Anhang 27: Lineare Funktion

Anhang 27: Lineare Funktion

Initialaufgabe:

Zeichne den Graph der linearen Funktion f: y = 2

3x+2.

Lösung(en):

Gerade durch (0;2) und (3;4) (oder durch zwei andere geeignete Punkte)

Mögliche Variationen durch

geringfügig ändern:

- 3

4 statt 2

3 (Gerade durch (0;2) und (4;5)) - −1 statt 2 (Gerade durch (0;−1) und (3;1)) ausweiten (parametrisieren):

- Wie sehen die Graphen aus zu der Funktionenschar fa: y = ax + 2 ? (Sie verlaufen durch (0;2) und haben die Steigung a.)

- Wie sehen die Graphen aus zur Funktionenschar fb: y = 2

3x + b ? (Sie verlaufen jeweils durch (0;b) und sind zueinander parallel.) umkehren:

- Bestimme die lineare Funktion mit dieser Geraden als Graph.

(f: y = −1,5⋅x + 2,5 , wobei 2,5 direkt ablesbar ist und −1,5 sich z.B. unter Zu- hilfenahme des Geradenpunktes (1;1) ergibt)

- Wie heißt die lineare Funktion, deren Graph durch (−1;5) und (2;−4) verläuft?

(Für die Parameter a,b in y = ax+b muß gelten 5 = −a + b ∧−4 = 2a + b). Hier- aus folgt a = −3 und b = 2.)

- Wie heißt die Funktion g, die jedem Funktionswert y bei der Funktion f: y = 2

3x + 2 den zugehörigen x-Wert zuordnet?

(x = (y − 2) ⋅ 3 2 = 3

2y − 3 bzw. in üblicher Schreibweise g: y = 3

2 x − 3 . (g heißt die Umkehrfunktion von f.)

naheliegende Anschlußfragen stellen:

(Sie schneiden einander in (6;6) und sind symmetrisch zur Winkelhalbierenden y = x .)

Hinweis: In Verallgemeinerung dieser Variante ergibt sich g: y = 1 ax b

− a als Umkehrfunktion von f: y = ax + b (falls a ≠ 0) und als gemeinsamer Punkt

b a

1− (falls a ≠ 1).

- Wie heißt die Funktion, deren Graph zu dem von f symmetrisch ist in bezug auf die

a) x-Achse b) y-Achse ?

(a) Graph muß wie derjenige von f durch (−3;0) verlaufen und statt durch (0;2)

durch (0;−2) verlaufen. Das tut der Graph von y = −2

3x + 2.

b) Graph muß durch (0;2) verlaufen und statt durch (−3;0) durch (3;0). Das tut der Graph von y = −2

3x + 2.)

Hinweis: Daß die beiden gesuchten Graphen parallel sind, liegt an den zuein- ander senkrechten Koordinatenachsen.

- Wie heißt die Funktion, deren Graph durch den Punkt (−1;3) verläuft und zum Graph von f

a) parallel b) senkrecht ist?

(a) y = 2

3x + b mit 3 = −2

3 + b, also y = 2

3x + 32 3 b) Die Senkrechte h zum

Graph von f schneidet die x-Achse in (x;0) mit x = 2² : 3 (Höhensatz).

Demnach hat h die Stei- gung −2/x = −3/2 und für die gesuchte Funktion gilt s: y = −3 +

2 5 x 2 .

anwenden bzw. mathematisieren:

- Wo kommt eine solche lineare Funktion um uns herum vor?

(überall dort, wo eine Leistung mit einer Grundgebühr und weiter nach dem Ausmaß der Leistung bezahlt werden muß, z.B. bei Wasser, Gas, Strom, Tele- fon)

Hinweis: Die Beantwortung dieser Frage kann einer längerfristigen Hausauf- gabe anvertraut werden. Dabei könnten sich Beispiele der folgenden Art her- ausschälen:

a) Wasser kostete 1998 in Saarbrücken 3,30 DM pro m³ zusammen mit einer Grundgebühr von 36,00 DM. Demnach hat man für x m³ den Preis 3,3⋅x + 36 DM zu bezahlen. Die Funktion y = 3,3⋅x + 36 hat allerdings einen einge- schränkten Definitionsbereich (keine negativen x).

b) Strom wurde 1998 in Saarbrücken im einfachen linearen Tarif folgenderma- ßen abgerechnet: Bis 6000 kWh/a (Kilowattstunden im Jahr) zu 0,245 DM/kWh, für jede weitere kWh/a zu 0,280/kWh. Hinzu kommt ein „Verrech- nungspreis“ von 40,00 DM/a. Welche Funktion steckt dahiner?

