4.3.2 Direkte Methoden

4.3.2 Direkte Methoden

Cramersche Regel

Ax = b ⇔ x

i

det A = det(a

1

, . . . , a

i−1

, b, a

i+1

, . . . , a

n

) mit a

k

den Spalten der quadratischen Matrix A

eindeutige L¨osung f¨ur belibieges b, falls det A 6 = 0

b = e

j

(Einheitsvektoren) Koeffizienten der Inversen C = A

⁻¹

c

i,j

= det(a

1

, . . . , a

i−1

, e

j

, a

i+1

, . . . , a

n

) det A

R¨ uckw¨ arts-Einsetzen



 



r

_1,1

· · · r

_1,n

. .. ...

0 r

_n,n



 





 

 x

₁

...

x

_n



 

 =



 

 b

₁

...

b

_n



 



sukzessive Berechnung der Unbekannten

x

`

= (b

`

− r

`,`+1

x

`+1

− · · · − r

`,n

x

n

) /r

`,`

, ` = n, . . . , 1

Gauß-Elimination

Transformation auf obere Dreiecksform nach ` − 1 Schritten

a

1,1

x

1

+ a

1,2

x

2

+ . . . + a

1,`

x

`

+ . . . + a

1,n

x

n

= b

1

a

2,2

x

2

+ . . . + a

2,`

x

`

+ . . . + a

2,n

x

n

= b

2

... ... ...

a

`,`

x

`

+ . . . + a

`,n

x

n

= b

`

a

`+1,`

x

`

+ . . . + a

`+1,n

x

n

= b

`+1

... ... ...

a

n,`

x

`

+ . . . + a

n,n

x

n

= b

n

`-ter Eliminationsschritt

• evtl. Vertauschung von Zeilen, so dass a

`,`

6 = 0

• Subtraktion von Vielfachen der `-ten Zeile:

f¨ur i > ` und j ≥ `

a

i,j

← a

i,j

− q

i

a

`,j

, b

i

← b

i

− q

i

b

`

(q

i

= a

i,`

/a

`,`

) Nullen unterhalb von a

``

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Zeilenstufenform eines Gleichungssystems

Ax = b ⇔



 

 

 

0...0 p

1

∗ ... ∗

0 0...0 p

2

∗ ... ∗

0 0...0 p

3

∗ ...

. ..



 

 

 



 

 x

1

...

x

n



 

 =



 

 c

1

...

c

m



 



mit Pivots p

1

, . . . , p

k

6 = 0, k = Rang A

sukzessive Umformung analog zur Gauß-Elimination

L¨ osung eines linearen Gleichungssystems in Zeilenstufenform



 

 

 

0 . . . 0 p

1

∗ . . . ∗

0 0 . . . 0 p

2

∗ . . . ∗

0 0 . . . 0 p

3

∗ . . . ∗ . ..



 

 

 



 

 x

₁

...

x

_n



 

 =



 

 c

₁

...

c

_m



 



mit Pivots p

₁

, . . . , p

_k

6 = 0

l¨osbar genau dann wenn c

k+1

= · · · = c

m

= 0 (i) k = n eindeutige L¨osung

(ii) k < n n − k linear unabh¨angige L¨osungen des homogenen linearen Gleichungssystems (c

i

= 0) Unbekannte, die den Spalten ohne Pivots entsprechen, frei w¨ahlbar

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