Methoden der Taylor-Entwicklung

Methoden der Taylor-Entwicklung

Einige Methoden der Taylor-Entwicklung sind:

direkte Berechnung der Ableitungen im Entwicklungspunkt gliedweise Differentiation oder Integration

Koeffizientenvergleich

Produktbildung durch gliedweise Multiplikation

Hintereinanderschaltung von Funktionen durch Einsetzen einer Reihe als Argument

Methoden der Taylor-Entwicklung 1-1

Beispiel:

Taylor-Reihe um z = 0 der Funktion f(z) = 1

z²+pz+q Ansatz

f(z) = 1

z²+pz+q =

∞

X

k=0

c_kz^k

Koeffizientenvergleich

1 =c₀q+ (c₁q+c₀p)z+ (c₂q+c₁p+c₀)z²+ (c₃q+c₂p+c₁)z³+· · ·

Methoden der Taylor-Entwicklung 2-1

sukzessive Berechnung der Koeffizienten c₀ = 1

q c₁ = −p

q²

c₂ = −c₀+c₁p

q =−1

q² +p² q³ . . .

allgemein:

(cnq+cn−1p+cn−2)zⁿ= 0 =⇒ cn=−cn−2+cn−1p q

Methoden der Taylor-Entwicklung 2-2

Beispiel:

Taylor-Entwicklung im Punkte z = 0 der Funktion f(z) = Lna+z

a−z

Ableitung

f⁰(z) = a−z a+z

d dz

a+z a−z = 2

a 1

1−(z/a)² =

geom. Reihe

2 a

∞

X

n=0

z a

2n

gliedweise Integration

f(z) =c+

∞

X

n=0

1 n+ 1/2

z a

2n+1

Integrationskonstante: f(0) = 0 =⇒ c = 0

Methoden der Taylor-Entwicklung 3-1