H¨ohereMathematikIIWS2002/2003 bez¨uglichdererdieAbbildungsmatrixvon
dieForm =
10
0 0
2
0
. . . . . .
. ..
. . .
00
hatmitoberenDreiecksmatrizen
=
10
0 0
1
0
. . . . . .
. ..
. . .
000
1 000
zudenEigenwertenvon
.DieAnzahlderK¨astchen
zueinemfe- stenEigenwertistdiegeometrischeVielfachheitdiesesEigenwerts,die SummeihrerZeilenzahlendiealgebraische. Beweis:WirgehenausvonderZerlegungvon
indieHauptr¨aumezu denEigenwertenvon
undbetrachteneinenfestenHauptraum
.Die Einschr¨ankungvon
aufdiesenUntervektorrauml¨aßtsichzerlegenin eineSumme =
id+
; dabeiistdieAbbildungsmatrixvon
idbez¨uglichjederbeliebigenBa- sisgleichdem
-fachenderEinheitsmatrix,undzumindestbez¨uglich derimvorigenAbschnittkonstruiertenBasis
1
!!
"
# istdieAb- bildungsmatrixvon
eineobereDreiecksmatrix
$ mitNulleninder Hauptdiagonalen. bildetdenBasisvektor
%
daherabindasErzeugnisderBasisvektoren 1bis
'&
1;insbesonderegeht1aufdenNullvektor.WiederholteAn- wendungvon
zeigt,daßf¨urjedenBasisvektor
gilt:
(
&1) (
(
)=
0, wobeiderExponentvon
f¨urdiewiederholteAnwendungderAbbil- dungstehensoll.Insbesondereistalso
(
") (
') )=
0f¨uralle
)
*
.
Kap.4:Differentialgleichungen
Esk¨onntesein,daßesschoneinekleinereZahl
+ gibt,sodaß
(
) dieNullabbildungist;diekleinstesolcheZahlbezeichnenwiralsden Nilpotenzgradvon
. HatderNilpotenzgradseinengr¨oßtm¨oglichenWert
, ,sosinddieVek- toren"
!
(
")!
!
(
&
1) (
("
) allesamtungleichdemNullvektor.Siesindauchlinearunabh¨angig,denn ist - 0
."
+
- 1
(
."
)+
///+
- "&1
(
"&1) (
."
)=
0, soistauchf¨urjedes
0 (
1 )
2 - 0
+
- 1
(
.
)+
///+
- "&1
(
"&1) (
."
)
3 =
- 0
(
1 ) (
")+
- 1
(
1 +1) (
("
)+
///+
- "&1
(
1 +"
&1) (
("
)
3 =
0. Da
(
) f¨ur
+
4, dieNullabbildungist,tretenhiernurdieSummanden -
(
+
1 ) (
(
)mit
56,7
0 wirklichauf,f¨ur
0 =
,71alsonurder Summand
- 0
(
"&1) (
("
).Da
(
"&1) (
("
)ungleichdemNullvektorist, mußalso
- 0=0sein.Anwendungvon
(
"&2) zeigtalsn¨achstes,daß - 1=0ist,undgenausozeigtmansukzessivedasVerschwindenaller
-. Alsok¨onnenwir
'8 =1
(
"&1) (
")!
8 2=
(
"&2) (
."
)
!!
8 "=
."
alsBasisvektorenvon
w¨ahlen,undbez¨uglichdieserBasisist (
8)=
9 8&1f¨ur
5: 1 0f¨ur
5 =1und
(
8)=
98+
'8f¨ur&1
5: 1 8 1f¨ur
5 =1. DieAbbildungsmatrixvon
hatsomitdieeinfacheGestalt 10
00 0
1
00 00
00
. . . . . . . . .
. . . . . .
000
1 000
0
, unddasistgeradeeinesderJORDAN-K¨astchenausderFormulierungdes Satzes.
; H¨ohereMathematikIIWS2002/2003 FallsderNilpotenzgrad
+ von
kleinerals
, ist,k¨onnenwirnichtso argumentieren.Wirk¨onnenaberimmerhineinenVektor
')
*
finden, sodaß
(
&
1) (
') )
< =
0ist,dennerst
(
) istdieNullabbildung.Genauwie obenfolgt,daß 8 1=
(
&
1) (
')!)
'8 =2
(
&2) (
')!)
!
