−→ PX = t~ u bzw. ~ x = ~ p + t~ u mit t = (~ q − ~ p) · ~ u / |~ u|

(1)

Abstand eines Punktes von einer Geraden Die Projektion X eines Punktes Q

auf eine Gerade durch den Punkt P mit Richtungsvektor ~ u erf¨ ullt

−→ PX = t~ u bzw. ~ x = ~ p + t~ u mit t = (~ q − ~ p) · ~ u / |~ u|

²

.

Der Abstand d = | −→

XQ| l¨ asst sich ebenfalls direkt berechnen:

d = |(~ q − ~ p) × ~ u| / |~ u| ,

wobei f¨ ur eine Gerade in der Ebene das Vektorprodukt (~ q − ~ p) × ~ u durch die Determinante

det(~ q − ~ p , ~ u) = (q

1

− p

1

)u

2

− (q

2

− p

2

)u

1

zu ersetzen ist.

(2)

Beweis

(i) Projektion X , ~ x = ~ p + t~ u :

X am n¨ achsten zu Q ⇔ ~ q − ~ x ⊥ ~ u pr¨ ufe die Orthogonalit¨ at von −→

XQ = ~ q − ~ x zu ~ u Einsetzen von t = ( ~ q − ~ p) · ~ u/|~ u |

²

in 0 = (~

^!

q − (~ p + t~ u

| {z }

~x

)) · ~ u

−→ XQ · ~ u =

~ q −

~ p + (~ q − ~ p) · ~ u

|~ u|

²

~ u

· ~ u

= (~ q − ~ p) · ~ u − (~ q − ~ p) · ~ u

|~ u|

²

|~ u|

²

= 0 X (ii) Abstand f¨ ur Geraden im Raum:

Dreieck ∆(X , P , Q ) rechtwinklig mit Kathete XQ und Hypothenuse PQ

= ⇒

d = |~ q − ~ x| = |~ q − ~ p| sin ^ (~ q − ~ p, ~ u)

und Ersetzen des Sinus mit der Formel f¨ ur die L¨ ange eines Vektorprodukts,

|~ v × ~ u| = |~ v | |~ u | sin ^ (~ v, ~ u), mit ~ v = ~ q − ~ p Ausdruck f¨ ur den

(3)

(iii) Gerade in der Ebene:

Erg¨ anzen der Koordinaten der Punkte und Vektoren durch eine dritte Komponente 0





q

1

− p

1

q

2

− p

2

0 

 ×



 u

1

u

2

0 

 =





0 0

(q

₁

− p

₁

)u

₂

− (q

₂

− p

₂

)u

₁





und somit

d = |(q

₁

− p

₁

)u

₂

− (q

₂

− p

₂

)u

₁

|/|(u

₁

, u

₂

, 0)|

= | det(~ q − ~ p, ~ u)|/| ~ u|

(4)

Beispiel

Projektion von Q = (3, 3, 3) auf die Gerade g : (2, 1, 3)

^t

+ t(1, 1, 1)

^t

und Abstand von Q zu g

(i) Projektion X :

Ortsvektor ~ x = ~ p + t~ u mit t = (~ q − ~ p) · ~ u/| ~ u|

²

, d.h.

~ x =



 2 1 3



 +







 3 3 3



 −



 2 1 3







 ·



 1 1 1



 1

²

+ 1

²

+ 1

²



 1 1 1





=

 2 1



+ 1 · 1 + 2 · 1 + 0 · 1

 1 1



=

 3 2



(5)

(ii) Abstand d : d =

−→ XQ =

q

(3 − 3)

²

+ (3 − 2)

²

+ (3 − 4)

²

=

√ 2 alternative Berechnung mit Hilfe der Formel

d = |(~ q − ~ p ) × ~ u|

|~ u |

Einsetzen von ~ q − ~ p = (3 − 2, 3 − 1, 3 − 3)

^t

= (1, 2, 0)

^t

und ~ u = (1, 1, 1)

^t

d =



 1 2 0



 ×



 1 1 1





|(1, 1, 1)

^t

| =



 2 − 0 0 − 1 1 − 2





√ 3

=

√ 4 + 1 + 1

√

3 = √

2