Approximation durch eine lineare Funktion:

Kapitel 9

Taylorreihen

Näherung erster Ordnung

Wir wollen eine Funktion f durch möglichst einfache Funktionen approximieren.

Approximation durch eine lineare Funktion:

f ( _x ) = ^. _f ( _{x 0} ) + _f ⁰ ( _{x 0} ) ( _x − ^{x 0} )

= . bedeutet „in erster Näherung“.

Wenn wir die Näherung verwenden, rechnen wir mit der Tangente der

Funktion an der Stelle x ₀ anstatt mit f .

Polynome

Besser Approximationen erhalten wir durch Verwendung eines Polynoms P _n ( _x ) = _{a 0} + _{a 1 x} + _{a 2 x} ² + · · · + _{a n x} ⁿ .

Ansatz:

f ( _x ) = _{a 0} + _{a 1 x} + _{a 2 x} ² + · · · + _{a n x} ⁿ + _{R n} ( _x )

Dabei wird R _n ( _x ) als Restglied bezeichnet. Es gibt den Fehler an, den wir beim Ersetzen von f ( _x ) durch P _n ( _x ) machen.

Wählen dabei die Koeffizienten a _i so, dass die ersten n Ableitungen

von f und P _n an der Stelle x ₀ = 0 übereinstimmen.

Ableitungen

f ( _x ) = _{a 0} + _{a 1 x} + · · · + _{a n x} ⁿ = _{P n} ( _x )

⇒ ^f ( 0 ) = _{a 0}

f ⁰ ( _x ) = _{a 1} + 2 · ^{a 2 x} + · · · + _n · ^a n x ^{n − 1} = _{P n} ⁰ ( _x )

⇒ ^{f 0} ( 0 ) = _{a 1}

f ⁰⁰ ( _x ) = 2 · ^{a 2} + 3 · ² · ^{a 3 x} + · · · + _n · ( _n − ¹ ) · ^a n x ^{n − 2} = _{P n} ⁰⁰ ( _x )

⇒ ^{f 00} ( 0 ) = 2 a 2

f ⁰⁰⁰ ( _x ) = 3 · ² · ^{a 3} + · · · + _n · ( _n − ¹ ) · ( _n − ² ) · ^{a n x n − 3} = _{P n} ⁰⁰⁰ ( _x )

⇒ ^{f 000} ( 0 ) = 3! a ₃

...

f ^{( n )} ( _x ) = _n · ( _n − ¹ ) · ( _n − ² ) · ^{. . .} · ¹ · ^a n = _{P n} ^{( n )} ( _x )

MacLaurinpolynom

Die Koeffizienten des Polynoms lauten daher

a _k = ^f

( k ) ( 0 ) k!

f ^{( k )} ( _{x 0} ) bezeichnet dabei die k -te Ableitung von f an der Stelle x ₀ ^.

f ( _x ) =

∑ n k = 0

f ^{( k )} ( ₀ )

k! x ^k + _{R n} ( _x )

Das Polynom

f ( 0 ) + _f ⁰ ( 0 ) _x + ^{f 00} ( 0 )

2! x ² + · · · + ^f

( _n ) ( 0 ) n! x ⁿ

heißt das MacLaurinpolynom n -ter Ordnung von f .

Taylorpolynom

Wenn wir die Ableitungen an einer beliebigen Stelle x 0 betrachten erhalten wir das Taylorpolynom n -ter Ordnung von f ^{im Punkt} x ₀ ^:

f ( _x ) =

∑ n k = 0

f ^{( k )} ( _{x 0} )

k! ( _x − ^{x 0} ) ^k + _{R n} ( _x )

Die unendliche Reihe ( n → ^∞ ) heißt die Taylorreihe von f . Wenn lim

n →

R _n ( _x ) = 0 , dann konvergiert die Taylorreihe gegen f ( _x ) . Wir sprechen dann von der Taylorreihenentwicklung von f ^mit

x

Beispiel – Exponentialfunktion

Taylorreihenentwicklung von f ( _x ) = _e ^x an der Stelle x 0 = ₀ :

f ( _x ) = _f ( 0 ) + _f ⁰ ( 0 ) _x + ^f

_2! ^{( 0 )} _x ² + ^f

_3! ^{( 0 )} _x ³ + · · · + ^f

_n!

^{( 0 )} _x ⁿ + _{R n} ( _x )

f ( _x ) = _e ^x ⇒ ^f ( 0 ) = 1 f ⁰ ( _x ) = _e ^x ⇒ ^{f 0} ( 0 ) = 1 f ⁰⁰ ( _x ) = _e ^x ⇒ ^{f 00} ( 0 ) = 1 f ⁰⁰⁰ ( _x ) = _e ^x ⇒ ^{f 000} ( ₀ ) = ₁

...

f ^{( n )} ( _x ) = _e ^x ⇒ ^{f ( n )} ( 0 ) = 1 e ^x = ₁ + _x + ^x

2

2! + ^x

3

3! + · · · + ^x

n

n! + · · ·

Diese Taylorreihe konvergiert für alle x ^.

