Gilt f¨ur ein Polynom p(x) =P βcβxβ ∂αp ≡0 ∀αmit|α|=α1

Partielle Ableitungen von multivariaten Polynomen

Die partielle Ableitung

∂^αx^β =∂₁^α1. . . ∂_n^αn

x₁^β1· · ·x_n^βn

eines Monoms ist nur dann ungleich Null, wenn α≤β ⇐⇒ α_k ≤β_k∀k, und in diesem Fall gleich

c x^β−α, c =

n

Y

k=1

β_k(β_k−1)· · ·(β_k −α_k+ 1) =β!/α!

mit (j,k, . . .)! =j!k! · · ·. Insbesondere ist

∂^αx^β|_x=0 =α!δ_α,β. Gilt f¨ur ein Polynom p(x) =P

βc_βx^β

∂^αp ≡0 ∀αmit|α|=α₁+· · ·+α_n=m, so hat p totalen Grad<m, d.h. c_β = 0 f¨ur|β| ≥m.

1 / 2

Beweis zu zeigen:

p =X

β

cβx^β, ∂^αp ≡0 ∀αmit|α|=m =⇒ cβ = 0 ∀βmit|β| ≥m Widerspruchsannahme: c_β 6= 0 f¨ur ein β mit|β| ≥m

w¨ahleαmit |α|=m und α≤β

∂^αp(x) = X

β⁰≥α

c_β⁰(β⁰!/α!)x^β0−α6≡0,

da mindestens der Summand mit β⁰ =β nicht verschwindet im Gegensatz zu der Annahme, dass alle partiellen Ableitungen der Ordnungm identisch Null sind

2 / 2