4.8.1 Direkte Methoden 1. Indextransformation:

4.8.1 Direkte Methoden 1. Indextransformation:

Sei i ≥ 0, dann gilt:

n

X

k=m

a _k =

k=n

X

k=m

a _k =

k−i=n

X

k−i=m

a _k−i =

k=n+i

X

k=m+i

a _k−i =

n+i

X

k=m+i

a _k−i

Beispiel 195

S _n = 0 · a + 1 · a + 2 · a + · · · + n · a =

n

X

k=0

k · a

Indextransformation: k 7→ n − k

S n =

n

X

k=0

(n − k) · a

S n =

n

X

k=0

(n − k) · a

also:

S n = 1 2

n

X

k=0

k · a +

n

X

k=0

(n − k) · a

!

= n · a 2 ·

n

X

k=0

1

= n · (n + 1) 2 · a =

n + 1 2

· a

2. Induktion Beispiel 196

S n =

n

X

k=1

(2k − 1)

Nach Berechnen einiger Werte

S 1 = 1 S 2 = 4 S 3 = 9

vermutet man:

S _n = n ²

Behauptung:

S _n = n ² Beweis durch vollst¨ andige Induktion:

Induktionsanfang: n = 1 trivial Induktionsschluss: n 7→ n + 1

S _n+1 = S _n + 2 · (n + 1) − 1 = ^IA n ² + 2 · n + 1 = (n + 1) ²

Beispiel 197

Seien a 1 , a 2 , . . . , a n ∈ R ⁺ .

Das arithmetische Mittel A der a _i :

A = 1 n

n

X

i=1

a i

Das geometrische Mittel G der a _i :

G =

v u u t

n

Y

i=1

a i

Das harmonische Mittel H der a i : 1 H = 1

n

n

X

i=1

1 a _i

Wir wollen zeigen: G ≤ A.

Beweis durch vollst¨ andige Induktion:

Induktionsanfang: n = 1 trivial, n = 2 durch Einsetzen:

(G ≤ A) ⇐⇒

√

a ₁ · a ₂ ≤ a ₁ + a ₂ 2

⇐⇒ 4a ₁ · a ₂ ≤ (a ₁ + a ₂ ) ²

⇐⇒ 0 ≤ a 1 2 − 2a 1 a 2 + a 2 2 = (a 1 − a 2 ) ²

Induktionsschluss:

Wir zeigen:

(P _n ∧ P ₂ ) ⇒ P _n+1 Sei

b := 1 n + 1

n+1

X

i=1

a i .

Es gilt:

Beispiel (Forts.)

n+1

Y

i=1

a _i

!

· b ⁿ⁻¹ =

n

Y

i=1

a _i

!

· (a _n+1 · b ⁿ⁻¹ )

P

≤ 1 n

n

X

i=1

a i

! n

· 1

n (a n+1 + (n − 1)b) n

=

"

1 n

n

X

i=1

a i

!

· 1

n (a n+1 + (n − 1)b) # n

P

≤



 1 2

1 n

n

X

i=1

a _i + 1

n (a _n+1 + (n − 1)b)

!! 2 



n

=

"

1 2n

n+1

X

i=1

a _i + (n − 1)b

!# 2n

= b ²ⁿ .

Eine zweite Beweisvariante verwendet ein etwas ungew¨ ohnliches Induktionsverfahren!

Wir zeigen den Induktionsanfang wie oben und dann f¨ ur den Induktionsschluss:

1

P _n ⇒ P n−1

2

(P n ∧ P 2 ) ⇒ P 2n

Beispiel (Forts.)

1

Sei

b := 1 n − 1

n−1

X

i=1

a _i .

Damit:

n−1

Y

i=1

a

!

·

n−1

X

i=1

a

n − 1 =

n−1

Y

i=1

a

!

· b

≤

1 n

b +

n−1

X

i=1

a

!

= 1 +

n ·

n−1

X

i=1

a

!

