~ p 0 imFeld E ~ gilt:

1 Übungsblatt Festkörperphysik

1.1 (Van-der-Waals-Kräfte: klassische Betrachtung)

Fürdie potentielle Energie eines Dipols

~ p ⁰

^imFeld

E ~

^gilt:

W = − 1

2 ~ p ⁰ E ~ (~r) ,

während dasFeldeines Dipolsdurch:

E ~ (~r) = − 1 4π 0

p ~

r ³ − 3 (~ p · ~r) ~r r ⁵

,

⁽¹⁾

gegeben ist.Für diepotentielle Energie folgtalso mit

~ p ⁰ = α ~ E : W = − α

2 E ~ · E ~ (~r) = − α

2 E ~ ² ,

⁽²⁾

einsetzen von

(1)

ⁱⁿ

(2)

^liefert:

W = − α 2

1 (4π 0 ) ²

~ p

r ³ − 3 (~ p · ~r) ~r r ⁵

²

= − α

2 (4π 0 ) ²

~ p ²

r ⁶ − 6 (~ p · ~r) ²

r ⁸ + 9 (~ p · ~r) ² ~r ² r ¹⁰

! ,

mit

~ p · ~r = pr cos θ

^folgt:

W = − α 2 (4π 0 ) ²

~ p ²

r ⁶ − 6p ² cos ² θ

r ⁶ + 9p ² cos ² θ r ⁶

!

= − αp ² 2 (4π 0 ) ² r ⁶

1 + 3 cos ² θ .

Mit den speziellen Werten:

p = 10 ⁻²⁹ Asm, α = 10 ⁻⁴⁰ AsV ⁻¹ m ² r = 10

^Å

= 10 ⁻¹⁰ m

ergibt sicheine potentielle Energie von:

W = − αp ² 2 (4π 0 ) ² r ⁶

1 + 3 cos ² θ = − 4.039 · 10 ⁻¹⁹ V As 1 + 3 cos ² θ ,

für

cos θ = 0

^{erhalten wir:}

W = − 1.62 · 10 ⁻¹⁸ J,

dies entspricht mit

E = ³ ₂ k _B T ⇒ T = ₃ ² _k ^W

B

einer Temperatur von:

T = 78010 K.

Wir betrachten zwei identische Edelgasatome, die sich durch van derWaals-Kräfte an-

ziehen.Für denanziehenden Teil desPotentials gilt:

U _vdW = σ ⁶ R ⁶ ,

während für denabstoÿenden Teil:

U abst. = σ ¹² R ¹² ,

gilt. Umdas Minimumzu bestimmen, müssen wirden Punkt nden,an dem sich die

Kräfte aufheben. Das Problem kann in einer Dimension behandelt werden, daher folgt

mit:

−∇ U = F,

für eine Dimension

∂U

∂R = F.

Und mit demGleichgewicht derKräfte

F = 0

^{nden wirden} Gleichgewichtsabstand:

∂U

∂R = 0 = ∂

∂R σ ⁶ R ⁶ − σ ¹²

R ¹²

!

= − 6 σ ⁶

R ⁷ + 12 σ ¹² R ¹³

!

Nun können wirnach

R

σ

^{umstellen undesfolgt:}

R σ = √ ⁶

2 = 1, 12

DerVergleichmitden GitterkonstantenaufdenFolien zeigt,dassdergefundeneWert

durchaus annehmbar ist, da der Wert von

N e

^{sogar noch darüber liegt mit}

1.14,

^der

Wert trit sogar besser zu, als der aus einem Ionengitter unter Berücksichtigung aller

Ionen gefundene Wert

( ^R _σ = 1.09),

^{wobei jener für}

Xe

^{perfekt passt. jedoch liegt der}

Wert

1.12

^{inder Mitte dergefundenenWerteund bestätigt somitdie}experimentellen Daten besser. Jedoch ermöglicht dieser nicht dieBegründung, dass Quanteneekte eine

gröÿereAbstoÿungbewirken,dabereitsderWert

1.09

^von

Xe

^{kleinerwäreunddannder}

QuanteneekteineAnziehungausmachenwürde,waseineTheorievermutlichschwieriger

machen würde.Daher ist derWertunterBeachtung aller Ioneneines Ionenkristalls zu

bevorzugen.

