Musterlösung Teil a)
PF:
3 0 3 β 0 6 3 1
2 4 x :
E
1 0 1 β 0 2 1 1
2 4 x :
E ;
2 1 2
1 0 1
0 2 1 n
PNF: 0
2 1 2 1 2 4 x :
E
, also: NF: 12
2 1 2 x :
E
und KF: E: 2x + y + 2z = 12
Die Spurpunkte lauten somit: Sx(6/0/0), Sy(0/12/0) und Sz(0/0/6).
Teil b)
2 1 2
6 6 6 x : g
Einsetzen von g in E liefert dann: 2(6 + 2) + 6 + + 2(6 + 2) = 12 9 = -18 also: = -2
somit gilt: F(2/4/2)
V = 27 VE (am besten über Formel) V =
5 4 2
3 0 3
0 6 3 6
1 =
5 4 2 18
9 18 6
1
Alternativweg über: hP = 6 LE und G = 13,5 FE Teil c)
E2: 2x + y + 2z = d; also d = 2 6 + 6 + 2 6 = 30 Teil d)
Skalarprodukt der beiden Normalenvektoren muss 0 sein, man wählt also zum Beispiel:
0 2 1 -
n2 d = 6
0 2 1 -
6 6 6
; somit etwa: E3: -x + 2y = 6
Es gibt natürlich unendlich viele Lösungen!
Die Skizze zeigt auch die Punkte A, B, C und F!
Teil e)
SABC(2/4/2) und s1:
2 1 2
6 6 6
x ; SBCS(
3 8/
3 16/
3
11) und s2:
4 5 2 -
1 2 4 x
s1 s2:
2 1 2
6 6 6
=
4 5 2 -
1 2 4
i) 2 + 2 = -2 + = -1 ii) - 5 = -4
iii) 2 - 4 = -5
i) – ii) 6 = 3 = 0,5 = -1,5
Probe in iii) führt zu einer wahren Aussage, also Schnitt von s1 und s2 in S(3/4,5/3).
Teil f)
Ein möglicher Richtungsvektor der Seitenkante AS lautet
5 4 2
u , der Normalenvektor
der Ebene ist bekannt. Es gilt also:
63,43
45 arcsin 6 3
45 arcsin 18
2 1 2
5 4 2
2 1 2
5 4 2
) sin(
Aufgabe Nr. 2
Ea: 2x + (a – 3) y + a z = 6 – 2a E1: 2x - 2y + z = 4
E2: 2x - y + 2z = 2
Teil a)
A(2/0/0), B(0/-2/0) und C(0/0/4)
PF:
4 0 2 β 0
2 -
2 0
0 2 x :
E
2 0 1 β 0 1 1 0
0 2 x :
E ;
1 2 -
2
2 0 1
0 1 1 n
PNF: 0
1 2 2 0
0 2
x
Teil b)
E1: 2x - 2y + z = 4 E2: 2x - y + 2z = 2
E2 - E1: y + z = -2 y = -2 – z
2x + 2 + z + 2z = 2 2x + 3z = 0 x = - z 2 3
L = { (- z 2
3 /-2-z/z) } g:
2 -
2 3 0
2 -
0 x : E
Schnittwinkel:
= arccos
:9
2 1 2
1 2 2
= arccos
9
8 27,27°
Teil c) P(4/-1/9)
d(P, E1) = 5 LE
1 2 2
9 1 2 3
1 1
2 2
0 0 2
9 1 4 3
1
Teil d)
N(0/0/0) 6 – 2a = 0 a = 3 Teil e)
Erläuterungen:
Der Normalenvektor der Ebenenschar wird notiert und dann auf Parallelität zum Rich- tungsvektor der x-Achse hin untersucht. Die erste Zeile des entstehenden Gleichungs- systems liefert r = 2, aufgrund der dritten Zeile folgte dann a = 0, dies führt schließlich in der zweiten Zeile zu der falschen Aussage -3 = 0 (Widerspruch).
Es gibt also keine Ebene der Ebenenschar, die parallel zur y-z-Ebene verläuft (diese hat nämlich den Richtungsvektor der x-Achse als Normalenvektor)!
Teil f)
6 a 5 9 6a a
5 , 6 3a a
13 6a 2a
3 a 2
1
0 1 0
a 3 a
2
0 1 0
a 3 a
2
2
1 2 2
2
Aufgabe Nr. 3 Teil a)
Man stellt eine Ebene E mit der Eigenschaft auf, dass deren Normalenvektor orthogonal zu beiden Richtungsvektoren der gegebenen Geraden g und h verläuft (Bild 1). Von einem Punkt P auf der Geraden g aus, fällt man das Lot in die Ebene E. Dafür stellt man mit Hilfe des Normalenvektors der Ebene eine entsprechende Gerade k auf. Der Schnitt- punkt S von k und E kann dann mühelos bestimmt werden (Bild 2). Der Abstand der Punkte P und S entspricht dann dem Abstand der beiden vorgegebenen windschiefen Geraden g und h (Bild 3).
Teil b)
10 z 3y x : E B.
z.
1 3 -
1 n 3 -
9 3 -
1 -
1 4
2 1 1
n1
Berechnung über die Abstandsformel Punkt-Ebene:
d(g, h) = d(P,E) = 44 LE
11 22 1
3 1
0 7 1 11 1 1
3 1
2 1 -
5
2 6 4 11
1
Berechnung explizit über den Lotfußpunkt S:
1 3 -
1
2 6 4 x :
g und E: x – 3y + z = 10
4 + - 3(6 - 3) + 2 + = 10 -12 + 11 = 10 11 = 22 = 2 also: S(6/0/4)
somit dann: 44
2 6 -
2
| PS
| h) d(g, 2
6 -
2
PS
