_k)k²=X

k

kT(f_k)k²∈[0,+∞].

Insbesondere ist P

kkT(g_k)k² endlich, genau dann wenn es P

kkT(f_k)k² ist.

Beweis. Ist{h_j :j ∈J}eine beliebige Orthonormalbasis von H2, so gilt X

k

kT(fk)k² =X

k

X

j

| hh_j|T(fk)i_H

2|² =X

j

X

k

| hT^∗hj|f_ki_H

1|²=X

j

kT^∗hjk²

=X

j

X

k

| hT^∗h_j|g_ki_H

1|² =X

k

X

j

| hh_j|T(g_k)i_H

2|² =X

k

kT(g_k)k². Da alle Summanden positiv sind, d¨urfen wir die Summationsreihenfolge vertauschen.

Wegen Lemma 2.5 macht folgende Definition Sinn.

Definition 2.6. Es seienH1, H2 Hilbertr¨aume und {f_k:k∈I} eine Orthonormalbasis von H₁. Dann definieren wir

S₂(H₁, H₂) :={T ∈L_b(H₁, H₂) :X

k

kT(f_k)k² <+∞}.

F¨ur alleT ∈ S₂(H1, H2) sei kTk₂ :=pP

kkT(f_k)k².

Bemerkung 2.7. Wie man aus dem Beweis von Lemma 2.5 erkennt, istP

jkT(f_j)k²= P

jkT^∗(h_j)k², wobei {f_k :k ∈I} eine Orthonormalbasis von H₁ und {h_j :j ∈J} eine von H2 ist. Damit giltT ∈ S₂(H1, H2) genau dann, wenn T^∗ ∈ S₂(H2, H1).

Wir zeigen in Folge eine verallgemeinerte Version des Majorantenkriteriums.

Lemma 2.8. Es sei J eine Menge, A ein Banachraum, B ein normierter Raum und (a_j)j∈J, (b_j)j∈J Familien mit a_j ∈Abeziehungsweiseb_j ∈B. Existiert P

j∈Jb_j und gilt f¨ur jede endliche Teilmenge M ⊂J

kX

j∈M

ajk_A≤ kX

j∈M

bjk_B so existiert auch P

j∈Jaj und es gilt kP

j∈Jajk_A≤ kP

j∈Jbjk_B. Beweis. Aus den Voraussetzungen folgt, dassP

j∈Mb_jgegen einb∈Buber der gerichteten¨ Menge der endlichen Teilmengen vonJ konvergiert. F¨ur alle >0 existiert in Folge ein endliches M ⊂J, sodass f¨ur alle endliche N mitM ⊂N

k X

j∈N\M

bjk_B =kX

j∈N

bj −X

j∈M

bjk_B <

(5)

gilt. F¨ur endlicheX, Y ⊃M erhalten wir kX

j∈X

aj−X

j∈Y

ajk_A≤ k X

j∈X\M

ajk_A+k X

j∈Y\M

ajk_A

≤ k X

j∈X\M

b_jk_B+k X

j∈Y\M

b_jk_B<2·. Damit ist P

j∈Maj ein Cauchy-Netz und wegen der Vollst¨andigkeit von A existiert P

j∈Ja_j.

Satz 2.9. Für Hilberträume H1, H2 sei {f_k : k ∈ I} eine Orthonormalbasis von H1, {g_k:k∈J} eine solche von H₂ und bezeichne ξ das Zählmaß auf I×J. Dann ist

Φ :

(S₂(H₁, H₂) →L²(I×J, ξ)

T 7→(hg_j|T(fi)i)_(i,j)∈I×J

ein isometrischer Isomorphismus, wenn man S₂(H₁, H₂) mit der k.k₂-Norm versieht.

Des Weiteren gilt kTk_L_b_(H₁_,H₂₎≤ kTk_S₂_(H₁_,H₂₎ f¨ur ein T ∈ S₂(H1, H2).

Beweis. F¨ur einT ∈ S₂(H1, H2) gilt kΦ(T)k²_L2 =X

i

X

j

| hg_j|T(f_i)i |²=X

i

kT(fi)k² =kTk²₂. (1) Die Abbildung Φ ist also eine isometrische und damit auch injektive Abbildung nach L²(I×J, ξ). Bezüglich der Surjektivität sei zunächst bemerkt, dass wegen der Chauchy- Schwarz Ungleichung fürφ∈L²(I×J, ξ) und einem endlichenM ⊂I×J

k X

(i,j)∈M

φ(i, j)hf_i|xig_jk² =X

j∈J

k X

i:(i,j)∈M

φ(i, j)hf_i|xig_jk²

=X

j∈J

X

i:(i,j)∈M

|φ(i, j)hf_i|xi |2

≤X

j∈J

( X

i:(i,j)∈M

|φ(i, j)|²)( X

i:(i,j)∈M

| hf_i|xi |²)

≤ kxk² X

(i,j)∈M

|φ(i, j)|² <+∞

gilt. Damit ist die ReiheP

(i,j)∈I×Jkxk²|φ(i, j)|² im Sinne des Lemmas 2.8 eine konvergente Majorante von P

(i,j)∈I×Jφ(i, j)hf_i|xigj. Es folgt, dass T(x) := X

(i,j)∈I×J

φ(i, j)hf_i|xigj

(6)

wohldefiniert ist. Dabei giltkTk_L

b(H1,H2) ≤ kφk_L2 <+∞, also T ∈L_b(H₁, H₂). Gem¨aß unserer Konstruktion gilthg_j|T(fi)i=φ(i, j) und damit

X

i

kT(fi)k²=X

i

X

j

|φ(i, j)|² =kφk²_L2 <+∞.

Es folgtT ∈ S₂(H₁, H₂) und Φ(T) =φ. Wieder wegen (1) giltkTk_L

b(H1,H2)≤ kΦ(T)k_L2 = kTk_S₂_(H₁_,H₂₎.

