6.6 Lineare Approximation und Taylor-Entwicklung
Tangente
Kurve C : t 7→f(t)
f0(t0)6= 0 ber¨uhrende Gerade
g : f(t0) +f0(t0)(t−t0), t ∈R f0(t0) = 0 abrupte ¨Anderung der Tangentenrichtung m¨oglich Tangentialebene
implizit definierte Fl¨ache
S : f(x1, . . . , xn) =c gradf(p)6= 0 Tangentialebene
E : (gradf(p))t (x−p) = 0 Tangentialebene f¨ur den Graph einer Funktion x7→y=g(x1, . . . , xn−1)
E : y−g(q) = Xn−1
i=1
∂ig(q) (xi−qi)
Multivariate Taylor-Approximation
f(x) = X
|α|≤n
1
α!∂αf(a)(x−a)α+R, |x−a|< r , mit α! =α1!· · ·αm!
Restglied
R= X
|α|=n+1
1
α!∂αf(u)(x−a)α, u=a+θ(x−a), f¨ur ein θ ∈[0,1]
Hesse-Matrix
quadratische Taylor-Approximation einer skalaren Funktion f f(x1, . . . , xn) =f(a) + (gradf(a))t(x−a) + 1
2(x−a)tHf(a)(x−a) +· · · mit
Hf(a) =
∂1∂1f(a) · · · ∂1∂nf(a)
... ...
∂n∂1f(a) · · · ∂n∂nf(a)
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