Aufgabe XII.2 Berechnen Sie Z Rd e−kxk2λd(dx)

Prof. Dr. Moritz Kaßmann Fakultät für Mathematik

Wintersemester 2015/2016 Universität Bielefeld

Präsenzaufgaben zu Maß- und Integrationstheorie Blatt XII vom 21.01.16

Aufgabe XII.1

Bestimmen Sie alle α∈R derart, dass das Integral Z

B1

1

|x₁|^αdx

existiert, wobeiB₁ ={x∈R²|x²₁+x²₂ <1}.

Aufgabe XII.2 Berechnen Sie

Z

R^d

e^−kxk2λ^d(dx).

Aufgabe XII.3

Beweisen Sie, dass der Kreis

S¹ ={x∈R²| kxk= 1}

eine Untermannigfaltigkeit desR² ist, indem Sie die lokalen Karten angeben.

Aufgabe XII.4

Beweisen Sie, dass eine Teilmenge desR², welche eine Acht beschreibt, keine Unterman- nigfaltigkeit desR² sein kann.