Beispiel – Exponentialfunktion

exp ( _x ) = 1 + _x + ^x

2

2! + ^x

3

3! + ^x

4

4! + ^x

5

5! + ^x

6

6! + · · ·

1

exp ( _x )

n = 1

n = 2

n = 3

n = 4

Beispiel – Logarithmus

Taylorreihenentwicklung von f ( _x ) = _ln ( ₁ + _x ) an der Stelle x 0 = ₀ :

f ( _x ) = _f ( ₀ ) + _f ⁰ ( ₀ ) _x + ^f

_2! ^{( 0 )} _x ² + ^f

_3! ^{( 0 )} _x ³ + · · · + ^f

_n!

^{( 0 )} _x ⁿ + _{R n} ( _x ) f ( _x ) = ln ( 1 + _x ) ⇒ ^f ( 0 ) = 0

f ⁰ ( _x ) = ( 1 + _x ) ^{− 1} ⇒ ^{f 0} ( 0 ) = 1 f ⁰⁰ ( _x ) = − ¹ · ( ₁ + _x ) ^{− 2} ⇒ ^{f 00} ( ₀ ) = − ¹ f ⁰⁰⁰ ( _x ) = 2 · ¹ · ( 1 + _x ) ^{− 3} ⇒ ^{f 000} ( 0 ) = 2!

...

f ^{( n )} ( _x ) = ( − ¹ ) ^{n − 1} ( _n − ¹ ) _! ( ₁ + _x ) ^{− n + 1} ⇒ ^{f ( n )} ( ₀ ) = ( − ¹ ) ^{n − 1} ( _n − ¹ ) _! ln ( 1 + _x ) = _x − ^x

2

2 + ^x

3

3 − ^x

4

4 + · · · + ( − ¹ ) ^{n − 1 x}

n

n + · · ·

Diese Taylorreihe konvergiert für alle x ∈ ( − ^1,1 ) .

Beispiel – Logarithmus

ln ( 1 + _x ) = _x − ^x

2

2 + ^x

3

3 − ^x

4

4 + ^x

5

5 − ^x

6

6 + · · ·

−¹ 1

1

ln ( 1 + _x )

n = 1

n = 2 n = 5

n = 6

Konvergenzradius

Es gibt Taylorreihen, die nicht für alle x ∈ ^R konvergieren.

z.B.: ln ( 1 + _x )

Es gilt jedoch:

Falls eine Taylorreihe für ein x ₁ ^mit | ^{x 1} − ^{x 0} | = ρ konvergiert, so konvergiert sie für alle x mit | ^x − ^{x 0} | < ρ .

Das größtmögliche derartige ρ heißt der Konvergenzradius der Taylorreihe.

ρ

x ₀ x ₁

Taylorreihe konvergiert

Beispiel – Logarithmus

ln ( 1 + _x ) = _x − ^x

2

2 + ^x

3

3 − ^x

4

4 + ^x

5

5 − ^x

6

6 + · · ·

Konvergenzradius ρ = ₁ .

Indiz:

ln ( 1 + x ) ist für x ≤ − ¹

nicht definiert.

−¹ 1

1

ρ ρ

ln ( 1 + _x )

n = 1

n = 5

n = 7

n = 11

n = 31

Approximationsfehler

Das Restglied gibt den Fehler bei der Approximation durch die Taylorreihe an.

Fehler = | ^{R n} ( _x ) | =

f ( _x ) −

∑ n k = 0

f ^{( k )} ( _{x 0} )

k ! ( _x − ^{x 0} ) ^k

Der Approximationsfehler | ^R n ( _x ) | ist umso kleiner

I je näher x am Entwicklungpunkt x 0 ist;

I je größer die Ordnung n ist.

Falls die Taylorreihe konvergiert, dann gilt

R _n ( _x ) = _O (( _x − ^{x 0} ) ^{n + 1} ) für x → ^{x 0}

Wir sagen: der Fehler geht mit groß O ^von x ^{n + 1 gegen 0.}

Landau-Symbol

Seien f ( _x ) und g ( _x ) zwei Funktionen.

f

(

)

(

)

(

)

−

(

)

Wir schreiben

f ( _x ) = _{O g} ( _x ) für x → ^{x 0}

falls eine Konstante C existiert, sodass

| ^f ( _x ) | < _C · | ^g ( _x ) |

für alle x mit | ^x − ^{x 0} | < ε .

