Formaler Beweis

Praktische Informatik 3: Funktionale Programmierung Vorlesung 9 vom 13.12.2016: Spezifikation und Beweis

Christoph Lüth

Universität Bremen Wintersemester 2016/17

16:02:31 2017-01-17 1 [11]

Fahrplan

I Teil I: Funktionale Programmierung im Kleinen

I Teil II: Funktionale Programmierung im Großen

IAbstrakte Datentypen

ISignaturen und Eigenschaften

I Spezifikation und Beweis

I Teil III: Funktionale Programmierung im richtigen Leben

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Formaler Beweis

I Warum?

I Formaler Beweis zeigtKorrektheit I Wie?

I Formale Notation

I Beweisformen (Schließregeln) I Wozu?

I Formaler Beweis zurAnalysedes Algorithmus

I Haskell alsModellierungssprache

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Eigenschaften

I Prädikate:

IHaskell-Ausdrücke vom TypBool

IQuantifizierte Aussagen:

WennP ::α→Bool, dann istALL x. P x :: Boolein Prädikat und EX x. P x :: Boolein Prädikat

I Sonderfall Gleichungens == tundtransitiveRelationen

I Prädikate müssennicht ausführbarsein

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Wie beweisen?

I Beweis ←→ Programmdefinition

Gleichungsumformung Funktionsdefinition

Fallunterscheidung Fallunterscheidung (Guards)

Induktion Rekursive Funktionsdefinition

I Wichtig:formale Notation

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Notation

Allgemeine Form:

Lemma (1) P

⇔ P1 — Begründung

⇔ P2 — Begründung

⇔ . . .

⇔ True

Sonderfall Gleichungen:

Lemma (2) a= b a

= x1 — Begründung

= x2 — Begründung

= . . .

= b

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Beweis durch vollständige Induktion

Zu zeigen:

Für alle natürlichen ZahlenxgiltP(x).

Beweis:

I Induktionsbasis:P(0)

I Induktionsschritt:

I InduktionsvoraussetzungP(x)

I zu zeigenP(x+ 1)

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Beweis durch strukturelle Induktion (Listen)

Zu zeigen:

Für alleendlichenListenxsgiltP xs Beweis:

I Induktionsbasis:P [ ]

I Induktionsschritt:

IInduktionsvoraussetzungP xs

Izu zeigenP (x: xs)

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Beweis durch strukturelle Induktion (Allgemein)

Zu zeigen:

Für allexinT giltP(x) Beweis:

I Für jeden KonstruktorCi:

I Voraussetzung: für alleti,jgiltP(ti,j)

I zu zeigenP(Citi,1. . .ti,ki)

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Beweisstrategien

I Fold-Unfold:

IIm Induktionsschritt Funktionsdefinitionauffalten

IAusdruck umformen, bis Induktionsvoraussetzung anwendbar

IFunktionsdefinitionenzusammenfalten I Induktionsvoraussetzungstärken:

IStärkere Behautung =⇒stärkere Induktionsvoraussetzung, daher:

Ium BehauptungPzu zeigen, stärkere BehauptungP⁰zeigen, dannPals Korollar

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Zusammenfassung

I Beweise beruhen auf:

I Gleichungs- und Äquivalenzumformung

I Fallunterscheidung

I Induktion I Beweisstrategien:

I Sinnvolle Lemmata

I Fold/Unfold

I Induktionsvoraussetzung stärken I Warum Beweisen?

I Korrektheit von Haskell-Programmen

I Haskell alsModellierungssprache

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