9. ¨ Ubung zur Mathematischen Programmierung

Prof. Dr. U. Faigle SS 2003

9. ¨ Ubung zur Mathematischen Programmierung

Abgabe bis sp¨atestens Montag, 7. Juli um 10:00 in der ¨Ubung

Aufgabe 1 SeiP ⊆R²das (unbeschr¨ankte) Polyeder, das durch die folgenden Geraden begrenzt wird:

y=x+ 3, y =−1

2x+ 5, y = 10. Bestimmen SieA,bundV, W mit der Eigenschaft

P(A,b) =P =conv V +con W . Skizzieren SieP,conv V undcon W in jeweils verschiedenen Bildern.

Aufgabe 2 SeiV ⊆ Rⁿeine Menge von Vektorenv = (v₁, . . . , v_n), wobei0≤v_i ≤ 1gelte f¨ur alle Komponenteni. Wir betrachten den ganzzahligen Vektorx∈ {0,1}ⁿ. Zeigen Sie:

x∈conv V ⇐⇒ x∈V .

Aufgabe 3 Seix₀ ∈ P(A,b)gegeben undA⁰x≤b⁰ das Teilsystem all derjenigen Ungleichun- gena^Tx≤bvonAx≤bmit der Eigenschaft

a^Tx₀ =b .

Zeigen Sie: Die kleinste Seitenfl¨acheF vonP, diex₀enth¨alt, ist gegeben durch F ={x∈P |A⁰x=b⁰}.

Aufgabe 4 a) Zeigen Sie f¨ur die Matrix A ∈ R^m×n: Der Kern ker A ist der gr¨osste lineare Teilraum vonRⁿ, der in dem KegelP(A,0)enthalten ist.

b) Zeigen Sie bzgl. eines beliebigen Vektors b ∈ Rⁿ: Die Seitenfl¨ache F des Polyeders P = P(A,b)ist genau dann minimal unter den nichtleeren Seitenfl¨achen des PolyedersP, wenn es einen Punktx₀ ∈P gibt mit der Eigenschaft

F =x₀+ker A .

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