8 =
) linearunabh¨angigsind,allerdingsspannensienureinen
+ -dimensiona- lenTeilraum
= von
>
auf.DieserTeilraumist
-invariantunddamit auch
-invariant,denn
bildeteinfachdieBasisvektorenaufeinander beziehungsweiseaufdenNullvektorab,unddieAbbildungsmatrizen bez¨uglichdieserBasissehengenausoauswieoben;auchzu
= geh¨ort alsoeinJORDAN-K¨astchen. UmweitereK¨astchenzubekommen,brauchenwireininvariantesKom- plementvon
= in
.Dazuw¨ahlenwirirgendeinelineareAbbildung ? :
@
A ,f¨urdie
? (
') )
< =0istundsetzen B =
C
'D
*
>
EE
? (
D )=
?
2 (
D )
3 =
///=
?
2(
&1) (
D )
3 =0
5
F . DerDurchschnitt
=G
B bestehtnurausdemNullvektor,dennjeder Vektoraus
= l¨aßtsichals D =
- 1
8 1+
+
-
'8
schreiben,undwenn
'D
auchin
B liegt,ist ?
2(
1 ) (
D )
3 =
- 1
(
1 +
&
1) (
') )+
+
-
&
1
1 +1 (
') )+
-
(
1 ) (
) )=0 f¨ur
0 =0!
!
+71.Da
(
H ) (
') )f¨ur
I4+ gleichdemNullvektorist, folgtf¨ur
0 =
+71,daß
- &1=0ist,underniedrigtman
0 immerweiter, folgtnacheinanderdasVerschwindenallerKoeffizienten
-.Somitist =G
B inderTatderNullraum. DieDimensionvon
B l¨aßtsichzumindestnachuntenleichtabsch¨atzen: Bez¨uglicheinerBasisvon
wirdjedeGleichung
?
2(
1 ) (
'D )
3 =0 zueinerlinearenGleichungindenKoeffizientenvon
'D ,derUnter- vektorraum
B istalsodieL¨osungsmengeeineshomogenenlinearen Gleichungssystemsaus
+ Gleichungenindim
Variablen.Daherist dim
B4 dim
7
+ unddim
=J
B =dim
= +dim
B4 dim
.
Kap.4:Differentialgleichungen
K Da
=J
B Untervektorraumvon
>
ist,gehtdasnur,wenndasGleich- heitszeichengilt,d.h.
=
=J
B . Wirm¨ussenunsnoch¨uberlegen,daß
B unter
invariantist.Dazu m¨ussenwirzeigen,daßf¨uralle
D
*
B gilt ?
2 (
'D )
3 =
?
L (
2 (
D )
3
M =
///=
?
L (&1)
2 (
D )
3
M =0, d.h. ?
2 (
D )
3 =
?
2(2) (
'D )
3 =
///=
?
2(
) (
'D )
3 =0 falls ? (
'D )=
?
2 (
'D )
3 =
///=
?
2(
&1) (
'D )
3 =0 ist.DieeinzigeneueBedingungist
?
2() (
'D )
3 =0,unddieisttrivialer- weiseerf¨ullt,da
(
) dieNullabbildungist.Alsoist
B invariantunter
undsomiteininvariantesKomplementvon
= . Auch
N
isteinenilpotenteAbbildungvoneinemNilpotenzgrad +
OP+ ;wennwiralsoeinenVektor
D
*
B hernehmen,f¨urden (
Q ) (
'D )
< =
0ist,k¨onnenwirdiegleicheKontruktionwieobenmit
')
nocheinmaldurchf¨uhrenunderhalteneinenneueninvariantenUnter- raum
=
OP
B miteinerBasis,bez¨uglichderer
einJORDAN-K¨astchen alsAbbildungsmatrixhat. Falls
=
O =
B ist,sindwirdamitfertig;anderfallsk¨onnenwirwieder wieobeneininvariantesKomplement
B
O von
=
O in
B findenundeinen weiterenTeilraumabspalten,usw.JedersolcheTeilraumf¨uhrtaufein JORDAN-K¨astchen,unddasVerfahrenbrichtschließlichab,dawirin einemendlichdimensionalenVektorraumarbeiten. InjedemderkonstruiertenTeilr¨aumeliegtgenaueineindimensiona- lerTeilraumausEigenvektoren(unddemNullvektor),n¨amlichder vomerstenBasisvektoraufgespannte.DerEigenraumzu
wirdal- sovondiesenerstenBasisvektorenaufgespanntundseineDimension, diegeometrischeVielfachheitvon
,istdamitgleichderAnzahlder JORDAN-K¨astchenzu
.DiealgebraischeVielfachheitistwegender speziellenGestaltderAbbildungsmatrixnat¨urlichdieAnzahlder
R H¨ohereMathematikIIWS2002/2003 inderHauptdiagonalen,d.h.gleichderSummederZeilenzahlender JORDAN-K¨astchenzu
. UmwenigstenseinganzeinfachesBeispielzusehen,betrachtenwirdie Matrix =
21000 02000 00123 00014 00001
vomEndedesvorigenAbschnitts.LinksobenstehtschoneinJORDAN- K¨astchenzumEigenwertzwei,rechtsuntenm¨ussenwirnochetwas arbeiten. DieBasisdes
S5 sei
'T 1
!!
