Testatfragen Analysis
A) Grundlagen
1. Nenne die Axiome der Addition und Multiplikation im K¨orper der reellen Zahlen.
2. Was ist eine Ordnungsrelation?
3. Erkl¨are: Dedekindscher Schnitt.
4. Wie kann man einen periodischen Dezimalbruch in einen gemeinen Bruch umwandeln?
5. Beweise, daß zwischen je zwei rationalen Zahlena < beine rationale Zahlcmita < c < bliegt. Gilt diese Aussage auch f¨ur irrationale Zahlen?
6. Beweise mit demCantorschen Diagonalverfahren, daß die MengenQ undRnicht gleichm¨achtig sind.
7. Nenne den binomischen Lehrsatz.
8. Welchen Wert hat∑n
k=makf¨urm=nundm > n?
9. Wie lautet dieBernoullische Ungleichung? Beweise ihre G¨ultigkeit mittels vollst¨andiger Induktion.
10. Was versteht man unter dem Infimum und dem Supremum einer Menge A⊆R? 11. Warum gilt sup
x∈A(f1(x) +f2(x)) 6 sup
x∈Af1(x) + sup
x∈Af2(x) f¨ur beliebiges A⊆Rund beliebige beschr¨ankte Funktionenf1,f2: A→R?
12. Beweise die Dreiecksungleichung|a+b|6|a|+|b|f¨ur beliebigea,b∈R.
13. Definiere: komplexe Zahlen, ihre Addition und Multiplikation, ihren Betrag. Gilt die Dreiecksungleichung?
14. Was versteht man unter Real- und Imagin¨arteil einer komplexen Zahl?
15. ¨Uberf¨uhre (u, w)∈Cin trigonometrische Darstellung.
16. Deute die Addition und die Multiplikation komplexer Zahlen in derGaussschen Zahlenebene.
17. Erkl¨are die Bedeutung des Symbols k√
z inRundC. F¨ur welchez,khat es jeweils Sinn?
18. Bestimme 5√ 2 ⊂C.
19. Gib die Axiome eines metrischen Raumes ( Ω, ϱ) an.
20. Klassifiziere die Punkte eines metrischen Raumes ( Ω, ϱ) nach ihrer Lage relativ zu einer nichtleeren Teilmenge A⊆Ω (innere Punkte von A, Randpunkte von A, H¨aufungspunkte von A, ...).
21. Erkl¨are: offene, abgeschlossene Menge.
22. Gibt es in einem beliebigen metrischen Raum ( Ω, ϱ) Mengen, die sowohl offen als auch abgeschlossen sind?
23. Benenne im metrischen RaumRmitϱ(x, y) =|x−y|Mengen, die weder offen noch abgeschlossen sind.
24. Wann heißt eine Menge im metrischen Raum ¨uberdeckungskompakt?
25. Nenne denHeine-Borelschen ¨Uberdeckungssatz.
B) Folgen, Reihen, Grenzwerte
26. Definiere: Grenzwert einer reellen Zahlenfolge.
27. Nenne das Monotonie- und Cauchykriterium f¨ur reelle Zahlenfolgen.
28. Wie bestimmt man den Grenzwert einer rekursiv definierten Folge?
29. Kann die Limesmenge einer reellen Zahlenfolge leer sein?
30. Wie ist der Limes superior einer Zahlenfolge erkl¨art?
31. Definiere: konvergente Reihe.
32. Nenne die geometrische Reihe und ihre Summenformel.
33. Wann heißt eine Reihe∑∞
k=1ck konvergente Majorante f¨ur∑∞
j=1bj? 34. In welchen F¨allen versagt das Quotientenkriterium?
35. Bilde das Cauchy-Produkt zweier konvergenter Reihen. Wann stimmt seine Summe mit dem Produkt der beiden Reihensummen ¨uberein?
36. Was ist der Konvergenzradius einer Potenzreihe, und wie kann er aus den Koeffizienten bestimmt werden?
37. Stelle diee-Funktion als Summe einer konvergenten Potenzreihe dar.
38. Beweise die Formel vonMoivre/Laplaceals Identit¨at f¨ur komplexwertige Potenzreihen.
C) Untersuchung elementarer Funktionen
39. Was versteht man unter dem Grenzwert einer Funktion lim
x→x0
f(x) ? 40. Wann heißt eine Funktion inx0∈Rstetig?
41. ∗Gib eine Funktionf: R→Ran, die in jedem Punkt unstetig ist.
42. Bei welchen Operationen mit Funktionen bleibt die Stetigkeit erhalten?
43. Nenne den Zwischenwertsatz vonBolzanof¨ur stetige Funktionen.
44. In welchem Sinne kann man stetige Funktionen durch Polynome approximieren?
45.∗Was kann man ¨uber die Unstetigkeitsstellen einer monotonen Funktion aussagen?