Korollar 2.10. S₂(H1, H2) ist ein Banachraum.

Lemma 2.11. Die Elemente aus S₂(H1, H2) sind kompakte Operatoren. Außerdem gilt S₂(H₁, H₂) ={T ∈L_b(H₁, H₂) :dim(T(H₁))<∞}^k.k².

Beweis. Für einf ∈L²(I×J, ξ⊗ξ) können nur abzählbar viele Einträge ungleich Null sein. Die Menge M := {(i, j) ∈I ×J :f_(i,j) 6= 0} ist also abzählbar. Wir wählen eine aufsteigende Mengenfolge MN ⊂ I ×J, N ∈ N, bestehend aus endlichen Mengen mit M =S

N∈NMN. Bezeichnen wir mit1B die Indikator-Funktion einer MengeB, so folgt f =1Mf = lim

N→∞1MNf,

wobei die Konvergenz in L²(I ×J, ξ) bezüglich k.k₂ gilt. Ist Φ wie in Satz 2.9 und f = Φ(T) für einT ∈ S₂(H₁, H₂), und setzen wirT_N := Φ⁻¹(1MNΦ(T)), so erhalten wir T = lim_N→∞T_N. Aus Satz 2.9 folgt, dassT_N auch bezüglich der Operator-Norm gegen T konvergiert. Wir könnenTN folgendermaßen darstellen

T_N = X

(i,j)∈I×J

Φ(T_N)(i, j)hf_i|xig_j = X

(i,j)∈M_N

Φ(T)(i, j)hf_i|xig_j.

Da MN endlich ist, hat TN endlichdimensionales Bild. Damit ist T als Grenzwert von Operatoren mit endlichdimensionalem Bild kompakt.

Wegen lim_N∈NkT−T_Nk₂ = 0 gilt

S₂(H₁, H₂)⊂ {T ∈L_b(H₁, H₂) :dim(T(H₁))<∞}^k.k².

Wir betrachten einen Operator T ∈ L_b(H1, H2) mit endlichdimensionalem Bild und w¨ahlen eine orthonormale Basis{g₁, .., g_n} ⊂H₂ von T(H₁). Es folgt

T(x) =

n

X

k=1

hg_k|T(x)ig_k=

n

X

k=1

hT^∗(g_k)|xig_k.

(7)

Im n¨achsten Schritt w¨ahlen wir eine Orthonormalbasis{f₁, .., f_m} von

span{T^∗(gk) :k= 1..n}und erweitern diese zu einer Orthonormalbasis F von H1. Wir erhalten

kTk²₂ =X

f∈F

kT(f)k² =

m

X

k=1

kT(f_k)k² <+∞.

Damit sind Operatoren mit endlichdimensionalem Bild auch in S₂(H₁, H₂). Da der Raum der Hilbert-Schmidt-Operatoren vollst¨andig ist, gilt sogar

{T ∈Lb(H1, H2) :dim(T(H1))<∞}^k.k² ⊂ S₂(H1, H2).

Satz 2.12. Seien H₁, H₂ Hilbertr¨aume. Die Elemente aus S₂(H₁, H₂) sind genau die Hilbert-Schmidt-Operatoren zwischen H₁ und H₂.

Beweis. IstTein Hilbert-Schmidt-Operator, so l¨asst er sich gem¨aß Korollar 2.3 schreiben als

T(x) =X

k∈I

λ_khv_k|xib_k,

wobei {v_k : k ∈ I},{b_k :k ∈ I} Orthonormalsysteme der jeweiligen R¨aume sind. Des Weiteren giltP

kλ²_k<+∞ mitλ_k>0. Wir k¨onnen{v_k:k∈I}zu einer Orthonormal- basisE erweitern. Damit gilt

X

v∈E

kT(v)k²=X

j∈I

kT(vj)k² =X

j

X

k

|λ_khv_k|v_ji |² =X

j

λ²_j <+∞;

also T ∈ S2(H1, H2). Gehen wir umgekehrt davon aus, dass T ∈ S₂(H1, H2) ist, so muss T nach Lemma 2.11 bereits kompakt sein. Wir k¨onnen es also gem¨aß Korollar 2.3 schreiben alsT(x) =P

kλkhv_k|xibk. WegenP

jλ²_j =P

jkT(vj)k²<+∞ ist T ein Hilbert-Schmidt-Operator.

Satz 2.13. Es seien H₁, H₂, H₃ Hilbertr¨aume. F¨ur Operatoren B₁ ∈L_b(H₂, H₃), B₂ ∈ L_b(H₁, H₂), S₁∈ S₂(H₁, H₂) und S₂ ∈ S₂(H₂, H₃) gilt

B₁◦S₁∈ S₂(H₁, H₃) und S₂◦B₂ ∈ S₂(H₁, H₃).

Beweis. Aus

X

k

kB₁(S₁(f_k))k²≤ kB₁kX

k

kS₁(f_k)k²<+∞

(8)

folgt B₁◦S₁∈ S₂(H₁, H₃).

F¨ur B2 ∈ B(H1, H2) und S2 ∈ S2(H2, H3) gilt gem¨aß Bemerkung 2.7 auch B^∗₂ ∈ B(H₂, H₁) und S₂^∗∈S₂(H₃, H₂). Aus dem bereits bewiesenen folgt

(S₂◦B₂)^∗=B₂^∗◦S₂^∗ ∈ S₂(H₃, H₁). Wieder wegen Bemerkung 2.7 ist damit auch S₂◦B₂ = ((S₂◦B₂)^∗)^∗∈ S₂(H₁, H₃).

