Speziell gilt f¨ ur eine Kurve in der xy -Ebene mit der Parameterdarstellung p(t) = (x (t), y(t))

L¨ ange einer Kurve

Die L¨ ange L einer Kurve mit stetig differenzierbarer Parametrisierung t 7→ p(t), a ≤ t ≤ b, ist

Z b a

|p ⁰ (t)| dt .

Speziell gilt f¨ ur eine Kurve in der xy -Ebene mit der Parameterdarstellung p(t) = (x (t), y(t))

L = Z b

a

q

x ⁰ (t) ² + y ⁰ (t) ² dt .

Insbesondere hat der Graph einer Funktion y = f (x) , x ∈ [c, d ] die L¨ ange L =

Z d c

q

1 + f ⁰ (x) ² dx .

Die L¨ ange des Kurvenst¨ ucks zwischen p(a) und p(t),

s(t) =

t

Z

a

|p ⁰ (τ )| dτ ,

kann als kanonischer Kurvenparameter benutzt werden. Man erh¨ alt die sogenannte Parametrisierung nach Bogenl¨ ange:

q (s) = p(t), |q ⁰ | = 1 .

Aufgrund des normierten Tangentenvektors gilt f¨ ur diese kanonische Parametrisierung

Z

C

f = Z L

0

f (q(s )) ds

mit L der L¨ ange von C .

Beweis

L¨ ange einer ebenen Kurve:

Approximation durch Streckenzug zu einer Partition des Parameterintervalls in Teilintervalle [t _{i − 1} , t _i ]

x y

∆x

∆y ∆s

p (t

)

p (t

)

Mittelwertsatz = ⇒

n

X

i=1

∆s _i =

n

X

i=1

q

(∆x _i ) ² + (∆y _i ) ²

=

n

X

i=1

q

(p ₁ ⁰ (ξ i )) ² + (p ₂ ⁰ (η i )) ² ∆t i

mit ξ i , η i ∈ [t i − 1 , t i ]

Riemann-Summe des angegebenen Integrals

Beispiel

Parametrisierung und L¨ ange einer Zykloide, die die Bahn- kurve eines Punktes auf einem rollenden Kreis beschreibt

r t/r

0 t

Bahnkurve (Abrollen entlang der x-Achse, Radius r )

x(t) = t + r cos(3π/2 − t/r) = t − r sin(t/r) y(t) = r + r sin(3π/2 − t/r) = r − r cos(t/r ) denn t = (2πr) · Drehwinkel (2π) ⇐⇒ Drehwinkel = t /r

cos(3π/2 − α) = − sin α, sin(3π/2 − α) = − cos α

L¨ ange des Bogens f¨ ur t ∈ [0, 2πr]

L =

Z _2πr

0

q

x ⁰ (t) ² + y ⁰ (t) ² dt

= Z 2πr

0

q

(1 − cos(t/r)) ² + (sin(t/r)) ² dt Substitution s = t/r , dt = r ds und Identit¨ aten

cos ² ϕ + sin ² ϕ = 1 , 1 − cos ϕ = 2 sin ² (ϕ/2)

= ⇒

L = r Z 2π

0

p 2(1 − cos(s)) ds = r Z 2π

0

2 sin(s/2) ds = 8 r

Beispiel

Parametrisierung nach Bogenl¨ ange q(s) der Spirale C : p(t) = exp(t)

cos t sin t

, p ⁰ (t) = exp(t)

cos t − sin t cos t + sin t

Definition = ⇒

s(t) =

t

Z

0

|p ⁰ (τ )| dτ =

t

Z

0

√

2 exp(τ ) dτ = √

2(exp(t) − 1) bzw. t(s ) = ln(s / √

2 + 1) Einsetzen in Parametrisierung p = ⇒

√