'T 5
# ;davonk¨onnenwir
1=
'T und1 =2
'T alsBasisvon2
2gleich¨ubernehmen.
1wirdvon
T 3
!
'T und4
'T 5 aufgespannt;einVektorausdiesemdreidimensionalenRaum,derunter $ =
U 023 004 000
V denmaximalenNilpotenzgradhat,istetwa
'T ,denn5
'T wirdabgebildet5 auf3
'T +43
'T ;da4
T 3aufdenNullvektorgehtund
'T auf24
'T ,wirddieser3 Vektorweiterabgebildetauf8
T 3,wasschließlichaufdenNullvektor abgebildetwird.Mit 3=2
'T 3
!4=3
'T +43
'T und4
5=
'T 5 gehtalso
5unter
$ auf
4undweiterauf
3;daherist
3=
( 3
!
4=
( +4
( und3
( =5
( +5
( ,4 unddieMatrix
hatbez¨uglichderBasis
1
!!5
# dieGestalt
O =
21000 02000 00110 00011 00001
Kap.4:Differentialgleichungen
W mitdenbeidenJORDAN-K¨astchen X 21 02
Y und
U 110 011 001
V .
§ 3: Linear e Differ entialgleichungen und Differ ential- gleichungssysteme
a)SystemehomogenerlinearerDifferentialgleichungenmit konstantenKoeffizienten BeliebigeSystemehomogenerlinearerDifferentialgleichungenmitkon- stantenKoeffizientenk¨onnengenausobehandeltwerdenwiedasBei- spielausZ 2g),undeigentlichwissenwirbereitsalles,waswirbrauchen. TrotzdemseiendiewesentlichenPunktehiernocheinmalzusammen- fassenddargestellt: WirbetrachteneinDifferentialgleichungssystem [
'\] ()=
'\] (), wobei
einereelleoderkomplexe
^
_^ -Matrixist.Zumindest¨uber denkomplexenZahlenzerf¨alltihrcharakteristischesPolynominLine- arfaktoren,esgibtalsoeineBasis
` von
a
b ,bez¨uglichderer
alsobere Dreiecksmatrixgeschriebenwerdenkann. Ist
c diekomplexe
^_^ -Matrix,derenSpaltendieVektorenaus sind,istdannalso =
c
dc
&1 miteinerDreiecksmatrix
d*
a
b
eb .Dannistauch T
fg
=
cT
hg
c
&1 , und
T
hg
kannberechnetwerden,da
d =
i +
$ SummeeinerDiago- nalmatrixundeinerdamitkommutierendenoberenDreiecksmatrixmit NulleninderHauptdiagonalenist.Insgesamtistalso T
fg
=
cT
jg
T
kg
c
&1 ,
l H¨ohereMathematikIIWS2002/2003 undjederdervierFaktorenrechtsistinendlichvielenSchrittenbere- chenbar. Wiewirweiterhinwissen,hatjedeL¨osungderDifferentialgleichung[
'\] ()=
\ (] )dieForm \ (] )=
T
fg
\ 0mit
m 0=
'\ (0)
*
a
b ; wirkennenalsoalleL¨osungendesSystems.FallsAnfangsbedingungen vorgegebensind,diesichaufeinenbeliebigenZeitpunkt
] =
] 0beziehen, k¨onnenwirdieL¨osungentsprechendschreibenals
'\] ()=
T
f (
g&
g 0)
'\] ().0 SolangewirinderLagesind,dieNullstellendescharakteristischenPo- lynomsvon
zuberechnen,k¨onnenwiralsojedesAnfangswertproblem inGestalteinesSystemslinearerDifferentialgleichungenmitkonstanten Koeffizientenl¨osen. b)LangzeitverhaltenderL¨osung Nichtimmeristesnotwendigoderauchnurm¨oglich,einDifferenti- algleichungssystemzurexaktennumerischenVorhersagederweiteren EntwicklungeinesSystemszuverwenden;gelegentlichreichtauchein qualitativer
¨ Uberblick.