2.3 Nukleare Operatoren

Definition 2.14. Es seien H₁, H₂ Hilbertr¨aume undT :H₁→H₂ ein kompakter Oper- ator. Wir schreiben T wie in Korollar 2.3, und nennenT nuklear, falls P

kλk<+∞.

Lemma 2.15. Nukleare Operatoren sind Hilbert-Schmidt-Operatoren.

Beweis. Da aus P

kλ_k < +∞ sofort P

kλ²_k < +∞ folgt, ist jeder nukleare Operator auch ein Hilbert-Schmidt-Operator.

Lemma 2.16. Ein beschr¨ankter Operator ist genau dann nuklear, wenn er die Hintere- inanderausf¨uhrung von zwei Hilbert-Schmidt-Operatoren ist.

Beweis. Ist T nuklear und sei T =U ◦A die Polarzerlegung gem¨aß Lemma 2.1, so gilt f¨ur die Eigenwerteλ_k von A

X

k

λ_k<+∞.

Damit erhalten wir f¨ur die Eigenwerte µ_k von √

A, dass P

kµ²_k =P

kλ_k <+∞. Also ist √

A und wegen Satz 2.13 auch U ◦√

A ein Hilbert-Schmidt-Operatoren. Schließlich giltT = (U ◦√

A)◦√ A.

Gilt umgekehrt T = A◦ B mit A ∈ S₂(H2, H3) und B ∈ S₂(H1, H2), wobei A = P

kµ_khw_k|.id_k undT =P

kλ_khv_k|.ib_kdie jeweiligen Darstellungen gem¨aß Korollar 2.3 sind, so erhalten wir

X

n

λn=X

n

hb_n|AB(v_n)i=X

n

X

k

µ_khw_k|Bv_ni hb_n|d_ki

=X

n

X

k

hw_k|Bv_ni hb_n|Aw_ki ≤ 1 2

X

n

X

k

2| hw_k|Bv_ni | | hb_n|Aw_ki |

≤ 1 2

X

k,n

| hw_k|Bv_ni |²+| hb_n|Aw_ki |²

= 1

2(kAk₂+kBk₂)<+∞.

Man beachte, dass man beim Summieren von positiven Summanden nicht auf die Rei- henfolge achten muss. T ist also nuklear.

(9)

Definition 2.17. Wir bezeichnen die Menge aller Orthonormalsysteme auf einem Hilber- traumHmitO(H). F¨ur Hilbertr¨aumeH1, H2und OperatorenA∈Lb(H1, H2)definieren wir

kAk₁ := sup{X

k∈I

| hg_k|Af_ki |: (g_k)_k∈O(H2) und (f_k)_k∈O(H1)}

und S₁(H₁, H₂) :={A∈L_b(H₁, H₂) :kAk₁ <+∞}.

Lemma 2.18. k.k₁ ist eine Norm aufS₁(H₁, H₂).

Beweis. Offensichtlich gilt 0≤ k.k₁ <+∞ undkλAk₁=|λ|kAk₁.

Wir betrachten einen Operator, f¨ur den kAk₁ = 0 gilt. F¨ur alle f ∈ H1 \ {0} und g∈H2\ {0}sind {_kf^f_k} und{_kgk^g } orthonormal Systeme. Es gilt also

h g

kgk|A f kfk

i ≤ kAk₁ = 0,

woraushg|Afi= 0 f¨ur alle f ∈H1 und g∈H2, und somitA= 0 folgt.

Die Dreiecksungleichung gilt wegen kA+Bk₁ = supX

k

| hg_k|Af_ki+hg_k|Bf_ki |

≤supX

k

| hg_k|Af_ki |+ supX

k

| hg_k|Bf_ki | ≤ kAk₁+kBk₁.

Lemma 2.19. F¨ur einen kompakten Operator T =P

kλ_khv_k|.ib_k gilt P

kλ_k = kTk₁. Insbesondere ist jeder nuklearer Operator auch ein Element von S₁(H₁, H₂).

Beweis. Man sieht sofort, dass P

kλ_k = P

k| hb_k|T v_ki | ≤ kTk₁. F¨ur die umgekehrte Ungleichung betrachte man f¨ur (f_n)_n∈O(H₁) und (g_n)_n∈O(H₂)

X

n

| hg_n|T f_ni | ≤X

n

X

k

λ_k| hv_k|f_ni hg_n|b_ki |

≤X

k

λk

1 2

X

n

(| hv_k|f_ni |²+| hg_n|b_ki |²)≤X

k

λk. Damit folgtkTk₁≤P

kλk.

Lemma 2.20. Die Operatoren T ∈S1(H1, H2) sind kompakt.

(10)

Beweis. Es sei T ∈ S₁(H₁, H₂). Wir zeigen zunächst, dass A aus der Polarzerlegung T =U ◦A ein diskretes Spektrum hat. Dies gilt sicher, wenn wir nachweisen können, dass für alleα >0 die Mengeσ(A)∩[α,+∞) endlich ist.

Gibt es in der Mengeσ(A)∩(α,+∞) zumindestkverschiedene Punkteλ₁, .., λ_k, so sind die Mengen ∆i := (λi−δ, λi+δ) paarweise disjunkt, wenn nur δ klein genug ist. Wir w¨ahlen es auch derart, dassλi−δ > α. Nehmen wir nun an, dass E(λi−δ, λi+δ) = 0, so folgt

I =E((λi−δ, λi+δ)^c) = Z

R\(λ_i−δ,λ_i+δ)

t−λi

t−λ_i dE(t)

= (A−λiI) Z

1

t−λ_i dE(t) = Z

1

t−λ_i dE(t)(A−λiI).

Damit istA−λiI invertierbar, was im Widerspruch zu λi∈σ(A)∩[α,+∞) steht.