Wir betrachten die Oberäche eines

N aCl − Struktur − Kristalls,

^{somit blicken wir}

auf eine zwei dimensionale Ebene. Es ist die Madelung-Konstante auf 5% genau zu

bestimmen. Wir betrachten folgendes Bild vom

N aCl,

^{wobei die} gestrichelten Kästen Evjen-Zellendarstellen,beidenen,indemmandieInnen-Eckionennurmit

1

4 ,

^dieAussen-

Eckionenmit

3

4

^unddieSeitenionenmit

1

2

^{derLadungzujederZelle}hinzuzählt,ladungs-

neutraleSchalen/Zellen erzeugt werden:

R N aCl − Gitter

Cl −

N a+

Für dieMadelungskonstantegilt:

A =

0

X

j

( ± 1) p ij ⇔ A

R = ^X

j

( ± 1) r j

,

Es folgtfürunserProblemindemwirdieladungsneutralen Zellenfürschnelle Konver-

genzzurHilfe nehmen(jede Klammer

()

^{stellt solcheine dar):}

A

R = 4 · ¹ 4

1R

!

+ 4 · ³ 4

1R − 4 · ¹ 2

√ 2R − 4 · ¹ 4

2R

!

+ − 4 · ³ 4

2R − 4 · ¹ 2

√ 2R + 8 · ¹ 2

√ 5R + 4 · ¹ 4

3R

! + + 8 · ¹ 2

√ 5R + 4 · ³ 4

3R − 4 · ¹ 2

√ 8R − 8 · ¹ 2

√ 10R − 4 · ¹ 4

4R

!

+ − 4 · ¹ 2

√ 8R − 8 · ¹ 2

√ 10R − 4 · ³ 4

4R + 8 · ¹ 2

√ 13R + 4 · ¹ 4

5R + 8 · ¹ 2

√ 17R

!

+ 8 · ¹ 2

√ 13R + 4 · ³ 4

5R + 8 · ¹ 2

√ 17R − 8 · ¹ 2

√ 18R − 8 · ¹ 2

√ 20R − 4 · ¹ 2

√ 26R − 4 · ¹ 4

6R

!

Wirkönnen mit

R

multiplizieren underhalten fürdieMadelungskonstante:

A = (1) + (1.09) + ( − 0.79) + (0.57) + ( − 0.442) + (0.28) = 1.70,

derzu erwartende Wertbeträgt

A ∞ = 1.6155,

^{somitbeträgtdie Abweichung 5%.}

1.4 (NaCl- und CsCl-Struktur)

Wirbetrachten zuerst den Spezialfall, dasssichalle Ionen berühren:

Somit folgt also:

r _B ² + r ² _B = (r A + r B ) ² , r _A ² + 2 r A r B − r ² _B = 0,

r A

r B

² + 2

r A

r B

− 1 = 0.

Hieraus folgt also

r _A

r _B = − 1 ± √

1 + 1 = √

2 − 1 = 0.414,

^{da das negative Ergebnis}

verworfenwerden kann,da eskeine negative Radiengibt.

Betrachten wir nun den Spezialfall, dass sich nur jeweils

2

^{Anionen und das Kation}

berühren:

Somit folgt:

√ 2 r B

²

+ r ² _B = (r A + r B ) ² , r _A ² + 2 r A r B − 2 r ² _B = 0,

r A

r B

² + 2

r A

r B

− 2 = 0.

Für dasRadienverhältnis folgtalso

r _A

r _B = − 1 ± √

1 + 2 = √

3 − 1 = 0.732,

^{da mandie}

AnionennichtnäherandasKationheranbringenkann,selbstwenndasKationnochklei-

nerwäre(denndieAnionenberührensichbereitspaarweise),bildetdieserQuotientauch

derKoordinationszahl,waseinemStrukturwechselvon

CsCl

^zu

N aCl

entspricht,dabei einem noch geringerem

r A /r B

^{-Verhältnis die Packung nicht mehr dichtest sein könnte,}

da ein Loch zwischen den Ionen entstehen würde. Wenn das Verhältnis noch weiter

verändertwird,dannwechseltbeieinemVerhältnisvon

r _A r _B = √

2 − 1,

^die

N aCl

^-Struktur

indie

ZnS

^-Struktur.

Die Strukturen kommen infolgendenRadienverhältnisbereichen vor:

CsCl (Caesiumchlorid) , r B

r _A < 1

√ 3 − 1 = 1.37 N aCl (N atriumchlorid) , 1

√ 3 − 1 < r B

r A

< 1

√ 2 − 1 ZnS (Zinkblende) , r _B

r A

> 1

√ 2 − 1 = 2.41

Für das kritische Verhältnis der Radien von

r A /r B ,

^{bei dem das} Kristallsystem von der

CsCl

^{- zur}

N aCl

^{-Struktur wechselt gilt:}

r A

r B

= √

3 − 1 = 0.732.