(Es sind sogar zwei lineare Funktionen, die zu einer stückweise linearen Funk- tion zusammengefügt werden.

Erste Funktion f1: y = 0,245⋅x + 40 Definitionsbereich: 0 ≤ x ≤ 6000 Zweite Funktion f₂: y = 0,28⋅(x − 6000) + 1510 Definitionsbereich: x ≥ 6000 Gemeinsamer Punkt der beiden Graphen: (6000;1510)

c) Neben dem einfachen linearen Tarif bieten die Saarbrücker Stadtwerke auch einen zeitvariablen linearen Tarif an (hier mit einem Verrechnungspreis von 88 DM/a):

Hochtarifzeit 0,370 DM/kWh Normaltarifzeit 0,280 DM/kWh Spartarifzeit 0,190 DM/kWh

Herr Bauer hat in seinem Einfamilienhaus letztes Jahr 7500 kWh Strom ver- braucht. Er schätzt, daß etwa 20% seines Verbrauchs in die Hochtarifzeit, 50%

in die Normaltarifzeit und 30% in die Spartarifzeit fallen. Welchen Tarif sollte er wählen?

(0,2 ⋅ 0,37 + 0,5⋅0,28 + 0.3⋅0.19 = 0,271 ist nach dem zweiten Tarif der durch- schnittliche Preis für 1 kWh. Zugehörige Funktion: y = 0,271x + 88. Hier gehört zu x = 7500 der Funktionswert y = 2120,5, beim anderen Tarif y = 1930. Herr Bauer sollte den ersten Tarif nehmen.)

Anhang 28: Quadratische Funktion

Startaufgabe:

Untersuche die Funktion f: y = x² − x − 3,75 .

Lösung:

1. Es handelt sich um eine quadratische Funktion. Ihr Graph ist eine verschobe- ne Normalparabel

2. Die Funktion f hat die Nullstellen 2,5 und –1.5; denn die quadratische Glei- chung x² − x − 3,75 = 0 hat die Lösungen 2,5 und −1,5.

3. Die Parabel hat den Scheitelpunkt S(0,5; −4); denn ½ (2,5 − 1,5) = 0,5 und f(0,5) = −4. Oder: f hat die Minimalstelle 0,5 und das Minimum −4.

4. Andere Darstellungen von f sind a) y = (x − 2,5)·(x + 1,5)

b) y = (x − 0,5)² − 4

Mögliche Variationen

:

a)

Für welche x ist f(x) < 0 (> 0) ?

Strategie: naheliegende Anschlußfragen stellen

(f(x) < 0 für alle x mit −1,5 < x < 2,5, f(x) > 0 für alle x < −1,5 oder x > 2,5)

b

) Untersuche die Funktionenschar α) f _q: y = x²− x + q

β) fp: y = x² + px − 3,75

Strategie: (Koeffizienten) parametrisieren

(α) Die einzelnen Parabeln dieser Schar sind gegeneinander verschoben.

Keine dieser Parabeln schneidet eine andere. Alle Scheitelpunkte sind Tiefpunkte.

Der jeweilige Scheitelpunkt ist S(0,5; q − 0,25).

β) Alle Parabeln dieser Schar verlaufen durch den Punkt (0; −3,75); d.h. daß jede solche Parabel jede andere in diesem Punkt schneidet. Alle Schei- telpunkte dieser Parabeln sind Tiefpunkte. Der jeweilige Scheitelpunkt ist S( p

2 3,75 p 4

− −; − 2) . Wegen x = −p

2 und y = −3 75, − p 4

2

gilt y =

−x² − 3,75; d.h. die Scheitelpunkte liegen auf der nach unten geöffneten

Parabel y = −x² − 3,75. In der nachfolgenden Zeichnung ist diese Parabel eingetragen.

c)

Gib alle quadratischen Funktionen an, welche dieselben Nullstellen haben wie f.

Strategie: umkehren (hier: von den Nullstellen zur Funktion)

(Nach dem Satz von Viëta müssen alle diese Funktionen von der Form y = k·(x−2,5)·(x+1,5) sein.)

d)

An welchen Stellen hat die Funktion f den Funktionswert 3 (a) ? Strategie: analogisieren bzw. verallgemeinern

(Zu lösen ist die quadratische Gleichung x² − x − 3,75 = 3 (a). Sie hat die beiden Lösungen x = 0,5 ± 7 (0,5 ± 4+a ).)

e)

Untersuche die Funktion f: y = x·(x − 2,5)·(x + 1,5).