Wir finden also f¨uri= 1, .., k ein normiertesf_i im Bild von E(λ_i−δ, λ_i+δ). Wegen A(

Z

(λi−δ,λi+δ)

1

t dE(t)fi) =E(λi−δ, λi+δ)fi =fi,

liegen allefi im Bild von A. Wir definieren gi:=U(fi). Da auf Grund der Disjunktheit der Intervalle (λi−δ, λi+δ) diefi und infolgegi ein Orthonormalsystem bilden, gilt

kTk₁≥

k

X

i=1

hg_i|T(f_i)i=

k

X

i=1

hf_i|A(f_i)i ≥kα.

Es folgtk≤ ^kT_α^k¹. Damit kannσ(A)∩(α,+∞) höchstens endlich sein. Insbesondere gilt σ(A) ={λ_k :k∈J} mit einem höchstens abzählbarenJ. Wir erhalten

A= Z

{λ_k:k∈J}

t dE=X

k∈J

λ_kE({λ_k}).

K¨onnen wir noch nachweisen, dass das Bild von E({λ_k}) endliche Dimension hat, so ist A und damit auchT kompakt. Wir w¨ahlen ein orthonormal System (f_k)_k=1,..,n von ran(E({λ_m})). Auch hier gilt wiederf_k∈ran(A). Definieren wirg_k:=U(f_k), so folgt

nλm =

n

X

j=1

hf_j|A(f_j)i=

n

X

j=1

hg_j|T(fj)i ≤ kTk₁,

also n≤ ^kT_λ¹^k

m . Die Menge ran(E({λ_m})) ist somit von endlicher Dimension.

Korollar 2.21. Die Menge S₁(H₁, H₂)besteht genau aus den nuklearen Operatoren, die von H1 nach H2 abbilden. Dabei gilt kTk₁=P

kλk.

(11)

Beweis. Wie in Lemma 2.19 gezeigt wurde, stimmen f¨ur kompakte Operatoren T die Begriffe nuklearer Operator und S₁(H1, H2) ¨uberein, und es gilt kTk₁ = P

kλk. Da ein nuklearer Operator T per Definition kompakt ist, folgt T ∈ S₁(H₁, H₂). Umgekehrt haben wir in Lemma 2.20 gesehen, dass ein OperatorS ∈ S₁(H₁, H₂) kompakt ist.

Bemerkung 2.22. F¨ur Hilbertr¨aume H₁, H₂ gilt

S₁(H₁, H₂)⊂ S₂(H₁, H₂)⊂K(H₁, H₂).

Lemma 2.23. Es seien H1, H2 Hilberträume, (Tj)j∈J ein Netz in S₁(H1, H2) und T ∈ S₁(H₁, H₂) mit T = lim_jT_j bezüglich k.k₁. Unter diesen Voraussetzungen folgt T = limjTj bezüglich k.k₂.

Beweis. Sei also T, T_j ∈ S₁ mit lim_jkT −T_jk₁ = 0. Dann gibt es einen Index j₀ ∈ J, sodass kT −Tjk₁ < 1 f¨ur alle j ≥ j0. Schreiben wir T −Tj = P

kλkhv_k|.ibk gem¨aß Korollar 2.3, so folgtλ_k≤P

nλ_n<1. Damit erhalten wirP

kλ²_k≤P

kλ_k=kT−T_jk₁, beziehungsweise kT −T_jk²₂ ≤ kT −T_jk₁. Also konvergiert das Netz T_j auch bez¨uglich der Hilbert-Schmidt-Norm gegenT.

Satz 2.24. S₁(H1, H2) ist vollst¨andig, und es gilt

S₁(H1, H2) ={T ∈Lb(H1, H2) :dim(T)<∞}^k.k¹.

Beweis. IstT_j eine Cauchy-Folge in (S₁(H₁, H₂),k.k₁), dann gilt lim_(i,j)∈_N2kT_j−T_ik₁= 0. Nach Lemma 2.23 gilt dann auch lim_(i,j)∈_N²kT_j−T_ik₂ = 0. Soweit istTj eine Cauchy- Folge in (S₂,k.k₂). In Satz 2.9 wurde gezeigt, dass k.k ≤ k.k₂. Folglich konvergiert Tj

bez¨uglich der Operatornorm gegen ein T. Damit gilt | hg_k|T f_ki | = lim_j| hg_k|T_j(f_k)i |.

Betrachten wir nun zwei Orthonormalsysteme (fk)k∈J ∈O(H1) und (gk)k∈J ∈O(H2), so folgt

X

k∈J

| hg_k|(T −T_i)f_ki |=X

k∈J

lim inf

j→∞ | hg_k|(T_j −T_i)f_ki |

≤lim inf

j→∞

X

k∈J

| hg_k|(T_j −Ti)f_ki | →

i→∞0.

F¨ur alle >0 existiert also ein Index n((f_k)_k∈J,(g_k)_k∈J), sodass f¨ur alle i≥n (f_k)k∈J,(g_k)k∈J

giltP

k∈J| hg_k|(T −Ti)f_ki |< ₂. Des Weiteren existiert ein n₀∈N, sodass f¨ur allei, j≥n₀ giltkT_i−T_jk₁ < ₂. Definieren wir

m:= max{n₀, n((f_k)k∈J,(g_k)k∈J)}, so folgt f¨ur alle n≥n₀ X

k∈J

| hg_k|(T −Tn)fki | ≤X

k∈J

| hg_k|(T −Tm)fki |+X

k∈J

| hg_k|(T_m−Tn)fki |

≤

2+kT_n−T_mk₁ < .

(12)

Dan₀ nicht von (f_k)k∈J,(g_k)k∈J abh¨angt, folgtkT−T_nk₁≤, womit die Vollst¨andigkeit bewiesen ist. WegenT = limNPN

k=1λkhv_k|.ibkgiltkT−T_Nk₁ =P

k>Nλk. Wir k¨onnen also jeden nuklearen Operator durch eine Folge von Abbildungen mit endlichdimensionalem Bild approximieren.