DabeigehtesvorallemumdasLangzeitverhal- tendesSystems:N¨ahertessicheinemGleichgewicht, ”explodiert“es, oderwirdesauflangeSichtperiodisch,wiewiresetwavomFallder erzwungenenSchwingungherkennen. F¨ursolcheAussagenreichtesimFalleeineslinearenhomogenenDif- ferentialgleichungssystems
[
'\] ()=
'\] (),dieEigenwertederMatrix
zukennen:Bez¨uglicheinerBasisausHauptvektorenl¨aßtsich
in derForm
i +
$ schreibenmiteinerDiagonalmatrix
i ,f¨urdie
T
jg DiagonalmatrixistmitdenFunktionen
T
g alsEintr¨agen,wobei
die Eigenwertevon
durchl¨auft.DieMatrix
T
kg
hatPolynomein
] als Eintr¨age;dasProdukt
T
jg
T
kg
hatalsowegenderspeziellenFormen von
i und
$ ProduktevonPolynomenin
] mit
T
n alsEintr¨age,wo- beiderGraddesPolynomsh¨ochstensdieumeinsvermindertegr¨oßte StufeeinesHauptvektorszu
ist.BeiderR¨ucktransformationaufdie
Kap.4:Differentialgleichungen
o AusgangsbasisentstehenLinearkombinationensolcherFunktionen,die beiderMultiplikationmitdemVektorderAnfangswerteselbstwieder linearkombiniertwerden.InsgesamtistalsojedeL¨osungsfunktioneine LinearkombinationvonTermenderForm
]
1 T
g . FallsnureinEigenwert
von
positivenRealteilhat,mußdasSystem fastunweigerlichexplodieren,daderBetragvon
T
g f¨urhinreichend großes
] jedevorgegebeneGrenze¨uberschreitet.Zwarsindeventuell Anfangsbedingungenm¨oglich,beidenen
T
g nichtinderL¨osungdes Anfangswertproblemsauftritt,aberdadieAnfangswerteinderPraxis niedurchNaturgesetzegegebensind,sonderndurchfehlerbehaftete Meßwerte,kannschoneinekleineSt¨orungdenTerm
T
g wiederins Spielbringen,undauchf¨ursehrkleines
8 dominiert
8T
g langfristigjede beschr¨ankteFunktion. HabendagegenalleEigenwertevon
negativenRealteil,gehtjeder Term
]
1 T
g gegenNullf¨ur
]@p unddamitauchjedeL¨osungsfunk- tion;derL¨osungsvektorn¨ahertsichalsoimmermehrderGleichge- wichtsl¨osung
'\] ()
q 0. BleibtnochderFallvonEigenwertenmitRealteilnull.Hierwerden diebeimehrfachenEigenwertenm¨oglichenPolynomewichtig,denn w¨ahrendderBetragvon
T
g konstantist,gehtderBetragdermiteinem nichtkonstantenPolynommultipliziertenFunktiongegen
rp . SchließlichsolltenwirauchdieImagin¨arteilederEigenwertenichtganz vergessen:Falls
,wieindenmeistenAnwendungen,einereelleMatrix ist,istmitjedemnichtreellenEigenwert
auchdiekonjugiertkomplexe Zahl
einEigenwertderselbenVielfachheitwie
.Mit
=
s +
5
ist T
g =
T
t
g (cos
] +
5 sin
] )und
T
g =
T
t
g (cos
]7
5 sin
] ), jedeLinearkombinationvon
T
g und
T
g l¨aßtsichalsoauchalsLinear- kombinationderbeidenreellenFunktionen T
t
g cos
] und
T
t
g sin
] schreiben.DieImagin¨arteilebringenalsoSchwingungsanteileindie L¨osungsfunktionen.
