MATHEMATISCHES INSTITUT WS 2017/18 DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN
Übungen zu Mathematik III für Physiker
Prof. Dr. P. Pickl
Blatt 1
Aufgabe 1
(a) Berechnen Sie R
[0,π]3
x
2y sin z dxdydz .
(b) Seien r, h > 0 und der Zylinder M gegeben durch M := {(x, y, z) ∈ R
3|0 ≤ z ≤ h; x
2+ y
2≤ r
2} berechnen Sie
R
M
x
2z dxdydz
Aufgabe 2
Sei B ⊂ R
2, f = R
2→ R stetig. Zeigen Sie, dass Z
B
f (x, y)dxdy = Z
φ2φ1
Z
r2(φ)r1(φ)
f (rcosφ, r sin φ)rdrdφ .
Hier bezeichnen r und φ Polarkoordinaten des Systems und φ
1, φ
2, r
1und r
2sind so, dass (x, y) ∈ B ⇔ ∃φ ∈ [φ
1, φ
2] und r ∈ [r
1(φ), r
2(φ)] so dass (x, y) = (r cos φ, r sin φ) .
Aufgabe 3
(a) Berechnen Sie das 1 -dimensionale Gauÿintegral Z
∞−∞
e
−αx2dx für α > 0 . Hinweis: Berechnen Sie R
∞−∞
e
−αx2dx R
∞−∞
e
−αy2dy . Benutzen Sie dabei
Polarkoordinaten.
(b) Sei A ∈ Hom ( R
n, R
n) symmetrisch und positiv denit (d.h. alle Eigenwerte λ
1, . . . , λ
nvon A sind positiv). Es bezeichne D = diag (λ
1, . . . , λ
n) die Diagonalmatrix mit den Einträgen λ
1, . . . , λ
n. Weiter sei x
T= (x
1, . . . x
n) ∈ R
n. Zeigen Sie, dass
Z
Rn
e
−xTAxd
nx = Z
Rn
e
−yTDyd
ny =
r π
ndet A .
(c) Berechnen Sie nun die zur obigen Gauÿverteilung gehörende Kovarianzmatrix. Die Einträge der Kovarianzmatrix sind deniert als
C
ij= Z
Rn
x
ix
je
−xTAxd
nx.
Stellen Sie eine Verbindung zwischen der Matrix A und der Kovarianzmatrix her.
Hinweis: Erinnern Sie sich an die Formel zur Bestimmung des Inversen einer Matrix über die Entwicklung von Determinanten.
Aufgabe 4
Die Länge einer Kurve K ist denierbar als L(K) =
Z
I