46. Was besagt der Begriff der gleichm¨aßigen Stetigkeit?
47. Wann nennt man eine Funktion Lipschitz-stetig?
48. Formuliere denBanachschen Fixpunktsatz und gib das Verfahren zur Konstruktion des Fixpunktes an.
49. Leite die Monotonie dere-Funktion aus ihrer Funktionalgleichung ab.
50. Beweise: (sinhx)2−(coshx)2≡1 .
51. Nenne die Additionstheoreme f¨ur Sinus- und Kosinusfunktion.
52. Skizziere die Umkehrfunktionen von Tangens und Kotangens.
53. Definiere: konvexe Funktion, konvexe Menge.
54. Beweise: Jede positive Linearkombination konvexer Funktionen ist konvex.
55. Zeige, daß die Menge der absoluten Minimalstellen einer konvexen Funktion konvex ist.
56. Beweise: Alle Niveaumengen einer konvexen Funktion sind konvex.
D) Differential- und Integralrechnung f¨ur Funktionen einer Variablen 57. Definiere die Ableitung einer Funktion und deute sie geometrisch.
58. Gib die Gleichung der Tangente an den Graphen einer differenzierbaren Funktion an.
59. Welche Eigenschaften einer Funktion widerspiegeln sich in ihren ersten und zweiten Ableitungen?
60. Differenzieref(x) =xx f¨urx >0 .
61. Was besagt der Mittelwertsatz f¨ur differenzierbare Funktionen?
62.∗Ist jede differenzierbare Funktion Lipschitz-stetig?
63. Gib die Taylor-Entwicklung einer (n+1)-mal stetig differenzierbaren Funktion mit demLagrangeschen Restglied an.
64. Unter welchen Voraussetzungen gilt die Bernoulli/l’Hospitalsche Regel?
65. Unter welchen Voraussetzungen besitzt eine stetige Funktion globale Extremstellen?
66. Nenne die notwendigen und hinreichenden Bedingungen f¨ur das Vorhandensein einer lokalen Extremstelle einer hinreichend oft differenzierbaren Funktion.
67. Warum erfassen diese Bedingungen nicht notwendig die globalen Extremstellen?
68. Definiere: unbestimmtes Integral.
69. Wie lautet die Substitutionsregel f¨ur unbestimmte Integrale?
70. Definiere: Riemannsche Zwischensummen.
71. Welche Funktionen sind ¨uber [a , b] Riemann-integrabel?
72. Was besagt der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung?
73. Nenne den Fundamentalsatz der Algebra.
74. Welche Funktionen gestatten eine Partialbruchzerlegung, und wie lautet der Ansatz daf¨ur?
75. Nenne die beiden Mittelwerts¨atze der Integralrechnung.
76. Definiere: Cauchyscher Hauptwert eines uneigentlichen Riemann-Integrals.
77.∗Definiere: Riemann-Stieltjes-Integral.
78. Gib die Integralformel f¨ur die Bogenl¨ange einer Kurve mit stetig differenzierbaren Parameterfunktionen an.
79. Wie lautet diese Formel f¨ur die ebene Kurve, die durchr=f(φ),φ0 6φ6φ1, mit stetig differenzierbaremf gegeben wird?
80. Nenne die Integralformeln f¨ur Volumen und Oberfl¨acheninhalt eines Rotationsk¨orpers mit stetig differenzierbarer Mantellinie.
81. Wie lautet die Sektorformel, und f¨ur welche ebenen Bereiche gilt sie?
82. Stelle punktweise und gleichm¨aßige Konvergenz einer Funktionenfolge gegen¨uber.
83. Unter welchen Bedingungen darf eine Funktionenfolge gliedweise differenziert bzw. integriert werden?
F) Differentialrechnung f¨ur Funktionen mehrerer Variabler 84. Wann heißt eine Funktion mehrerer Variabler inx0∈Rmstetig?
85. Stelle gegen¨uber: partielle Ableitungen und totales Differential einer Funktion.
86. Definiere Richtungsableitung, Gradient und Hesse-Matrix einer zweimal total differenzierbaren Funktion.
87. Wie kann∇f(x) geometrisch gedeutet werden?
88. Gib die Gleichung der Tangentialebene an den Graphen einer total differenzierbaren Funktion an.
89. Wie lautet die mehrdimensionale Taylorentwicklung 1. und 2. Ordnung f¨ur eine hinreichend oft stetig differen- zierbare Funktion?
90. Definiere: positiv bzw. negativ definite Matrix.
91.∗Wie kann man die Definitheit einer Matrix anhand ihrer sukzessiven Hauptminoren erkennen?
92. Welche notwendigen und hinreichenden Bedingungen m¨ussen an einer lokalen Extremstelle einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion mehrerer Variabler erf¨ullt sein?
93. Wann befindet sich in einem Punktx0 mit∇f(x0) =omsicher keine lokale Extremstelle?
94. Was versteht man unter einer lokalen Extremstelle in einer Aufgabe mit Nebenbedingungen: f(x) → extr !, x∈X⊂Rm?
95. Nenne die Lagrangesche Multiplikatorenregel.
96. Wann kann man mit dieser Regel auch globale Extremstellen bestimmen?
Anmerkung: Die Fragen umfassen die Inhalte der Vorlesung Analysis I und II.Die m¨undliche Pr¨ufung bezieht sich auf die Fragen zu Themengebieten der Analysis II.
