1.2 Der K¨orper der reellen Zahlen . . . . 4

2 INHALTSVERZEICHNIS

Inhaltsverzeichnis

1 Grundlagen der Analysis 1

1.1 Logik und Mengenlehre . . . . 1

1.2 Der K¨orper der reellen Zahlen . . . . 4

1.3 Summenzeichen und binomische Formeln . . . . 6

1.4 Suprema und Infima, Vollst¨andigkeitsaxiom . . . . 7

1.5 Die Approximation reeller Zahlen durch rationale Zahlen . . . . 9

1.6 Existenz- und Eindeutigkeit n -ter Wurzeln . . . 10

2 Elementare Funktionen 13 2.1 Funktionen und deren Eigenschaften . . . 13

2.2 Monotone Funktionen . . . 14

2.3 Potenzfunktionen mit rationalem Exponenten . . . 15

2.4 Die Exponentialfunktionen . . . 16

3 Betr¨ age und komplexe Zahlen 21 3.1 Die Betragsfunktion in R . . . 21

3.2 Der K¨orper C der komplexen Zahlen . . . 21

4 Zahlenfolgen und Reihen 25 4.1 Zahlenfolgen . . . 25

4.2 Reelle Zahlenfolgen . . . 30

4.3 Monotone Zahlenfolgen und Intervallschachtelungen . . . 32

4.4 H¨aufungspunkte . . . 38

4.5 Das Cauchysche Konvergenzkriterium . . . 41

4.6 Topologische Grundbegriffe . . . 43

4.7 Der Banachsche Fixpunktsatz . . . 45

5 Zahlenreihen 48 5.1 Begriffsbildung und Konvergenzkriterien . . . 48

5.2 Alternierende Reihen in R . . . 53

5.3 Absolut konvergente Reihen in R und C . . . 53

5.4 Potenzreihen . . . 59

5.5 Exponential- und trigonometrische Funktionen . . . 61

INHALTSVERZEICHNIS 3

6 Stetigkeit 66

6.1 Einf¨uhrung und Begriff . . . 66

6.2 Stetigkeit klassischer Funktionen . . . 68

6.3 Stetige Funktionen auf kompakten Intervallen . . . 70

6.4 Grenzwerte von Funktionen . . . 74

6.5 Ganzrationale und gebrochen rationale Funktionen . . . 76

6.6 Sinus, Kosinus und Logarithmus in R und C . . . 80

7 Differentialrechnung 87 7.1 Differenzierbarkeit und Differentiationsregeln . . . 87

7.2 Differentiation elementarer Funktionen . . . 91

7.3 Mittelwerts¨atze der Differentialrechnung . . . 95

7.4 Der Satz von Taylor . . . 98

7.5 Taylorreihen und analytische Funktionen . . . 102

7.6 Kurvendiskussionen . . . 106

7.7 Partielle Ableitungen und Gradient . . . 111

7.8 Extremwerte f¨ur Funktionen mit mehreren Variablen . . . 120

8 Integralrechnung 123 8.1 Das bestimmte Integral . . . 123

8.2 Eigenschaften Riemannscher Integrale . . . 129

8.3 Mittelwerts¨atze der Integralrechnung . . . 133

8.4 Hauptsatz der Differential– Integralrechnung . . . 134

8.5 Integrationsmethoden . . . 137

8.6 Integration rationaler Funktionen . . . 141

8.7 Vertauschung von Limes und Integral . . . 144

8.8 Uneigentliche Integrale . . . 146

8.9 Integration und Inhaltslehre . . . 149

8.10 Gebietsintegrale . . . 152

8.11 Die Transformationsformel . . . 157

8.12 Das Volumen der n -dimensionalen Kugel . . . 162

8.13 Kurven und Bogenl¨angen . . . 164

8.14 Oberfl¨acheninhalte und Fl¨achenintegrale . . . 167

8.15 Fraktale Dimensionen - Wo ist das Gleis 9

/

? . . . 170

4 INHALTSVERZEICHNIS

9 Erg¨ anzungen 174

9.1 Der Approximationssatz von Weierstrass . . . 174

9.2 Metrische R¨aume . . . 177

9.3 Kompakte Mengen . . . 178

9.4 Wege zur Einf¨uhrung der Exponentialfunktion f ( x ) = e

. . . 181

9.5 Die logische Abh¨angigkeit der zentralen S¨atze . . . 183

9.6 Kontrollfragen zur Analysis . . . 184