O ( · ) heißt Landau-Symbol („groß O von . . . “).

Man schreibt daher auch

Einfluss der Ordnung der Potenzen

Je höher die Ordnung einer Potenz wird, desto kleiner wird ihr Beitrag in der Taylorreihenentwicklung in der Nähe des Entwicklungspunkt.

0.3

0.2

x

x

x

x

x

x

x

x

Wichtige Taylorreihen

f ( _x ) MacLaurinreihe ρ

exp ( _x ) = 1 + _x + ^x

2

2! + ^x

3

3! + ^x

4

4! + · · · ^∞ ln ( 1 + _x ) = _x − ^x

2

2 + ^x

3

3 − ^x

4

4 + · · · ¹

sin ( _x ) = _x − ^x

3

3! + ^x

5

5! − ^x

7

7! + · · · ^∞ cos ( _x ) = 1 − ^x

2

+ ^x

4

− ^x

6

+ · · · ^∞

Rechnen mit Taylorreihen

Wir können Taylorreihen bequem

I addieren (gliedweise)

I differenzieren (gliedweise)

I integrieren (gliedweise)

I multiplizieren

I dividieren

I substituieren

Man verwenden daher oft Taylorreihen zur Definition einer Funktion.

Etwa

exp ( _x ) : = 1 + _x + ^x

2

2! + ^x

3

3! + · · ·

Beispiel

Die erste Ableitung von exp ( _x ) erhalten wir durch Ableiten der Taylorreihe:

( exp ( _x )) ⁰ =

1 + _x + ^x

2

2! + ^x

3

3! + ^x

4

4! + · · · ₀

= 0 + 1 + ^{2 x}

2! + ^{3 x}

2

3! + ^{4 x}

3

4! + · · ·

= 1 + _x + ^x

2

2! + ^x

3

3! + · · ·

= _exp ( _x )

Beispiel

Wir erhalten die MacLaurinreihe von f ( _x ) = _x ² · ^{e x} durch Multiplizieren der MacLaurinreihe von x ² mir der MacLaurinreihe von exp ( _x ) :

x ² · ^{e x} = _x ² · ¹ + _x + ^x _2!

+ ^x _3!

+ ^x _4!

+ · · ·

= _x ² + _x ³ + ^x

4

2! + ^x

5

3! + ^x

6

4! + · · ·

Wir erhalten die MacLaurinreihe von f ( _x ) = exp ( − ^{x 2} ) durch

Substituieren (Einsetzen) von − ^{x 2} in die MacLaurinreihe von exp ( _x ) :

e ^u = 1 + _u + ^u _2!

+ ^u _3!

+ ^u _4!

+ · · · e ^{− x}

= 1 + ( − ^{x 2} ) + ^{( −} _2! ^x

⁾

+ ^{( −} _3! ^x

⁾

+ ^{( −} _4! ^x

⁾

+ · · ·

= 1 − ^{x 2} + ^x _2!

− ^x _3!

+ ^x _4!

− · · ·

Polynome

Die Idee der Taylorreihe kann auch für Funktionen in zwei oder mehreren Variablen verwirklicht werden.

Ein Polynom n -ten Grades in zwei Variablen hat die allgemeine Form

P _n ( _{x 1} , x ₂ ) = _{a 0}

+ _{a 10 x 1} + _{a 11 x 2}

+ _{a 20 x} ² ₁ + _{a 21 x 1 x 2} + _{a 22 x} ² ₂

+ _{a 30 x} ³ ₁ + _{a 31 x} ² _{1 x 2} + _{a 32 x 1 x 2} ² + _{a 33 x} ³ ₂

...

+ _{a n0 x 1} ⁿ + _{a n1 x 1} ^{n − 1} _{x 2} + _{a n2 x} ⁿ ₁ ^{− 2} _x ² ₂ + · · · + _{a nn x 2} ⁿ

Taylorpolynom 2. Ordnung

Wir erhalten dadurch die Koeffizienten

a _kj = ¹ k!

k j

∂ ^k f ( 0 )

( ∂ x ₁ ) ^{k − j} ( ∂ x 2 ) ^{j k} ∈ ^{N , j} = 0, · · · ^{, k}

Das Taylorpolynom zweiter Ordnung an der Stelle x ₀ = 0 lautet daher

f ( _x ) = _f ( 0 )

+ _{f x}

( ₀ ) _{x 1} + _{f x}

( ₀ ) _{x 2}

+ ¹ _{2 f x}

_x

( 0 ) _{x 1} ² + _{f x}

_x

( 0 ) _{x 1 x 2} + ¹ _{2 f x}

_x

( 0 ) _x ² ₂ + · · ·

Der lineare Term kann mittels Gradient dargestellt werden:

f _x

( 0 ) _{x 1} + _{f x}

( 0 ) _{x 2} = ∇ ^f ( 0 ) · ^x

Was ist mit dem quadratischen Term?