H¨ohereMathematikIIWS2002/2003 UmeinenerstenEindruckvomL¨osungsverhaltenlinearerhomogener DifferentialgleichungssystememitreellenKoeffizientenzubekommen, wollenwiruns¨uberlegen,wasinniedrigenDimensionenm¨oglichist. ImEindimensionalenbestehtdas ”System“einfachausderDifferential- gleichung
[\ (] )=
s\ (
] )mitL¨osung
\ (
] )=
\ (0)
T
t
g ;f¨ur
s
: 0gehtdiesje nachVorzeichenvon
\ (0)gegenplusoderminusunendlichf¨ur
]@p , f¨ur
s
6 0gegennull,undf¨ur
s =0ist
\ (
] )=
\ (0)konstant. EtwasinteressanteristesimZweidimensionalen:HierhatdieMatrix
einenoderzweiEigenwerte. FallsesnureinengibtunddieserdiegeometrischeVielfachheitzwei hat,¨andertsichnichtswesentlichesgegen¨uberdereindimensionalen Situation:DieL¨osungsfunktionist
2u(0) v(0)
3 /
T
g . FallsderEigenwertnurdiealgebraischeVielfachheiteinshat,sind dieL¨osungsfunktionenLinearkombinationenvon
T
g und
]T
g ,also ProduktelineareFunktionenmit
T
g .Jetztk¨onnendieL¨osungenauch imFall
=0unbeschr¨anktwerden. WenneszweiverschiedeneEigenwertegibt,k¨onnendieseentweder beidereelloderaberkonjugiertkomplexsein. ImreellenFallk¨onnenbeidepositivsein;danngehtjedenichttriviale L¨osunginsUnendliche,oderaberbeidek¨onnennegativsein;dannn¨ahert sichjedeL¨osungimmermehrdemNullpunkt.Alternativk¨onnteeiner positivundeinernegativsein;indiesemFalln¨ahernsichalleL¨osungs- kurveneinerGeraden,gehenabermitdieserinsUnendliche.Schließlich k¨onntenocheinEigenwertnullsein;dannliegenalleL¨osungskurven aufGeradenundgehendortjenachVorzeichendesanderenEigenwerts gegeneinenfestenPunktoderaberinsUnendliche. BleibtnochderFallzweierkonjugiertkomplexerEigenwerte
s
r5 ; indiesemFallsinddieL¨osungsfunktionenLinearkombinationenvon T
t
g cos
] und
T
t
g sin
] . F¨ur
s =0habenwireinfachreineSchwingungen;fallsdiebeidenEi- genvektorensenkrechtaufeinanderstehen,bekommenwiralsL¨osungs- kurvenKreislinien,ansonstenaffineVerzerrungendavon,alsoEllipsen.
Kap.4:Differentialgleichungen
;ww F¨ur
s
< =0ergebensichentsprechendSpiralen,diejenachVorzeichen von
s entwederinsUnendlichegehenoderabersichaufdenNullpunkt zusammenziehen. BetrachtenwiralsBeispieldasSystem
[yx]7()=10
!2
x (
] )725
\ (
] )und
[\ (] )=5
x (
] )+9
!8
\ (
] ). DieMatrix =
X 7101 5
725 594 5
Y hatdascharakteristischePolynom 2 +2 5
+251 5 mitNullstellen
71 5
r 5
5 ,dieL¨osungskurvensindalsosichnachinnen zusammenziehendeSpiralen.MitdenAnfangsbedingungen
x (0)=0 und
\ (0)=1erhaltenwirdieL¨osung x (] )=75
T
&
g
z 5 sin5
] und
\ (
] )=
T
&
g
z 5 (cos5
] +2sin5
] ), dieinAbbildung30zusehenist. -1012 -20-101020 Abb.30:Spiralf¨ormigeAnn¨aherungandenNullpunkt ImDreidimensionalengibtesentsprechendmehrM¨oglichkeiten;ich m¨ochteaufdiewenigerinteressantenF¨allemitlauterreellenEigenwer- tenverzichtenundnurdenbetrachten,daßzweikonjugiertkomplexe
;w H¨ohereMathematikIIWS2002/2003 auftreten,etwa
s
r5 .DerdritteEigenwert
mußdannnat¨urlichreell sein. Fallsernullist,sindwirimwesentlicheninderzweidimensionalen Situation:DadanninRichtungdesdrittenEigenvektorsalleskonstant ist,spieltsichallesineinerEbenenab,dieparallelzudervondenersten beidenEigenvektorenaufgespanntenliegt. Fallsernegativist,n¨ahertsichinRichtungdesdrittenEigenvektorsalles derEbenen,inderdessenKoordinatenullist,diealsovondenbeiden anderenEigenvektorenaufgespanntwird,unddortistdieDynamikje nachVorzeichenvon
s spiralf¨ormignachinnenoderaußenodereinfach ellipsenf¨ormig.Abbildung31zeigtdenFall
s =71
{ 10
!
=2und
= 1
{ 6;dieEigenvektorenzeigeninRichtungderKoordinatenachsen. 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8
-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Abb.31:Spiralf¨ormigeAnn¨aherungandenNullpunktimDreidimensionalen InAbbildung32ist
s =+1
{ 10undansonstenallesunver¨andert;wie mansieht,n¨ahertsichnundieL¨osungskurvezwarder(x
!