Betrachten wir nun eine stetige Abbildung T :H1 → V ⊂H2, wobei V endlichdimen- sional ist. Weil sowohl die Identit¨atI_V :V → V wie auchT endlichdimensionales Bild haben, sind sie beide Hilbert-Schmidt-Operatoren. Damit ist T = I_V ◦T als Zusam- mensetzung von Hilbert-Schmidt-Operatoren gem¨aß Lemma 2.16 nuklear.

Satz 2.25. Es seien H1, H2, H3 Hilbertr¨aume. F¨ur Operatoren B1 ∈Lb(H2, H3), B2 ∈ L_b(H₁, H₂), S₁∈ S₁(H₁, H₂) und S₂ ∈ S₁(H₂, H₃) gilt:

B1◦S1∈ S₁(H1, H3) und S2◦B2 ∈ S₁(H1, H3).

Beweis. Wenn S_i ein nuklearer Operator ist, können wir ihn gemäß Lemma 2.16 in zwei Hilbert-Schmidt-Operatoren Si = Ti ◦Ri zerlegen. Da das Produkt von einem Hilbert-Schmidt-Operator und einem beschränkten Operator gemäß Satz 2.13 wieder Hilbert-Schmidt ist, sind für einen beschränkten OperatorB_i die Ausdrücke B₁◦S₁ = (B1 ◦T1)◦R1 und S2 ◦ B2 = T2 ◦(R2 ◦B2) wieder Produkte von Hilbert-Schmidt- Operatoren, und damit gemäß Lemma 2.16 nuklear.

3 Direktes Integral von Hilbertr¨ aumen

Wir werden eine Methode kennenlernen, mit der man aus einer Familie von Hilbertr¨aumen einen neuen konstruieren kann. Wir bezeichnen hier mit H immer einen separablen Hilbertraum.

Bemerkung 3.1. Aus der Funktionalanalysis ist bekannt, dass ein separabler Hilber- traum eine abz¨ahlbare Orthonormalbasis hat.

Mit dem direkten Integral wollen wir eine Verallgemeinerung der orthogonalen Summe vorstellen, ¨ahnlich wie das Integral bez¨uglich eines Maßes eine Verallgemeinerung einer Summe ist.

Definition 3.2. Es sei(Ω,A, µ) ein Maßraum,M(C) die Menge aller Borel-messbaren Funktioneng: Ω→C. Wir nennen eine Funktion f : Ω→H messbar, falls

(ω 7→ hh|f(ω)i)∈M(C)

f¨ur alle h ∈ H gilt. Wir bezeichnen mit M(H) die Menge aller messbaren Funktionen f : Ω → H. Des Weiteren ist L₁(µ) die Menge der messbaren Funktionen f ∈ M(C) mit R

|f|dµ <+∞.

(13)

Lemma 3.3. F¨ur messbare Funktionen f, g: Ω→H gilt

(ω7→ hf(ω)|g(ω)i)∈M(C) und (ω7→ kf(w)k²)∈M(C).

Beweis. Gem¨aß Bemerkung 3.1 existiert eine abz¨ahlbare Orthonormalbasis{e_j :j ∈I} mitI ⊂N. Die Funktion

hf(.)|g(.)i=X

j∈I

hf(.)|e_ji he_j|g(.)i

ist als abz¨ahlbare und punktweise konvergente Summe der messbaren Funktionen hf(.)|e_ji he_j|g(.)i selbst messbar. Wegen kf(ω)k² = hf(.)|f(.)i, ist damit auch ω 7→

kf(w)k² messbar.

Wegen Lemma 3.3 ist die folgende Definition sinnvoll.

Definition 3.4. F¨ur einen HilbertraumH und einen Maßraum (Ω,A, µ) definieren wir h:={f ∈M(H) :

Z

kf(ω)k² dµ <+∞}. (2)

Lemma 3.5. F¨ur f, g∈h und α, β∈Cgilt

hf(.)|g(.)i ∈L¹(µ) und αf+βg∈h.

Beweis. Es gilt | hf(ω)|g(ω)i | ≤ kf(ω)kkg(ω)k. Zusammen mit der Cauchy-Schwarz Ungleichung und Lemma 3.3 erhalten wir

Z

| hf(ω)|g(ω)i | dµ≤ Z

kf(ω)kkg(ω)k dµ≤Z

kf(ω)k² dµ Z

kg(ω)k² dµ1/2

<+∞.

Damit ist

Definition 3.6. F¨ur f, g∈h definieren wir N :={h∈h:

Z

khk²dµ= 0}, f ∼g:⇔f−g∈N, [f] :={g∈h:f ∼g}

und Z

MH dµ:={[f] :f ∈h}=h_/∼.

Lemma 3.7. Die Menge h bildet einen Vektorraum undN einen Unterraum davon.

(14)

Beweis. Aus Lemma 3.5 folgt f¨urf, g∈h, dassαf+βg∈h. Damit isthein Untervek- torraum von dem Raum aller Funktionen von Ω nach H.

Ausf, g∈N folgt Z

kαf(ω) +βg(ω)k² dµ= Z

hαf(ω) +βg(ω)|αf(ω) +βg(ω)i dµ

≤ Z

≤2|α||β|

Z

| hf(ω)|g(ω)i |dµ

≤2|α||β|Z

kf(ω)k² dµ Z

kg(ω)k² dµ1/2

= 0.

Zusammen mit 0∈N und N ⊂herhalten wir, dassN ein Unterraum vonhist.

Also ist R L

H dµein Vektorraum.

Lemma 3.8. Die Definition

h[f]|[g]i:=

Z

hf(ω)|g(ω)idµ ist unabhängig vom gewählten Repräsentanten.

