() ()() n n n n k 12 12 () () () () p = x + 1 − x − 1 x + 1 − x − 1 mod n = 0 ⇔ n = 2 n ()() () () n n 12 x + 1 − x − 1 mod n = 1 ⇔ n prim

(1)

Hans Walser, [20161225]

Zahlenklassifizierung 1 Worum geht es?

Es wird eine empirisch begründete Methode vorgestellt, um aus den natürlichen Zahlen die Zweierpotenzen und die Primzahlen herauszusieben. Es zeigt sich:

12

( (

x+1

)

ⁿ⁻

(

^x⁻¹

)

ⁿ

)

( )

^modⁿ⁼⁰ ^⇔ ⁿ⁼²^k

12

( (

x+1

)

ⁿ⁻

(

^x⁻¹

)

ⁿ

)

( )

^modⁿ⁼¹ ^⇔ ^{n prim} ⁽¹⁾

Beweis fehlt.

2 Die Grundformel Wir berechnen:

p_n = ¹₂

( (

x+1

)

ⁿ⁻

(

^x⁻¹

)

ⁿ

)

⁽²⁾

(2)

Hans Walser: Zahlenklassifizierung 2 / 4

Es ist für n = 1, ... , 16:

p₁=1 p₂ =2x p₃=3x²+1 p₄ =4x³+4x p₅ =5x⁴+10x²+1 p₆ =6x⁵+20x³+6x p₇ =7x⁶+35x⁴+21x²+1 p₈ =8x⁷+56x⁵+56x³+8x

p₉ =9x⁸+84x⁶+126x⁴+36x²+1 p₁₀=10x⁹+120x⁷+252x⁵+120x³+10x p₁₁=11x¹⁰+165x⁸+462x⁶+330x⁴+55x²+1 p₁₂=12x¹¹+220x⁹+792x⁷+792x⁵+220x³+12x

p₁₃=13x¹²+286x¹⁰+1287x⁸+1716x⁶+715x⁴+78x²+1 p₁₄ =14x¹³+364x¹¹+2002x⁹+3432x⁷+2002x⁵+364x³+14x

p₁₅=15x¹⁴+455x¹²+3003x¹⁰+6435x⁸+5005x⁶+1365x⁴+105x²+1 p₁₆=16x¹⁵+560x¹³+4368x¹¹+11440x⁹+11440x⁷+4368x⁵+560x³+16x

(3)

Hans Walser: Zahlenklassifizierung 3 / 4 pn ist ein Polynom vom Grad n – 1. Für gerades n ist pn ein ungerades Polynom und umgekehrt.

Die Abbildung 1 zeigt die zugehörigen Polynomgrafen für n = 1, ... , 8. Für gerades n blau, für ungerades n rot.

Abb. 1: Polynomgrafen

x y

1 1

(4)

Hans Walser: Zahlenklassifizierung 4 / 4 Aus (3) lesen wir ab:

• Genau wenn n eine Zweierpotenz ist, ist pn durch n ohne Rest teilbar.

• Genau wenn n eine Primzahl ist, haben wir bei Division von pn durch n den Rest 1.

Experimentell verifiziert für n = 1, ... , 4096. Beweis fehlt.

Um dies zu illustrieren, berechnen wir:

q_n = p_nmodn=

(

¹₂

( (

x+1

)

ⁿ⁻

(

^x⁻¹

)

ⁿ

) )

^modⁿ ⁽⁴⁾

Es ist für n = 1, ... , 32:

q₁=0 q₂ =0 q₃=1 q₄ =0 q₅ =1 q₆ =2x³ q₇ =1 q₈ =0 q₉ =3x⁶+1 q₁₀=2x⁵ q₁₁=1

q₁₂=4x⁹ +4x³ q₁₃=1

q₁₄ =2x⁷

q₁₅=5x¹²+3x¹⁰+10x⁶+1 q₁₆=0

q₁₇ =1

q₁₈ =6x¹⁵+2x⁹ +6x³ q₁₉ =1

q₂₀ =4x¹⁵+4x⁵

q₂₁=7x¹⁸+3x¹⁴+14x¹²+1 q₂₂ =2x¹¹

q₂₃=1

q₂₄ =8x²¹+8x¹⁵+8x⁹ +8x³ q₂₅ =5x²⁰+10x¹⁰+1

q₂₆ =2x¹³

q₂₇ =9x²⁴+3x¹⁸+18x¹²+9x⁶+1 q₂₈ =4x²¹+4x⁷

q₂₉ =1

q₃₀ =10x²⁷+6x²⁵+6x⁵+10x³ q₃₁=1

q₃₂ =0

(5)