\ )-Ebenen, gehtindieseraberspiralf¨ormiginsUnendliche. FallsderdritteEigenwertpositivist,gehtinRichtungseinesEigenvek- torsallesinsUnendliche;jenachVorzeichenvon
s entfernensichdie L¨osungskurvendabeispiralf¨ormigvonderdurchdiesenEigenvektor aufgespanntenGeradenoderabergehenaufsiezu.Abbildung33zeigt denletzterenFallmit
=+1
{ 6und
s!
wieinAbbildung30.
Kap.4:Differentialgleichungen
;w 00.20.40.60.81 -20 -10 10
-20 -10 10 20 Abb.32:Spirale,diesichder(
|(}
~ )-Ebenenn¨ahert 020406080100120140160180 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8
-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Abb.33:Spirale,diesichder
-Achsen¨ahert Manbeachte,daßdieAbbildungen32und33zwaraufdenersten Blicksehr¨ahnlichaussehen,daßaberdieDynamikinAbbildung32 in
-Richtungnachuntengeht,inAbbildung33abernachoben.Der RotationssinnderSpiralenistinbeidenF¨allenderGegenuhrzeigersinn. c)LinearehomogeneDifferentialgleichungenh¨ohererOrd- nungmitkonstantenKoeffizienten EinederwichtigstenAnwendungenderTheorieausdenletztenAb- schnitteninderElektrotechniksindlineareDifferentialgleichungen
;w; H¨ohereMathematikIIWS2002/2003 h¨ohererOrdnungmitkonstantenKoeffizienten.DieserAbschnittsoll zeigen,daßmanindiesemSpezialfallwederDeterminantennochEigen- undHauptvektorenberechnenmuß,umdieL¨osungsfunktionenzufin- den. Umzusehen,wasderallgemeineAnsatzindiesemSpezialfallergibt, schreibenwirdieDifferentialgleichung \(
b) (] )+
s b&1
\(
b&1) (] )+
///+
s 1
[\ (
] )+
s 0
\ (
] )=0mit
s
*
a . alseinSystem [\ 0(] )=
\ 1(
] ) [\ 1(] )=
\ 2(
] )
. . . . . .
[\b&2(] )=
\b&1(
] ) [\ b&1(] )=7
s b&1
\ b&1(
] )7
//
/7
s 1
[\ 1(
] )7
s 0
\ 0(
] ) oderkurz
[
'\] ()=
'\] ()mit =
010
00 001
00
. . . . . . . . .
. ..
. . . . . .
000
10 000
01 7
s 0
7
s 1
7
s 2
7
s b&2
7
s b&1
und \ (] )=
\ 0(
] )
. . .
\b&1(
] )
. DieL¨osungen
\ (] )diesesSystemsdefinierenL¨osungen
\ (
] )=
\ 0(
] )der obigenGleichung,undumgekehrtistauchf¨urjedesolcheL¨osung
\ (
] )
Kap.4:Differentialgleichungen
;w derVektor
'\] ()=
\ (
] ) [\ (] ) ¨\ (] )
. . .
\(
b&2) (] ) \(
b&1) (] )
eineL¨osungdesSystems
[
'\] ()=
\ (] ). AusdemvorigenAbschnittwissenwir,daßdieL¨osungendiesesSy- stemseinen
^ -dimensionalenVektorraum
vonvektorwertigenFunk- tionen
]
@
\ (] )bilden.JedeeinzelneKomponentejederL¨osungaus diesemVektorraumistdarstellbaralsLinearkombinationvonFunktio- nen
]
1 T
g ,wobei
1
!!
"dieverschiedenenEigenwertevon
sind unddienichtnegativeganzeZahl
0 kleineristalsdiegr¨oßteStufeeines Hauptvektorszu
,erstrechtalsokleineralsdiealgebraischeVielfach- heitvon
.InsbesonderestehendaherbeieinfachenEigenwertenoder allgemeinerbeiEigenwerten,derengeometrischeVielfachheitgleich deralgebraischenist,¨uberhauptkeineechten
] -PotenzenvordenExpo- nentialfunktionen. Außerdemwissenwir,daßjedesAnfangswertproblemeindeutigl¨osbar ist:BeiAnfangsbedingungen \ 0(] 0)=
8 0
!!