Beweis. Es sei f ∼f˜und g ∼g. Wir k¨˜ onnen ˜f ,g˜ auch schreiben als ˜f = f +n_f und

˜

g=g+ng mitnf, ng ∈N. Zun¨achst bemerken wir, dass f¨ur beliebigeh∈hundn∈N Z

| hh|ni |dµ≤( Z

khk² dµ Z

knk² dµ)^1/2= 0 gilt. Damit folgt

Z

hf˜(ω)|˜g(ω)i dµ= Z

hf(ω)|g(ω)i+hf˜|n_gi+hn_f|gi dµ=

Z

hf(ω)|g(ω)i dµ.

Satz 3.9. Der SkalarproduktraumR L

H dµist isomorph zuLn

m=1L²(Ω, µ)mit einem n∈N∪ {∞} ist. Genauer gesagt ist

Φ :

(R LH dµ →L_n

m=1L²(Ω, µ), f 7→ he_m|f(.)iⁿ_m=1,

ein isometrischer Isomorphismus, wobei (e_m)ⁿ_m=1 eine Orthnormalbasis von H ist.

Beweis. F¨urf ∈M(H) gilt kfk²=

Z

kf(ω)k² dµ= Z n

X

m=1

| he_m|f(ω)i |² dµ=

n

X

m=1

Z

| he_m|f(ω)i |² dµ

=

n

X

m=1

k he_m|f(.)i k².

(15)

Wir folgern daraus, dass Φ nach Ln

m=1L²(Ω, µ) abbildet und isometrisch ist. Offen- sichtlich ist die Abbildung linear und injektiv.

Um die Surjektivit¨at nachzuweisen, sei (f_m)ⁿ_m=1 ∈ L_n

m=1L²(Ω, µ). Wir definieren die Abbildung

f :

( Ω→H ω7→Pn

m=1fm(ω)em. Wegen

kfk² =

n

X

m=1

k he_m|f(.)i k² =

n

X

m=1

kf_mk²<+∞

ist f ∈R L

H dµund es gilt (f_m)ⁿ_m=1= Φ(f).

Korollar 3.10. R L

H dµ ist ein Hilbertraum.

Bemerkung 3.11. Um eine kompakte Notation beizubehalten, werden wir statt [f]

nur f schreiben. Ob die ¨Aquivalenzklasse oder ein Repr¨asentant gemeint ist erschließt sich aus dem Kontext.

Definition 3.12. Ist C ∈ A, so k¨onnen wir durch (C,A∩ C, µ|_A∩C) einen neuen Maßraum konstruieren. Das direkte Integral bez¨uglich diesem Maßraum bezeichnen wir mit

Z

C

MH dµ.

Wir wollen nun den Begriff des direkten Integrales auf hilbertraumwertige Funktionen verallgemeinern.

Bemerkung 3.13. Wir bezeichnen mitN∞ die Menge N∪ {∞}.

Definition 3.14. Gegeben ist ein Maßraum (Ω,A, µ) und eine Menge von separablen Hilbertr¨aumen H := {H₁, H₂, .., H∞} mit dim(H_n) = n ∈ N∞. Sei H : Ω → H eine Funktion mitX_n:={ω:H(ω) =H_n} ∈Af¨ur alle n∈N. Die Menge g sei definiert als die Menge aller Funktionenf : Ω→S

n∈N∞Hn, f¨ur die gilt f|_X_n ∈

Z

Xn

MHn dµund X

n∈N^∞

kf|_X_nk² <+∞.

Definition 3.15. F¨urf, g∈g definieren wir

f ∼g:⇔[f|_X_n] = [g|_X_n]f¨ur alle n∈N∞, [f] :={g∈g:f ∼g}, und

Z

MH(ω) dµ:={[f] :f ∈g}=g_/∼.

(16)

Lemma 3.16. F¨urf ∼f,˜ g∼g˜ und α, β∈C gilt [αf+βg] = [αf˜+βg],˜ X

j∈N^∞

| h[f|_X_j]|[g|_X_j]i |<∞

und X

j∈N^∞

h[f|_X_j]|[g|_X_j]i= X

j∈N^∞

h[ ˜f|_X_j]|[˜g|_X_j]i. Insbesondere wird R L

H(ω) dµ zu einem Skalarproduktraum mit h[f]|[g]i :=P

j∈N^∞h[f|_X_j]|[g|_X_j]i und der ¨ublichen Addition und Multiplikation auf den Nebenklassen.

Beweis. Es gilt zun¨achst auf Grund der Cauchy-Schwartz Ungleichung

| h[f]|[g]i | ≤ X

n∈N^∞

| h[f|_X_n]|[g|_X_n]i | ≤ X

n∈N^∞

k[f|_X_n]k k[g|_X_n]k

≤ s

X

n∈N^∞

k[f|_X_n]k² X

n∈N^∞

k[g|_X_n]k²<+∞.

Per Definition gilt [f|_X_n] = [ ˜f|_X_n] und [g|_X_n] = [˜g|_X_n]. Auf den einzelnen R¨aumen R

Xn

LH(ω)dµ haben wir die Wohldefiniertheit dieser Operationen in Definition 3.8 bereits nachgewiesen. Es folgt

[(αf+βg)|_X_n] = [(αf˜+βg)|˜ _X_n], h[f|_X_n]|[g|_X_n]i=h[ ˜f|_X_n]|[˜g|_X_n]i.

Da die Gleichungen f¨ur allen∈N∞ gelten erhalten wir [αf+βg] = [αf˜+β˜g] und h[f]|[g]i= X

n∈N^∞

h[f|_X_n]|[g|_X_n]i= X

n∈N^∞

h[ ˜f|_X_n]|[˜g|_X_n]i=h[ ˜f]|[˜g]i.

