Parameterdarstellung einer Ebene
Die Punkte X auf einer Ebene durch einen Punkt P, die von zwei nicht parallelen Richtungsvektoren~u und~v aufgespannt wird, erf¨ullen
−→PX =s~u+t~v, s,t∈R.
Entsprechend gilt
xi =pi +sui +tvi, i = 1,2,3.
f¨ur die Koordinaten der Ortsvektoren~x=~p+s~u+t~v.
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Beispiel
Punktprobe ((2,−1,0)∈E?, (0,−1,2)∈E?) f¨ur die Ebene E durch den Punkt P = (1,2,3), aufgespannt von den Vektoren~u= (2,0,0)t,
~
v = (1,1,1)t
Parameterdarstellung
E : (s,t)7→~p+s~u+t~v =
1 2 3
+s
2 0 0
+t
1 1 1
X ∈E ⇔
∃ L¨osung (s,t) des ¨uberbestimmten Gleichungssystems
~x=~p+s~u+t~v oder (alternativ)
~x−~p,~u,~v spannen kein echtes Spat auf (⇔liegen in einer Ebene), d.h.
[~x−~p, ~u, ~v] = 0
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(i)X = (2,−1,0):
Einsetzen in die Parameterdarstellung
2
−1 0
=!
1 2 3
+s
2 0 0
+t
1 1 1
L¨osen des ¨uberbestimmten linearen Gleichungssystems zweite Komponente: −1 = 2 +t =⇒ t =−3 erste Komponente: 2 = 1 + 2s + (−3) =⇒ s = 2 konsistent mit dritter Komponente: 0 = 3 + 0 + (−3)
=⇒ X ∈E
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(ii)X = (0,−1,2):
Anwendung des Spatprodukt-Kriteriums
0 =! [~x−~p, ~u, ~v] =
0−1
−1−2 2−3
·
2 0 0
×
1 1 1
=
−1
−3
−1
·
0
−2 2
= 46= 0
=⇒ X ∈/ E
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