Strategie: vergleichen (mit der Funktionenschar in e))

(Die Funktion hat eine dritte Nullstelle 0. Zwischen den Nullstellen −1,5 und 0 sind die Funktionswerte positiv mit einem Maximum etwa bei – 0.9, zwi- schen 0 und 2,5 negativ mit einem Minimum etwa bei 1,5. Für x → ∞ wer- den die Funktionswerte wie bei der Ausgangsfunktion beliebig groß, für x →

−∞ indessen beliebig groß.)

f)

Untersuche die beiden Funktionen

α) u: y = x² − −x 3 75, β) v: y = 1

x² − −x 3 75, . Strategie: verwandte Gebilde untersuchen

(α) Die Funktion ist zwischen –1,5 und 2,5 nicht definiert. Ihr Graph besteht demnach aus zwei Ästen (von denen unser Funktionenplotter leider nur einen zeigt).

β) Die Funktion besteht aus 3 Ästen, die durch die Pole –1,5 und 2,5 getrennt sind.

Anhang 29: Gleichungssystem

Initialaufgabe:

Löse das Gleichungssystem I: x + 3y = −4 II: 3x + 2y = 9 mit dem Additionsverfahren.

Lösung:

I/⋅(−3): −3x − 9y = 12 II: 3x + 2y = 9 

− 7y = 21 ⇒ y = −3 ⇒ x = 5

Mögliche Variationen:

a)

Löse das System mit einem anderen Verfahren.

Strategie: Verfahren wechseln

(Einsetzungsverfahren: 3 ⋅ (−4 − 3y) + 2y = 9 ⇒ y = −3 Gleichsetzungsverfahren: I: x = 3 − 2/3 ⋅y

II: x = −4 − 3y 

3 − 2/3 ⋅y = −4 − 3y ⇒ y = −3 ) graphisches Verfahren:

b)

Welches Verfahren ist hier am günstigsten?

Strategie: Verfahren vergleichen

(Additions- und Einsetzungsverfahren sind etwa gleich günstig und jeden- falls günstiger als Gleichsetzungsverfahren und schneller sowie genauer als das graphische Verfahren.)

c)

Versuche, durch möglichst wenig Änderungen der Koeffizienten ein System zu konstruieren, das

a) keine Lösung

b) unendlich viele Lösungen hat.

Strategie: Lösungstyp verändern

(z.B. a) x + 3y = −4 b) x + 3y = −4 3x + 9y = 9 3x + 9y = −12 )

d)

Versuche, fünf Paare ganzer Zahlen zu finden, welche die a) erste b) zweite

Gleichung lösen.

Strategie: umzentrieren

(z.B. a) (−1;−1), (2;−2), (5;−3) und allgemein mit (m;n) auch (m+3;n−1) b) (3;0), (1;3), (−1;6) und allgemein mit (m;n) auch (m−2;n+3)

e)

Löse I: x + 3y > −4 II: 3x + 2y < 9 Strategie: analogisieren

(alle Punkte in demjenigen der oben gezeichneten Winkelfelder, welches den Ursprung enthält (ohne Schenkel und Spitze))

f)

Löse I: x² + 3y² = −4 II: 3x² + 2y² = 9 Strategie: erweitern

(Es gibt keine Lösung, da schon die erste Gleichung unerfüllbar ist.)

g)

Löse I: x + 3y = −4 II: 3x ⋅ 2y = 9 . Strategie: analogisieren

(3⋅(−4 −3y) ⋅ 2y = 9 ⇔ 18y² + 24y + 9 = 0 ⇔ 18⋅(y + 2/3)² + 1 = 0 Diese Gleichung ist unerfüllbar.)

h)

Denke Dir eine Textaufgabe, die auf das vorgegebene Gleichungssystem führt.

Strategie: einschlägige Situation konstruieren

(z.B.: Gesucht sind zwei Zahlen mit folgender Eigenschaft: Addiert man

zum Dreifachen der einen Zahl die andere Zahl, so ergibt sich −4. Addiert man zum Dreifachen der anderen Zahl das Doppelte der ersten Zahl, so er- hält man 9.)

i)

Ersetze die erste Gleichung des Ausgangssystems durch eine andere derart, daß die Lösung unverändert bleibt.

