Testatfragen Analysis I
A) Grundlagen
1. Nennen Sie die Axiome der Addition und Multiplikation im K¨orper der reellen Zahlen.
2. Erkl¨aren Sie: Dedekindscher Schnitt.
3. Wie kann man einen periodischen Dezimalbruch in einen gemeinen Bruch umwan- deln?
4. Beweisen Sie mit dem Cantorschen Diagonalverfahren, daß die Mengen Q und R nicht gleichm¨achtig sind.
5. Nennen Sie den binomischen Lehrsatz.
6. Wie lautet die Bernoullische Ungleichung? Beweisen Sie ihre G¨ultigkeit mittels vollst¨andiger Induktion.
7. Was versteht man unter dem Infimum und dem Supremum einer Menge A⊆R?
8. Warum gilt sup
x∈A
(f1(x) +f2(x)) ≤ sup
x∈A
f1(x) + sup
x∈A
f2(x) f¨ur beliebiges A⊆R und beliebige beschr¨ankte Funktionen f1, f2: A→R?
9. Beweisen Sie die Dreiecksungleichung |a+b| ≤ |a|+|b| f¨ur beliebigea,b ∈R.
10. Definieren Sie: komplexe Zahlen, ihre Addition und Multiplikation, ihren Betrag.
Gilt die Dreiecksungleichung?
11. Was versteht man unter Real- und Imagin¨arteil einer komplexen Zahl?
12. ¨Uberf¨uhren Sie (u, w)∈C in trigonometrische Darstellung.
13. Deuten Sie die Addition komplexer Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene.
14. Erkl¨aren Sie die Bedeutung des Symbols k√
z in R und C. F¨ur welche z, k hat es jeweils Sinn?
15. Bestimmen Sie √5
2 ⊂C.
16. Klassifizieren Sie die Punkte eines metrischen Raumes ( Ω, %) nach ihrer Lage rel- ativ zu einer nichtleeren TeilmengeA ⊆Ω (innere Punkte von A, Randpunkte von A, H¨aufungspunkte von A, ...).
17. Erkl¨aren Sie: offene, abgeschlossene Menge.
18. Gibt es in einem beliebigen metrischen Raum ( Ω, %) Mengen, die sowohl offen als auch abgeschlossen sind?
19. Benennen Sie im metrischen RaumRmit%(x, y) = |x−y|Mengen, die weder offen noch abgeschlossen sind.
B) Folgen, Reihen, Grenzwerte
20. Definieren Sie: Grenzwert einer reellen Zahlenfolge.
21. Nennen Sie das Monotonie- und Cauchykriterium f¨ur reelle Zahlenfolgen.
22. Wie ist der Limes superior einer Zahlenfolge erkl¨art?
23. Definieren Sie: konvergente Reihe.
24. Nennen Sie die geometrische Reihe und ihre Summenformel.
25. Wann heißt eine Reihe P∞
k=1ck konvergente Majorante f¨urP∞
j=1bj? 26. In welchen F¨allen versagt das Quotientenkriterium?
27. Bilden Sie das Cauchy-Produkt zweier konvergenter Reihen. Wann stimmt seine Summe mit dem Produkt der beiden Reihensummen ¨uberein?
28. Was ist der Konvergenzradius einer Potenzreihe, und wie kann er aus den Koef- fizienten bestimmt werden?
29. Stelle die e-Funktion als Summe einer konvergenten Potenzreihe dar.
30. Wie lautet die Formel von Moivre/Laplace als Identit¨at f¨ur komplexwertige Poten- zreihen.
C) Untersuchung spezieller Funktionen
31. Was versteht man unter dem Grenzwert einer Funktion limx→x0f(x) ? 32. Wann heißt eine Funktion in x0 ∈R stetig?
33. Bei welchen Operationen mit Funktionen bleibt die Stetigkeit erhalten?
34. Nennen Sie den Nullstellensatz von Bolzano f¨ur stetige Funktionen.
35. Wann nennt man eine Funktion Lipschitz-stetig?
36. Formulieren Sie den Banachschen Fixpunktsatz und geben Sie das Verfahren zur Konstruktion des Fixpunktes an.
37. Beweisen Sie: (sinhx)2−(coshx)2 ≡1 .
38. Nennen Sie die Additionstheoreme f¨ur Sinus- und Kosinusfunktion f¨ur Summe und Differenz von Argumentwerten sowie den doppelten Argumentwert.
39. Skizzieren Sie die Umkehrfunktionen von Tangens und Kotangens.