= 1

n − 1 ·

n−1

X

i=1

a

!

⇒

n−1

Y

i=1

a

≤ 1 n − 1

n−1

X

i=1

a

!

⇒ P

2

Es gilt:

2n

Y

i=1

a _i =

n

Y

i=1

a _i

!

·

2n

Y

i=n+1

a _i

!

P

≤

n

X

i=1

a i

n

! n

·

2n

X

i=n+1

a i

n

! n

= n

X

i=1

a _i n

· 2n

X

i=n+1

a _i n

! n

P

≤ 1 2

2n

X

i=1

a i

n

! 2n

= 1

2n

2n

X

i=1

a i

! 2n

⇒ P _2n

4.8.2 Differenzenoperator Definition 198

Sei f eine Funktion von Z nach C. Der Operator E : f 7→ E(f) mit E(f )(x) := f (x + 1) heißt Translationsoperator.

∆ : f 7→ ∆(f )

mit ∆(f )(x) := f (x + 1) − f (x) heißt (Vorw¨ arts-)Differenzenoperator.

∇ : f 7→ ∇(f )

mit ∇(f )(x) := f (x) − f (x − 1) heißt (R¨ uckw¨ arts-)Differenzenoperator.

Mit I als dem Identit¨ atsoperator, (also I (f ) = f ) gilt damit

∆(f ) = (E − I)(f )

∇(f ) = (I − E ⁻¹ )(f )

Sei a ∈ N 0 :

E ^a (f)(x) = (E ◦ E ◦ · · · ◦ E)

| {z }

a

(f )(x) = f (x + a)

Beobachtungen:

Seien P, Q Operatoren ∈ {E, I, ∆, ∇}, sei α ∈ C .

1

(P ± Q)(f + g) = P (f) + P(g) ± (Q(f ) + Q(g))

2

(αP )(f ) = α · P (f )

3

(QP )(f ) = Q P (f )

, i. a. (QP )(f) 6= (P Q)(f )

4

∆

= (E − I)

= (E − I) . . . (E − I)

| {z }

n

=

n

X

k=0

(−1)

n

k

E

!

Aus (4) folgt:

∆ ⁿ (f )(x) =

n

X

k=0

(−1) ^n−k n

k

E ^k

! (f )(x)

=

n

X

k=0

(−1) ^n−k n

k

f(x + k) .

Beweis:

Klar.

Beispiel 201

∆ ² (x ³ ) x=0 =

2

X

k=0

(−1) ^2−k 2

k

k ³ = 0 − 2 + 8 = 6

4.8.3 Fallende Fakult¨ at Definition 202

Sei n ∈ N. Dann gilt: _x ^x

= _x−n ¹ . Damit f¨ ur n = −1

” formal“:

x ⁻¹ = 1 x + 1

Und f¨ ur n ersetzt durch −n:

x ⁻ⁿ = x ⁻ⁿ⁺¹ x + n

x ⁻ⁿ := 1

(x + 1)(x + 2) · · · (x + n)

x ⁻ⁿ := 1

(x − 1)(x − 2) · · · (x − n)

F¨ ur alle n ∈ Z gilt:

1

∆x ⁿ = n · x ⁿ⁻¹

2

∇x ⁿ = n · x ⁿ⁻¹

Beweis:

(Wir zeigen nur 1.) n > 0:

∆x ⁿ = (x + 1) ⁿ − x ⁿ

= (x + 1) · x ⁿ⁻¹ − (x − n + 1) · x ⁿ⁻¹

= n · x ⁿ⁻¹ n = 0:

∆x ⁰ = (x + 1) ⁰ − x ⁰ = 0 = 0 · x ⁻¹

n < 0. Setze m := −n:

∆x ^−m = (x + 1) ^−m − x ^−m

= 1

(x + 2)(x + 3) · · · (x + m + 1) − 1

(x + 1) · · · (x + m)

= (x + 1) − (x + m + 1) (x + 1) · · · (x + m + 1)

= −m · x ^−m−1