Strategie: äquivalente Bedingungen finden

(z.B. 2x + 6y = −8 (2⋅I) oder 4x + 5y = 5 (I + II) oder 2x − y = 13 (II − I) )

j)

Konstruiere ein zweites, vom ersten wesentlich verschiedenes Gleichungssy- stem, welches dennoch dieselbe Lösung hat.

Strategie: umkehren

((5;−3) genügt sowohl der Gleichung 2x + 5y = −5 als auch der Gleichung

−x − 3y = 4. Eine zweite Lösung hat dieses System nicht.)

k)

Löse das System I: x + 3y = −4

II: 3x + 2z = 9 . Strategie: erweitern

(Es gibt unendlich viele Lösungstripel. Sie sind von der Art

x x x

;− + ; −

F H I

4

K

3

9 3

2 . Je für sich repräsentieren die beiden Gleichungen eine Ebene. Da sie nicht parallel sind, schneiden sie einander in einer Geraden.

Die Lösungstripel repräsentieren also eine Gerade.)

l)

Gib in

k)

eine dritte Gleichung hinzu, so daß das System genau eine Lösung hat.

Strategie: Variationen variieren

(z.B. x + z = 5 . Es folgt 3⋅(5−z) + 2z = 9, also z = 6 und weiter x = −1 so- wie y = −1.)

Anhang 30: Olympiade-Aufgabe

Initialaufgabe

(1.Stufe der 40. Mathematikolympiade 2000)

:

Man ermittle zu jeder reellen Zahl a alle diejenigen Paare reeller Zahlen (x;y), die Lösungen des folgenden Gleichungssystems (1),(2) sind:

(1) x² + y² = a (2) x + y = a

Lösung:

Wegen x² + y² ≥ 0 gibt es für a < 0 kein Lösungspaar, für a = 0 nur das Lösungs- paar (0;0). Nunmehr sei a > 0.

Aus (2) folgt x² + y² + 2xy = a² und mit (1) weiter 2xy = a² − a , also y = a (a 1)

2x

⋅ − . (2) führt dann zu x + a (a 1) 2x

⋅ − = a , d.h. zu x² − ax + a (a 1) 2

⋅ − = 0.

Diese quadratische Gleichung hat die beiden Lösungen x1,2 = a

2 ± 1 a−a²

2 2 .

Sie führen zu y_1,2 = a

2 1 a a²

2 2 − .

Somit existieren zwei Lösungspaare für a < 2 und eines, nämlich (1;1) für a = 2, sonst keines

Mögliche Variationen:

a)

Wie sieht die graphische Lösung aus?

Strategie: visualisieren

(Im Falle a > 0 ist x² + y² = a ein Kreis k um den Ursprung mit Radius r

= a , x+y = a eine Gerade g durch (a;0) mit Steigung −1.

g k d

A(a;0) B(0;a)

g meidet (berührt, schneidet) k genau dann, wenn d = 1

2 2a > = <( , ) a ist, wenn also a > (=,<) 2 ist. )

Hinweis: Entsprechende Visualisierungen sind auch bei allen Varianten möglich und empfehlenswert. In

k)

kommt man sonst kaum weiter.

b)

Statt (1) nun (1´): x² + y² = a² .

Strategie: Dimension (Grad) beachten

(Für a = 0 ergibt sich wiederum als einziges Lösungspaar (0;0).

Nun sei a ≠ 0 . Dann erhält man x² + (a − x)² = a² mit den Lösungen (a;0) und (0;a). )

c)

Statt (2) nun (2´): x − y = a Strategie: geringfügig ändern

(Kein Lösungspaar für a < 0 und einziges Lösungspaar (0;0) für a = 0. a > 0 führt wie oben zu x² − ax + a (a 1)

2

⋅ − = 0 und damit zu x1,2 = a

2 ± 1 a−a²

2 2 , dies nun aber zu y1,2 = −a −

2 1 a a²

2 2 .

Es ergeben sich zwei Lösungspaare für 0 < a < 2, eines für a = 2 (nämlich (1;−1)), und keines für a > 2.)

d)

Statt (1) nun (1´´): x² – y² = a

Strategie: symmetrisieren (von

c)

her gesehen) (Wegen x² − y² = (x+y) · (x−y) gilt a = a·(x−y) .