Satz 3.17. Der SkalarproduktraumR L

H(ω)dµist Isomorph zuL

n∈N^∞(R

Xn

LH(ω)dµ).

Genauer gesagt, ist die Abbildung

Ψ :

(R LH(ω)dµ →L

n∈N^∞(R

Xn

LH(ω)dµ), f 7→(f|_X_n)n∈N^∞,

eine Bijektion, die mit der Addition, skalaren Multiplikation und h.|.i vertr¨aglich ist.

Beweis. Man lese direkt aus der Definition der ¨Aquivalenzrelation auf g ab, dass die Abbildung Ψ nachL

n∈N^∞(R

Xn

LH(ω)dµabbildet.

Gem¨aß der Definition des Skalarproduktes auf einer direkten Summe gilthΨ(f)|Ψ(g)i= P

n∈N^∞hf|_X_n|g|_X_ni=hf|gi. Die Vertr¨aglichkeit mit der Addition und skalaren Multip- likation, folgt aus

(17)

Ψ(αf+βg) = (αf+βg|_X_n)n∈N^∞ =α(f|_X_n)n∈I+β(g|_X_n)n∈N^∞ =αΨ(f) +βΨ(g).

Aus Ψ([f]) = 0 folgt für alle n ∈ N∞, dass [f|_X_n] = [0]. Wir erhalten f ∼ 0 und damit [f] = [0]. Zusammen mit der Linearität folgt daraus die Injektivität von Ψ.

Wir m¨ussen noch die Surjektivit¨at nachweisen.

Es sei (f_n)n∈N^∞ ∈L

n∈N^∞(R

Xn

LH(ω) dµ). Wir definieren f(ω) := f_n(ω) f¨urω ∈X_n. Damit gilt f|_X_n =fn. Zusammen mit

fn∈R

Xn

LH(ω) dµund P

n∈N^∞kf_nk²<+∞ folgt f ∈R L

H(ω) dµ und Ψ(f) = (f_n)n∈N^∞.

Korollar 3.18. (R L

H(ω) dµ,h.|.i) ist ein Hilbertraum.

4 Darstellung von selbstadjungierten Operatoren

Im Weiteren Verlauf dieser Arbeit seiA immer eine selbstadjungierte Abbildungen A:Dom(A)→H.

Das Ziel dieses Kapitel ist es, einen isometrischen Isomorphismus in ein direktes Integral U :H→R

H(ω) dµzu finden, sodass

U(A(f)) = [ω 7→ωU(f)(ω)], und f ∈Dom(A) genau dann wenn R

kwU(f)(ω)k² dµ < ∞. Unser Ziel ist es also, A als Multiplikationsoperator darzustellen.

4.1 Zyklische Hilbertr¨aume

Definition 4.1. Es sei E(.)ein Spektralmaß auf(Ω,A, H). F¨urg, h∈H definieren wir das komplexe Maß

E_g,h(∆) :=hE(∆)g|hi.

Definition 4.2. F¨ur eine sigma-Algebra A definieren wir T als die Menge aller Funk- tionen t: Ω→C der Bauart

t=

n

X

j=1

α_j1∆j, wobei gilt α_j ∈C und ∆_j ∈A.

(18)

Definition 4.3. Es sei E(.) ein Spektralmaß auf (Ω,A, H). Wir nennen ein f ∈ H zyklisch in Bezug auf E, falls

H=cls{E(∆)f : ∆∈A}.

Lemma 4.4. Es sei E ein Spektralmaß auf (R,B(R), H) und f ∈H zyklisch in Bezug auf E. Unter diesen Voraussetzungen existiert ein Maß µ, sodass es einen Isomorphis- mus

U :H→L²(R, µ) mit U(E(∆)f) =1∆ gibt.

Beweis. Es sei f ∈H wie in Definition 4.7 und µ:=Ef,f. Zun¨achst gilt k

n

X

j=1

α_jE(∆_j)fk²_H =h

n

X

j=1

α_jE(∆_j)f,

n

X

j=1

α_jE(∆_j)fi

=

n

X

j,k=1

α_jα_khE(∆_j)f|E(∆_k)fi=

n

X

j,k=1

α_jα_khE(∆_j∩∆_k)f|fi

=

n

X

j,k=1

α_jα_k µ(∆_j∩∆_k) =

n

X

j,k

α_jα_k Z

1∆j∩∆_kdµ

= Z ⁿ

X

j,k=1

αjαk1∆j1∆kdµ= Z

|

n

X

j=1

αj1∆j|²dµ

=k

n

X

j=1

αj1∆jk²_L2. F¨ur zwei DarstellungenP_n

j=1α_jE(∆_j)f =P_m

j=1α˜_jE( ˜∆_j)f erhalten wir mit ˆ

α_i:=

(α_i , f¨ur 1≤i≤n,

−α˜i−n, f¨urn+ 1≤i≤n+m

∆ˆ_i:=

(∆i , f¨ur 1≤i≤n,

−∆˜i−n, f¨urn+ 1≤i≤n+m folgende Gleichheit

k

n

X

j=1

αj1∆j −

m

X

j=1

˜

αj1∆˜jk_L2 =k

n+m

X

j=1

ˆ

αj1∆ˆjk_L2 =k

n+m

X

j=1

ˆ

αjE( ˆ∆j)fk_H

=k

n

X

j=1

αjE(∆j)f−

m

X

j=1

˜

αjE( ˜∆j)fk_H = 0.

(19)

Damit ist die Abbildung U˜ :

(span{E(∆)f : ∆∈A} →L²(R, µ) Pn

j=1αjE(∆j)f 7→Pn

j=1αj1∆j

wohldefiniert. Wegen kU˜(Pn

j=1αjE(∆j)f)k =kPn

j=1αj1∆jk=kPn

j=1αjE(∆j)fk ist U˜ isometrisch. F¨urPn

j=1α_jE(∆_j)f,Pm

l=1α˜_lE( ˜∆_l)f undλ, µ∈Cdefinieren wir ˆ

αi :=

(λ·α_i , f¨ur 1≤i≤n, µ·α˜i−n, f¨urn+ 1≤i≤2·n

∆ˆ_i :=

(∆i , f¨ur 1≤i≤n,

∆˜i−n, f¨urn+ 1≤i≤2·n.

