MATHEMATISCHES INSTITUT WiSe 2011/2012 DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN

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Übungen zur Analysis II

Prof. Dr. P. Pickl

Blatt 6

Aufgabe 1

Seien f, g : R

→ R

total differenzierbare Vektorfelder und φ : R

→ R ein total dif- ferenzierbares Skalarfeld. Wir notieren mit D

(ϕ) die Jacobimatrix einer beliebigen total differenzierbaren Abbildung ϕ im Punkt p.

Sei p ∈ R

. Beweisen Sie folgende Produktregeln:

(a)

D

(f φ) = D

(f )φ + f · grad φ ,

beachten Sie hier, dass der Ausdruck f · grad φ als Produkt der m × 1-Matrix f (als Vektor im R

) mit der 1 × n-Matrix grad φ eine m × n-Matrix ergibt (genauso wie D

(f) und D

(f)φ).

(b) Es bezeichne < ·, · > das Standardskalarprodukt im R

. Zeigen Sie:

D

(< f, g >) = f

· D

(g) + g

· D

(f ) ,

mit den Zeilenvektoren f

und g

, die sich durch Transposition der m-dimensionalen Spaltenvektoren f und g ergeben.

(c) Sei m = n und ∇ der Nabla-Operator im R

. Zeigen Sie:

div (f φ) = div (f)φ + < f, ∇ > φ Aufgabe 2

Eine positiv homogene Funktion f : R

→ R erfüllt für alle x ∈ R

und für alle λ > 0 die Gleichung f (λx) = λf (x).

Beweisen Sie die Eulersche Homogenitätsrelation : Sei f : R

→ R total differenzierbar. Dann gilt:

f positiv homogen ⇐⇒ f (x) = < x, grad f(x) > für alle x ∈ R

,

wobei < ·, · > das Standardskalarprodukt im R

bezeichnet.

Aufgabe 3

Bestimmen Sie alle lokalen Extrema (Lage und Art) der Funktion f : R

→ R , (x, y) 7−→ (x

− y

)e

Aufgabe 4

Bestimmen Sie für einen dreidimensionalen Quader mit gegebenem Volumen V die Seiten- längen x, y, z so, dass die Oberfläche O(x, y, z) minimal wird.

Abgabe: Dienstag, 6.12.2011 12 Uhr.