\ b&1(
] 0)=
8 b&1 ist
'\] ()=
T
f (g&
g 0) dieL¨osung.Vornehmausgedr¨ucktk¨onnenwirauchsagen,daßf¨urjedes ] 0
*
S dieAbbildung @
a
b ;
'\] ()
@
\ (] 0) einIsomorphismusist. F¨urjedenL¨osungsvektor
\ (] )desDifferentialgleichungssystemsistdie nullteKomponenten
\ 0(
] )L¨osungderDifferentialgleichung \(
b) (] )+
sb&1
\(
b&1) (] )+
///+
s 1
[\ (] )+
s 0
\ (
] )=0,
;wR H¨ohereMathematikIIWS2002/2003 unddieseKomponentebestimmtauchdieanderenKomponenten
\(
] ), diejageradedieAbleitungenvon
\ 0(
] )sind.Daherbildenauchdie L¨osungsfunktionendieserGleichungeinen
^ -dimensionalenVektor- raum,d.h.auchdieAbbildung
'\] ()
@\ 0(
] )isteinIsomorphismus, undwennwirAnfangsbedingungenmitinsSpielbringenfolgtauch, daßesf¨urjedeVorgabevonWerten
\ (
] 0)!
[\ (] 0)!¨\ (] 0)!
!
\(
b&1) (] 0) genaueineL¨osunggibt. Wiewirunsgerade¨uberlegthaben,ist
\ 0(
] )Linearkombinationvon FunktionenderArt
]
1 T
g ,wobei
dieEigenwertevon
durchl¨auft und
0 kleineralsdiealgebraischeVielfachheitdesEigenwerts
ist. DieSummederalgebraischenVielfachheitender(komplexen)Eigen- werteeinerkomplexen
^
_^ -MatrixistgleichdemGraddescha- rakteristischenPolynoms,alsogleich
^ ;damitgibtesgenau
^ solche Funktionen.Andererseitswissenwir,daßderL¨osungsraumdieDimen- sion
^ hat;somitwerdenalledieseFunktionenwirklichgebrauchtund siebildeneineBasisdesL¨osungsraums. F¨ureinewirklichbefriedigendeKenntnissdesL¨osungsraumsfehltuns nunnurnocheinVerfahren,wiewirdieEigenwerte
undderenalge- braischeVielfachheiten
-direktausdenKoeffizientenderGleichung berechnenk¨onnen. ZumindestdieEigenwerte
lassensichleichtausderGleichungab- lesen:F¨urdieFunktion
\ (
] )=
T
g ist
\(
) (] )=
T
g ,sieistalsogenau danneineL¨osungderDifferentialgleichung,wenn
b T
g +
s b&1
b&1T
g +
///+
s 1
T
g +
s 0
T
g =(
b +
sb&1
b&1 +
///+
s 1
+
s 0)
T
g verschwindet;da
T
g nirgendsverschwindet,istdiesgenaudannder Fall,wenn
b +
s b&1
b&1 +
///+
s 1
+
s 0=0(
) ist. Definition:DieGleichung(
)heißtcharakteristischeGleichungder
Kap.4:Differentialgleichungen
;w
W Differentialgleichung \(
b) (] )+
s b&1
\(
b&1) (] )+
///+
s 1
[\ (
] )+
s 0
\ (
] )=0. DieEigenwerte
von
sindalsogenaudieNullstellendercharakteri- stischenGleichungderDifferentialgleichung.DadiesedenselbenGrad hatwiedascharakteristischePolynomvon
liegtdieVermutungnahe, daßsie(eventuellbisaufeineKonstante)damit¨ubereinstimmt,unddas istauchtats¨achlichderFall: Lemma:DiecharakteristischeGleichungderDifferentialgleichungist dasmit(71)
b multipliziertecharakteristischePolynomvon
. Beweis:F¨ur
^ =1istdieDifferentialgleichung
[\ (] )=
s\ (
] )identisch mitdemzugeh¨origenSystem;diecharakteristischeGleichungist
7
s , unddie ”Matrix“
=(
s )hatdascharakteristischePolynom
s7
.F¨ur ^ =1stimmtdieBehauptungalso. F¨ur
^:
1entwickelnwirdascharakteristischePolynom det(
7
)=
EEEEEEEEEEEE
7
10
00 0
7
1
00
. . . . . . . . .
. ..
. . . . . .
000
10 000
7
1 7
s 0
7
s 1
7
s 2
7
sb&2
7
sb&17
EEEEEEEEEEEE
nachdererstenSpalteunderhalten det(
7
)=7
EEEEEEEEEE
7
1
00
. . . . . .
