Prof. Dr. A. Poetzsch-Heffter Peter Zeller, M. Sc.
TU Kaiserslautern
Fachbereich Informatik AG Softwaretechnik
Übungsblatt 12: Logik (SS 2017)
Abgabe: Freitag, 07. Juli, 15:30 Abgabekästen neben Raum 34-401.7 (bei AG Softwaretechnik) Bitte geben Sie zu dritt ab.
Aufgabe 1 Beweise in F
Wir verwenden in dieser Aufgabe wieder die gleichen Abkürzungen wie in Aufgabe 3 von Blatt 11.
Geben Sie jeweils einen konstruktiven Beweis für die beiden folgenden Aussagen an. “Konstruktiv” heißt hier, dass aus dem Beweis hervorgehen soll, wie man die gewünschte Herleitung erhalten kann. Es sollen also insbesondere keine semantischen Argumente wie die Vollständigkeit vonF verwendet werden.
a) SeiS eine Signatur,Γ⊆FO(S),A∈FO(S),x∈Vundt∈Term(S).
WennΓ `F A{x/t}, dannΓ `F ∃x.A
b) SeiS eine Signatur,Γ⊆FO(S),A,B∈FO(S) undx∈V.
Wenn Γ,A `F B undxnicht frei inΓ∪
B vorkommt, dann Γ,∃x.A `F B
Aufgabe 2 Eliminierung von Gleichheit
SeiS =(Funk,Präd) eine Signatur in derenicht vorkommt. Der Einfachheit halber betrachten wir in dieser Aufgabe die konkrete Signatur mitFunk=n
f/1o
undPräd=n p/1o
.
In der Herbrand-Theorie haben wir vorausgesetzt, dass die betrachtete Formel in FO, S
ist, d.h. keine Gleichheit beinhaltet. Wir wollen nun in dieser Aufgabe sehen, wie wir zu einer FormelA ∈ FO S
eine erfüllbarkeitsäquivalente Formel A0 ∈ FO,
S0
über einer erweiterten Signatur S0 = (Funk,Präd0) mit Präd0 =Präd∪n
e/2o
finden können, in der das Prädikatedie Gleichheit ersetzt.
a) Geben Sie eine abgeschlossene Formel Eq ∈ FO, S0
an, die keine Gleichheit verwendet. Die For- mel soll sicherstellen, dass die Interpretation vonein jedem Modell fürEqeine Äquivalenzrelation ist (reflexiv, symmetrisch, transitiv).
b) Geben Sie eine abgeschlossene Formel K ∈ FO, S0
an, die keine Gleichheit verwendet. Die For- mel soll sicherstellen, dass die Interpretation von e in jedem Modell für K eine Kongruenz ist, d.h.
das Ersetzen von Parametern in Prädikaten und Funktionen durche-äquivalente Terme führt zu einem äquivalenten Ergebnis.
c) SeiA ∈FO S
eine abgeschlossene Formel. Geben Sie an, wie man eine abgeschlossene FormelA0 ∈ FO,
S0
konstruieren kann, die zuAerfüllbarkeitsäquivalent ist.
Begründen Sie kurz, warum es zu jedem ModellM0fürA0ein ModellMfürAgibt.
Aufgabe 3 Nicht-Standardmodelle
In der Vorlesung haben Sie gesehen, wie man die Existenz eines Nicht-Standardmodells für die Arithmetik der natürlichen Zahlen beweisen kann. In dieser Aufgabe konstruieren wir analog ein Nichtstandardmodell für die Arithmetik der rationalen Zahlen.
Es seiS = (Funk,Präd) die Signatur mit Funktionssymbolen Funk = n
0/0,1/0,+/2,∗/2o
und Prädikats- symbolenPräd = n
</2o
. Außerdem seiQ = (Q,I) dieS-Struktur, in der der Datenbereich aus den ratio- nalen Zahlen besteht und die Symbole 0, 1,+,∗und< wie üblich interpretiert sind, d.h.I(0) = 0,I(1) = 1,I(+)(d,e)=d+e,I(∗)(d,e)=d·eundI(<)(d,e)=1 gdw.d<e.
SeiTQdie Theorie vonQ, also die Menge aller abgeschlossenen Formeln überS, für dieQein Modell ist:
TQ=n
A∈FOabg S
Q |=Ao .
Betrachten Sie die Formelmenge
Σ =TQ∪n 0<xo
∪n An
n∈N>0o mit
An ≡(1| {z }+. . .+1)
n mal 1
∗x<1
wobeixeine freie Variable ist.
a) Zeigen Sie, dassΣerfüllbar ist.
Hinweis:Verwenden Sie den Kompaktheitssatz.
b) Zeigen Sie, dass es keine Belegungψ:V→Qgibt, so dassQ, ψ|= Σgilt.
c) Zwei Strukturen M,M0 über der selben Signatur heißenelementar äquivalent, wenn sie die gleichen abgeschlossenen Formeln wahr machen:
Für alleA∈FOabg S
gilt:M |=Agdw.M0|=A.
Zeigen Sie, dass jede StrukturM, dieΣaus Aufgabenteil a) erfüllt, elementar äquivalent zuQist.
Hinweis:Verwenden Sie Bemerkung 5.12 a).
Anmerkung:Aufgabenteil a) zeigt, dassΣein Modell Mhat, und mit Aufgabenteil c) sindQundMele- mentar äquivalent. Aufgabenteil b) zeigt im Wesentlichen, dassQnichtisomorphzu Mist. Daher nennen wirMNicht-Standardmodell.
Aufgabe 4 Herbrand-Modelle
SeiS =n a/0o
,n
p/1,q/2o
eine Signatur undA∈FO(S) mit A≡ p(a)∧
∀x. p(x)→
∃y.q(x,y)
∧
∃x.¬q(x,a) . a) Beweisen Sie:A∈FO(S) hat kein Herbrand-Modell.
b) Bringen Sie die FormelAzuerst in bereinigte Pränexnormalform (BPF) und dann in Skolemform. Geben Sie Ihre Zwischenschritte mit an.
c) SeiA0 die Formel in Skolemform aus Teil b). Geben Sie eine (möglichst kleine) SignaturS0fürA0 an, so dassA0∈FO(S0).
d) Beschreiben Sie ein Herbrand-Modell fürA0 ∈FO(S0).