Hesse-Matrix

Wir fassen alle zweiten partiellen Ableitungen von f an der Stelle x ₀ zu einer 2 × ² -Matrix zusammen.

H _f ( _{x 0} ) = ^{f x}

^x

( _{x 0} ) _{f x}

_x

( _{x 0} ) f _x

_x

( x ₀ ) _{f x}

_x

( x ₀ )

!

Diese Matrix wird als Hesse-Matrix von f an der Stelle x ₀ bezeichnet.

Der quadratische Term kann mittels Hesse-Matrix dargestellt werden:

f _x

_x

( 0 ) _{x 1} ² + 2 f _x

_x

( 0 ) _{x 1 x 2} + _{f x}

_x

( 0 ) _{x 2} ² = _x ^t · ^H f ( 0 ) · ^x

Hesse-Matrix II

Allgemein fasst die Hesse-Matrix alle zweiten partiellen Ableitungen einer Funktion f ⁱⁿ n Variablen an der Stelle x ₀ zu einer n × ^{n -Matrix}

zusammen.

H _f ( x ₀ ) =



 

 



f _x

_x

( _{x 0} ) _{f x}

_x

( _{x 0} ) · · · ^f x

x

( _{x 0} ) f _x

_x

( x ₀ ) _{f x}

_x

( x ₀ ) · · · ^{f x}

x

( x ₀ )

... ... ... ...

f _x

_x

( _{x 0} ) _{f x}

_x

( _{x 0} ) · · · ^f x

x

( _{x 0} )



 

 



I Die Hesse-Matrix ist symmetrisch.

(Falls f zweimal stetig differenzierbar ist.)

I Die Hesse-Matrix “spielt“ die gleiche Rolle wie die zweite Ableitung bei Funktionen in einer Variablen.

I Andere Notation: f ⁰⁰ ( _x )

Taylorpolynom 2. Ordnung (II)

Taylorreihenentwicklung von f zweiter Ordnung an der Stelle x ₀ :

f ( _{x 0} + _h ) = _f ( _{x 0} ) + ∇ ^f ( _{x 0} ) · ^h + ¹ _{2 h} ^t · ^H f ( _{x 0} ) · ^h + _O ( k ^h k ³ )

In anderer Notation sieht das ganze analog zur Taylorreihe einer Funktion in einer Variable aus:

f ( _{x 0} + _h ) = _f ( _{x 0} ) + _f ⁰ ( _{x 0} ) · ^h + ¹ _{2 h} ^t · ^{f 00} ( _{x 0} ) · ^h + _O ( k ^h k ³ )

Beispiel

Wir suchen das Taylorpolynom 2. Ordnung an der Stelle x ₀ = ₀ von

f ( _{x, y} ) = _e ^x

^{− y}

+ _x

f ( _{x, y} ) = _e ^x

^{− y}

+ _x ⇒ ^f ( 0,0 ) = 1 f _x ( _{x, y} ) = _{2x e} ^x

^{− y}

+ 1 ⇒ ^f x ( 0,0 ) = 1 f _y ( _{x, y} ) = − ^{2y e x}

^{− y}

⇒ ^f y ( _0,0 ) = ₀ f _xx ( _{x, y} ) = 2 e ^x

^{− y}

+ _4x ² _e ^x

^{− y}

⇒ ^f xx ( 0,0 ) = 2 f _xy ( _x , y ) = − ^{4xy e x}

^{− y}

⇒ ^f xy ( 0,0 ) = 0 f _yy ( _{x, y} ) = − ^{2 e x}

^{− y}

+ _4y ² _e ^x

^{− y}

⇒ ^{f yy} ( 0,0 ) = − ²

Gradient: Hesse-Matrix:

∇ ^f ( ₀ ) = ( _1,0 ) _{H f} ( ₀ ) = ^{2 0} 0 − ²

!

Beispiel

Das Taylorpolynom lautet daher

f ( _{x, y} ) ≈ ^f ( 0 ) + ∇ ^f ( 0 ) · ^x + ¹ ₂ x ^t · ^H f ( 0 ) · ^x

= 1 + ( 1,0 ) · ^x y

!

+ ¹ ₂ ( _{x, y} ) · ^{2 0} 0 − ²

!

· ^x y

!

= 1 + _x + _x ² − ^{y 2}

Zusammenfassung

I MacLaurin- und Taylorpolynom

I Taylorreihenentwicklung

I Konvergenzradius

I Rechnen mit Taylorreihen

I Taylorreihen von Funktionen in mehreren Variablen

I Hesse-Matrix