. ..
. . . . . .
00
10 00
7
1 7
s 1
7
s 2
7
s b&2
7
s b&17
EEEEEEEEEE
+(
71)
b&1 (7
s 0)
EEEEEEEEEE
10
00 7
1
00
. . . . . .
. ..
. . . . . .
00
10 00
7
1
EEEEEEEEEE
.
;wl H¨ohereMathematikIIWS2002/2003 DieersteDeterminateaufderrechtenSeiteistvonderselbenForm wiedasbetrachtetecharakteristischePolynom,hatabernurdieGr¨oße (
^71)
_ (
^71).Wirk¨onnendaherinduktivschließen,daßsiegleich (71)
b&1
2 sb
b&1 +
sb&1
b&2 +
///+
s 2
+
s 1
3 ist.DiezweiteDeterminantel¨aßtsichdirektausrechnen:Wiemansich leicht¨uberlegt(oderin[HM1],KapitelI,
Z 4f)nachliest),istdieDetermi- nanteeinerDreiecksmatrixgleichdemProduktihrerDiagonalelemente; diezweiteDeterminanteistalsogleicheins.Damitfolgt det(
7
)=(7
)(71)
b&1
2 sb
b&1 +
sb&1
b&2 +
///+
s 2
+
s 1
3 +(71)
b&1 (7
s 0) =(71)
b2 sb
b +
sb&1
b&1 +
///+
s 2
2 +
s 1
+
s 0
3 , wiebehauptet. InsbesonderehabenalsodiecharakteristischeGleichungeinerDifferen- tialgleichungunddascharakteristischePolynomderzugeh¨origenMatrix nichtnurdieselbenNullstellen,sondernauchdieVielfachheitendieser Nullstellensindgleich;diealgebraischenVielfachheitenderEigenwerte lassensichdirektausdercharakteristischenGleichungablesen. DamithabenalleBausteilezusammenundk¨onnendasErgebnisdieses AbschnittsimfolgendenSatzzusammenfassen: Satz:DiecharakteristischeGleichung
b +
s b&1
b&1 +
///+
s 1
+
s 0=0 derDifferentialgleichung \(
b) (] )+
s b&1
\(
b&1) (] )+
///+
s 1
[\ (] )+
s 0
\ (
] )=0 habedieNullstellen
1
!!
";dieVielfachheitderNullstelle
sei
-.DannbildendieL¨osungenderDifferentialgleichungeinen
^ - dimensionalenVektorraum
mitBasis C T
1g !
]T
1g !!
]
1&1T
1g !
T
g !
]T
g !!
]
&1T
gF .
Kap.4:Differentialgleichungen
;w F¨urjedes
] 0
*
S istdielineareAbbildung @
a
b ;
\
@
2 \ (] 0)!
[\ (
] 0)!¨\ (
] 0)!
!
\(
b&1) (] 0)
3 einIsomorphismus;insbesondereistjedesAnfangswertproblem \ (] 0)=
8 0
!
[\ (] 0)=
8 1
!
\(
b&1) (] 0)=
8 b&1 eindeutigl¨osbar. Sofernwirunsf¨urkomplexwertigeL¨osungeninteressieren,liefertuns dieserSatzalleswaswirbrauchen.BeivielenAnwendungenhatman esabermitGleichungenmitreellenKoeffizientenzutun,undvonder NaturdesProblemsherinteressierennurreelleL¨osungen.Mitunse- rembisherigenAnsatzkommenwirauchbeidiesenProblemennicht umkomplexeL¨osungenherum;beispielsweisehatdiewohlbekannte Differentialgleichung ¨\ (] )+
\ (
] )=0 diecharakteristischeGleichung 2 +1=0 mitdenbeidenreinimagin¨arenL¨osungen
=
r5 ,dieobenangegebene BasisdesL¨osungsraumsistalso C Tg !
T
&
gF . FallswirnochnieetwasvomobigenSatzgeh¨orth¨atten,w¨urdenwir stattdessensagen,daßdieL¨osungendieserDifferentialgleichungge- naudieLinearkombinationenvonSinusundCosinussind,Basisdes L¨osungsraumsistalsoC sin
] !cos
]
F .
¨ Uber
a sindbeideAussagen¨aquivalent,dennaufGrundderEULERschen Formeln cos
] =1 2
2 T
g +
T
&
g3 undsin
] =1 2
5
2 T
g 7
T
&
g3 bzw. T
g =cos
] +
5 sin
] und
T
&
g =cos
]7
5 sin
]
