11 Produkte von abz¨ahlbar vielen W-Maßen

11 Produkte von abz¨ ahlbar vielen W-Maßen

In vielen W-Modellen treten Folgen unabh¨angiger Zufallsvariablen auf . F¨ur deren Existenz ben¨otigt man abz¨ahlbare Produkte von Wahrscheinlichkeitsr¨aumen ( vgl. auch unten :

”Unabh¨angigkeit“ ).

Sei {(Ωi,Ai, P_i)}i=1,2,... eine Folge von W-R¨aumen und Ω =

Q∞ i=1

Ωi, das kartesische Produkt,

π_i : Ω→Ωi, ω7→ω_i, die i-te Projektion, A = A(πi; i= 1,2, . . .) =

N∞ i=1

Ai, die Produkt-σ-Algebra.

Gesucht ist ein W-Maß P auf A mit

(∗) P({πi₁ ∈A_i1} ∩. . .∩ {πik ∈A_ik}) = P_i1(Ai₁)· · ·P_ik(Aik)

f¨ur jede endliche Teilmenge {i1, . . . , i_k} ⊂N und beliebige Mengen A_iν ∈ Aiν

(ν= 1, . . . , k).

Bemerkung 11.1. Die Forderung (∗) besagt genau, dass das gesuchte W-Maß P Mengen der Form

A1× · · · ×A_k× Y∞ i=k+1

Ωi

die Wahrscheinlichkeit P1(A1)· · ·P_k(Ak)

zuordnen soll. Das System dieser (so genannten)

”Zylindermengen“ bildet einen durch- schnittstabilen Erzeuger E der Produkt-σ-Algebra

N∞ i=1

Ai und P (falls existent) ist durch seine Werte auf E bereits eindeutig festgelegt.

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Lemma 11.1. F¨ur das System

E = n

A1 × · · · ×A_k× Y∞ i=k+1

Ωi

A_i ∈ Ai, k ∈N o

der Zylindermengen in Q∞ i=1

Ωi gilt: a) E ist ∩- stabil;

b) A(E) = A(πi; i= 1,2, . . .) = N∞ i=1

Ai.

Lemma 11.2. Sei R0 = n Sⁿ

i=1

E_i

E_i ∈ E, n∈N

o =⇒

a) R0 ist eine Algebra

in Ω = Q∞ i=1

Ωi

;

b) R0 = R0(E).

Bemerkung 11.2. Sei Re0 = n P^k

i=1

E_i

E_i ∈ E p.d., k∈No

=⇒ Re0 = R0 = R0(E).

Satz 11.1. Sei (Ωi,Ai, P_i)i=1,2,... eine Folge von W-R¨aumen . Dann gilt: a) Es gibt genau ein W-Maß P auf Q^∞

i=1

Ωi, N∞ i=1

Ai

mit

(∗) P ({πi₁ ∈A_i1} ∩. . .∩ {πik ∈A_ik}) = P_i1(Ai₁)· · ·P_ik(Aik) f¨ur beliebige {i1, . . . , i_k} ⊂N und A_iν ∈ Ai^ν (ν= 1, . . . , k) ; b) F¨ur (endlich-dimensionale) Mengen B_k∈ A1⊗ · · · ⊗ Ak gilt:

P B_k×

Q∞ i=k+1

Ωi

= (P1⊗ · · · ⊗P_k)(B_k).

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Definition 11.1.

a) Das Wahrscheinlichkeitsmaß P aus Satz 11.1 heißt Produkt(-maß) der Wahrscheinlichkeitsmaße P_i (i= 1,2, . . .) ; Bezeichnung:

N∞ i=1

P_i.

b) Q^∞

i=1

Ωi, N∞ i=1

Ai, N∞ i=1

P_i

heißt Produkt(-Raum) der Wahrscheinlichkeitsr¨aume (Ωi,Ai, P_i), i= 1,2, . . . ; Bezeichnung:

N∞ i=1

(Ωi,Ai, P_i).

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