Also gibt es eine Orakel-NTM T mit L = L(TA), T IM ET(x)≤p(|x|) f¨ur ein Polynom p

Theorem 5:

Es gibt A mit P^A =N P^A. Beweis:

SeiA:={(T, x,1^k)|T DTM die x akzeptiert und dabei h¨ochstens k Bandzellen verbraucht}

Nat¨urlich ist P^A ⊆N P^A, per Definition. Bleibt also zu zeigen, daß N P^A⊆P^A.

Sei nun L eine beliebige Sprache in N P^A. Also gibt es eine Orakel-NTM T mit L = L(T^A), T IM ET(x)≤p(|x|) f¨ur ein Polynom p.

Wir bauen daraus jetzt eine DTMT⁰, dieL(T^A) ohne Orakel erkennt und dabei h¨ochstens q(|x|) Bandzellen beschreibt. (q Polynom).

Damit ist L=P^A mit Algorithmus:

input x

schreibe (T⁰, x,1^q(|x|)) aufs Anfrageband akzeptiere falls inA, sonst verwirf Was aber soll T⁰ machen?

Wir lassen es den Berechnungsbaum von T durchsuchen (analog zu Theorem 5, Kapitel 1).

Jeder globale Zustand von T braucht h¨ochstens p(|x|) viel Platz auf dem Band. Die Simulation braucht also O(p(|x|))≤q(|x|) Bandzellen (w¨ahle q groß genug).

Und was ist mit den Orakel-Anfragen?

WennT die Anfrage (T^∗, x^∗,1^k∗) stellt, dann ist insbesonderek^∗ ≤p(|x|). Also lassen wir T⁰ bei Eingabe x^∗ die Maschine T^∗ einfach simulieren. Da k^∗ ≤q(|x|), ist dies m¨oglich ohne mehr als q(|x|) Bandzellen zu verbrauchen.

⇒ T’ entscheidet obX ∈L.

Der Algorithmus von oben entscheidet L in polynomieller Zeit, also N P^A ⊆P^A. Theorem 6:

Es gibt ein Orakel B ⊆ {0,1}^∗ mit P^B 6=N P^B. Beweis:

F¨ur B ⊆ {0,1}^∗ definiere LB:={0ⁿ|∃x∈B :|x|=n}.

Offensichtlich ist L_B ∈N P^B, n¨amlich so:

input w

falls w6= 0^∗ verwerfe sonst rate x mit |x|=|w|

akzeptiere, falls x∈B, sonst verwerfe BleibtB zu konstruieren mit L_B ∈/P^B.

Sei dazu T0, T1, T2... eine Aufz¨ahlung von Orakel-DTM’s derart, daß f¨ur jedes Orakel X ⊆ {0,1}^∗gilt:

• P^X ={T₀^X, T₁^X. . . T_i^X. . .}

• f¨ur alle x und k h¨alt T_k^X bei Eingabe x nach h¨ochstens |x|^k+k Schritten 1

B wird induktiv definiert:

B :=S

i∈NB_i, gemeinsam mit Schranken n_i mit ∀x∈B_i :|x| ≤n_i B₀ :=∅, n₀ := 0.

ni+1 := min{m|m > nⁱ_i+i,2^m > mⁱ⁺¹+ (i+ 1)}

Um B_i+1 zu definieren, betrachte die Berechnung von T_i+1 bei Eingabe 0ⁿⁱ⁺¹. Falls sie akzeptiert, so setze Bi+1 =Bi.

Verwirft sie, dann w¨ahle ein y_i+1 mit |y_i+1| = n_i+1 f¨ur das die Berechnung nicht das Orakel befragt und setze B_i+1 := B_i ∪ {y_i+1}. So ein y_i+1 existiert immer, da T_i+1^Bi nur nⁱ⁺¹_i+1+i+ 1 <2ⁿⁱ⁺¹ Anfragen an das Orakel stellt.

Beobachtung:

F¨ur alle i ist die Berechnung von T_i^Bi bei Eingabe 0ⁿⁱ die gleiche wie vonT_i^Bi−1 bei 0ⁿⁱ. Denn y_i ∈B_i\Bi−1 wird von T_i^Bi bei 0ⁿⁱ nicht befragt

Worte in B\B_i haben eine L¨ange ≥ n_i+1 > nⁱ_i +i, also hat T_i nicht genug Zeit, diese anzufragen.

Zu zeigen: L_B ∈/ P^B.

Sei also L_B ∈P^B. Dann ist L_B =L(T_j^B) f¨ur einj ∈N. BetracheT_j^B(0^nj) =T_j^Bj(0^nj).

Falls akzeptiert, dann gibt es in B kein Wort der L¨ange nj, also 0^nj ∈/ LB. Falls verwirft, dann isty_j ∈B mit |y_j|=n_j, also 0^nj ∈L_B.

Also akzeptiert T_j^B nichtL_B!! Widerspruch

⇒ Somit ist L_B ∈/ P^B.

Ahnlich lassen sich alle m¨¨ oglichen Verh¨altnisse zwischen P, NP und co-NP relativ zu einem Orakel herstellen, z.B.:

N P^C =co−N P^C, aber P^C 6= (co)−N P^C f¨ur ein C N P^D 6=co−N P^D, P^D =N P^D ∩co−N P^D f¨ur ein D N P^E 6=co−N P^E, P^E 6=N P^E ∩co−N P^E f¨ur ein E

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