Es folgt U˜(λ·

n

X

i=1

α_iE(∆_i)f +µ·

m

X

i=1

˜

α_iE( ˜∆_i)f) = ˜U(

n+m

X

i=1

ˆ

α_iE( ˆ∆_i)f) =

n+m

X

i=1

ˆ α_i1∆ˆi

=λ·

n

X

i=1

αi1∆if+µ·

m

X

i=1

˜ αi1∆˜if

=λ·U˜(

n

X

i=1

α_iE(∆_i)f) +µ·U˜(

m

X

i=1

˜

α_iE( ˜∆_i)f).

Mit dieser Definition ist ˜U also eine isometrische lineare Abbildung mit Definitionsbere- ich span{E(∆)f : ∆∈A} und BildbereichT. Diese k¨onnen wir zu einer isometrischen Abbildung U auf ganz H fortsetzen. Da span{E(∆)f : ∆ ∈ A} dicht in H und T dicht inL²(R, µ) liegt, erhalten wir einen isometrischen Isomorphismus zwischenH und L²(R, µ). Dabei gilt U(E(∆)f) = ˜U(E(∆)f) =1∆.

Lemma 4.5. Es sei U wie in Lemma 4.4. F¨ur g∈L²(R, µ) gilt U⁻¹(1∆g) =E(∆)U⁻¹(g),

oder ¨aquivalent U(E(∆)h) =1∆U(h) f¨ur alleh∈H.

Beweis. Da sowohlg7→U⁻¹(1∆g) als auchE(∆)◦U⁻¹stetige ist, reicht es die Gleichung auf der dichten Teilmenge T nachzuweisen. F¨ur eint=P

j=1..nαj1∆j gilt U⁻¹(1∆t) =U⁻¹

n

X

j=1

α_j1∆j∩∆

=

n

X

j=1

α_jE(∆)E(∆_j)f

=E(∆)

n

X

j=1

α_jE(∆_j)f

=E(∆)U⁻¹(t).

(20)

Nicht für jedes SpektralmaßE auf einem HilbertraumH lässt sich ein zyklischer Vek- tor f finden. Allerdings können wir H immer als orthogonale Summe von zyklischen Unterräumen schreiben.

Definition 4.6. F¨ur f ∈H\ {0} definieren wir

H_f :=cls{E(∆)f : ∆∈A}.

Eine TeilmengeM ⊂H\ {0} heißt zyklisch unabh¨angig, fallsH_f ⊥H_g f¨ur alle Elemente f, g∈M, f 6=g gilt.

Lemma 4.7. Es gibt eine zyklisch unabh¨angige Menge M, sodass H=L

f∈MH_f. Beweis. Das System aller zyklisch unabh¨angigen Teilmengen ist per Inklusion halbge- ordnet. Betrachten wir eine Kette T in diesem System, so gilt f¨ur alle M ∈ T, dass M ⊂ S

N∈T N =: S. Um das Lemma von Zorn anwenden zu können müssen wir noch nachweisen, dassS zyklisch unabhängig ist.

Wählen wirf,g verschieden aus S, so gibt es N_f, N_g ∈T mitf ∈N_f und g ∈N_g. Da eine Kette eine lineare Ordnung ist, gilt o.B.d.A. N_f ⊂N_g. Beide Elemente stammen also aus einer zyklisch unabhängigen Menge. Weil sie verschieden gewählt sind, gilt H_f ⊥H_g, womit S zyklisch unabhängig ist.

Nach dem Lemma von Zorn gibt es also ein maximales ElementM. Da die H_f orthogonal auf einander stehen, k¨onnen wir die direkte innere Summe ˜H := L

f∈MHf ⊂ H bilden. Da die direkte Summe von Hilbertr¨aumen wieder ein Hilbertraum ist, ist ˜H abgeschlossen. Damit gilt H = ˜H⊕H˜^⊥. Ist das orthogonale Komplement nicht der Nullraum, so gibt es ein v ∈H\ {0} welches orthogonal auf alle H_f mitf ∈ M steht.

Da die R¨aume H_f invariant unter E(∆) bleiben, gilt f¨ur alle xaus einem H_f hE(∆)v, xi=hv, E(∆)xi= 0.

Da die abgeschlossene lineare H¨ulle von Elemente dieser Bauart Hv ergeben, steht Hv

orthogonal auf alle H_f mit f ∈ M. Damit ist aber ˜M := M ∪ {v} ein echt größeres zyklisch unabhängiges System, was ein Widerspruch zur Maximalität vonM ist. Es gilt also ˜H^⊥=∅ und damitH= ˜H.

Lemma 4.8. Es sei M eine maximale zyklisch unabh¨angige Menge und f ∈M.

Bezeichnen wir mit P_f :H→H_f die orthogonale Projektion aufH_f, so gilt P_fE(∆) =E(∆)P_f.

Beweis. Aus Definition 4.6 erhalten wir, dass E(∆) den Raum H_f invariant lässt. Es sei M eine maximale Menge von zyklisch unabhängigen Vektoren. Zunächst bemerken wir, dassE(∆)Pgx∈Hg und damitPfE(∆)Pgx= 0 fürf 6=g gilt. Es folgt

P_fE(∆)x=P_fE(∆) X

g∈M

P_gx= X

g∈M

P_fE(∆)P_gx=P_fE(∆)P_fx=E(∆)P_fx.

”Rigged Hilbert spaces”