1. Möglichkeit: a = 0

Dann ist die Lösungsmenge L = {(x;y)y = −x} . 2. Möglichkeit: a ≠ 0

Dann gilt y = x − 1, also 2x − 1 = a, womit wir das Lösungspaar (a + 1 2

a 1

; 2− ) erhalten.

e)

Nun (1´´): x² – y² = a und (2´): x − y = a Strategie: kombinieren

(Jetzt ist a = a·(x+y) und wir erhalten L = {(x;y)y = x} für a = 0 , andern- falls das einzige Lösungspaar (a + 1

2

a + 1

;− 2 ) .

f)

(1´´´) x + y =a zusammen mit (2) Strategie: umkehren

(Wiederum existiert für a < 0 keine, für a = 0 nur die Lösung (0;0).

Im Falle a > 0 muß sein 0 ≤ x,y ≤ a bzw. a² . (1´´´) ⇒ x + y + 2 xy = a² und unter Beachtung von (2) y = a a 1)

4x

2⋅ −( 2

. Dies führt zu x² − ax +

a a 1)

4

2⋅ −( 2

= 0 mit den Lösungen x_1,2 = a 2

a

2 a a²

± 2 − (< a im Falle a <

2). Dazu gehören y1,2 = a 2

a

2 2a−a² . Damit haben wir 2 Lösungspaare für 0 < a < 2 und eines für a = 2, nämlich (1;1), sonst keines.)

g)

Statt (1) nun (1´´´´): x³ + y³ = a . Strategie: Grad erhöhen

(Im Sonderfall a = 0 haben wir L = {(x;y)y = −x}.

Aus (2) folgt (x + y)³ = a³ ⇔ 3xy(x+y) = a³ − a ⇔ y = y = a x

2 −1

3 . In (2) eingesetzt führt dies zu x² − ax + a² −1

3 = 0 mit x1,2 = a 2

a 12

± 4− 2

.

Demgemäß haben wir zwei Lösungspaare für a < 2 und ein Lösungspaar für a = 2, nämlich wieder (1;1), und kein Lösungspaar für a > 2.

h)

(1´´´´´): x + y² = a (2´´): x² + y = a

Strategie: Schwierigkeiten umverteilen

(Durch Gleichsetzen folgt y² − x² = y − x, also (y + x)·(y − x) = y − x.

1. Möglichkeit: y − x = 0, also y = x.

Dann ist x² + x = a und x1,2 = − ±1 + 2

1

4 a . (Beispiel: Für a = 0 erhält man (0;0) und (−1;−1). Hier muß a ≥ 3

4 sein.

2. Möglichkeit: y+x = 1, also y = −x + 1.

Hier ergibt sich x² − x + 1 − a = 0 mit x1,2 = 1 2

3

± a−4 . Dazu gehört y1,2 =

−1 − 2

3

a 4 . Hierbei muß a ≥ 3

4 sein. Beispiele: (1;0) und (0;1) für a = 1.

i)

(1´´´´) und (2´´´): x² + y² = a Strategie: kombinieren

(Für a < 0 gibt es wegen (2´´´) keine Lösung, für a = 0 nur das Lösungspaar (0;0). Für a > 0 versagen die üblichen algebraischen Methoden. Beim Vi- sualisieren ergibt sich für (1´´´´) ein Funktionsgraph entlang der zweiten Winkelhalbierende als doppelter Asymptote symmetrisch zur ersten Winkel-

halbierenden, die sie im Punkt ( a; ) 2

a 2

3 3 schneidet; für (2´´´) ein Ur- sprungskreis mit dem Radius a .

Für 2⋅³ a =

2 a (Ausbuchtung des Funktionsgraphs = Kreisradius), also für a = 2, berühren die beiden Kurven einander in (1;1). In diesem Falle exi- stieren insgesamt 3 Lösungspaare. Für a > 2 (s. Bild) entfällt der gemeinsa- me Punkt auf der ersten Winkelhalbierenden. Für a < 2 geht er in zwei Schnittpunkte über; wir haben dann insgesamt 4 Lösungspaare. Doch trifft dies nur für a > 1 zu; nur dann ist der x-Achsenschnittpunkt ( a ;0) des Kreises hinter dem entsprechenden Punkt ( a³ ;0) des Funktionsgraphs gele- gen (analoges gilt für die y-Achse), und nur dann verläuft dieser Graph überhaupt einmal innerhalb des Kreises. Im Falle a = 1 verbleiben zwei ge-

meinsame Punkte (Lösungspaare) (1;0) und (0;1). Für 0 < a < 1 schließlich haben die beiden Kurven keinen gemeinsamen Punkt: die Lösungsmenge ist leer. )

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