MATHEMATISCHES INSTITUT WS 2017/18 DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN

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MATHEMATISCHES INSTITUT WS 2017/18 DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN

Übungen zu Mathematik III für Physiker

Prof. Dr. P. Pickl

Blatt 7

Aufgabe 1:

Sei E ⊂ C ein Elementargebiet, a ∈ E und f : E\{a} → C holomorph. Zeigen Sie:

(a) a ist ein Pol ⇔ lim z→a |f (z)| = ∞ .

(b) a ist eine wesentliche Singularität ⇔ es existieren Folgen (y _n ) _n∈

N und (z _n ) _n∈

N mit lim n→∞ y _n = lim n→∞ z _n = a und lim n→∞ |f (y _n )| 6= lim n→∞ |f (z _n )|

Aufgabe 2: Bestimmen Sie den maximalen Denitionsbereich, sowie Lage und Art aller Singularitäten der Funktion f gegeben durch

f(z) = z − i z ² + 1 sin 1

z .

Aufgabe 3: Bestimmen Sie (unter Verwendung des Residuensatzes) den Wert des folgenden Integrals

Z ∞

−∞

x ²

(x ² + 4) ² dx . (x ∈ R ) Achten Sie auf saubere Argumentation.

Aufgabe 4: Sei γ _r der Pfad mit einfacher, positiver Umlaufzahl entlang entlang eines Kreisringes mit Mittelpunkt i und mit Radius r. Bestimmen Sie für alle r ∈ R ⁺ \{1, 3}

Z

γ

r

1 z ⁴ + 4z ² dz

Abgabe: Montag, 10.12.2017 , 10 Uhr.

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MATHEMATISCHES INSTITUT WS 2017/18 DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN

MATHEMATISCHES INSTITUT WS 2017/18 DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN

Übungen zu Mathematik III für Physiker

Prof. Dr. P. Pickl

Blatt 7

Aufgabe 1:

Sei E ⊂ C ein Elementargebiet, a ∈ E und f : E\{a} → C holomorph. Zeigen Sie:

(a) a ist ein Pol ⇔ lim z→a |f (z)| = ∞ .

(b) a ist eine wesentliche Singularität ⇔ es existieren Folgen (y n ) n∈

N und (z n ) n∈

N mit lim n→∞ y n = lim n→∞ z n = a und lim n→∞ |f (y n )| 6= lim n→∞ |f (z n )|

Aufgabe 2: Bestimmen Sie den maximalen Denitionsbereich, sowie Lage und Art aller Singularitäten der Funktion f gegeben durch

f(z) = z − i z 2 + 1 sin 1

z .

Aufgabe 3: Bestimmen Sie (unter Verwendung des Residuensatzes) den Wert des folgenden Integrals

Z ∞

−∞

x 2

(x 2 + 4) 2 dx . (x ∈ R ) Achten Sie auf saubere Argumentation.

Aufgabe 4: Sei γ r der Pfad mit einfacher, positiver Umlaufzahl entlang entlang eines Kreisringes mit Mittelpunkt i und mit Radius r. Bestimmen Sie für alle r ∈ R + \{1, 3}

Z

γ

1 z 4 + 4z 2 dz

Abgabe: Montag, 10.12.2017 , 10 Uhr.

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(b) a ist eine wesentliche Singularität ⇔ es existieren Folgen (y _n ) _n∈

N und (z _n ) _n∈

N mit lim n→∞ y _n = lim n→∞ z _n = a und lim n→∞ |f (y _n )| 6= lim n→∞ |f (z _n )|

f(z) = z − i z ² + 1 sin 1

x ²

(x ² + 4) ² dx . (x ∈ R ) Achten Sie auf saubere Argumentation.

Aufgabe 4: Sei γ _r der Pfad mit einfacher, positiver Umlaufzahl entlang entlang eines Kreisringes mit Mittelpunkt i und mit Radius r. Bestimmen Sie für alle r ∈ R ⁺ \{1, 3}

1 z ⁴ + 4z ² dz