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lineare Approximation von Daten (t

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Academic year: 2021

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(1)

5.10 Ausgleichsprobleme

Ausgleichsgerade

lineare Approximation von Daten (t

k

, f

k

) durch Minimierung der Fehlerquadratsumme X

n

k=1

(f

k

− p(t

k

))

2

, p(t) = u + vt

eindeutig l¨osbar bei mindestens zwei verschiedenen Abszissen t

i

u = ( P t

2i

)( P

f

i

) − ( P t

i

)( P

t

i

f

i

) n( P

t

2i

) − ( P

t

i

)

2

, v = n( P

t

i

f

i

) − ( P t

i

)( P

f

i

) n( P

t

2i

) − ( P t

i

)

2

Normalengleichungen

| Ax − b | → min ⇔ A

t

Ax = A

t

b eindeutige L¨osung x, falls die Spalten von A linear unabh¨angig sind

Singul¨ arwert-Zerlegung

U

∗

AV = S =

 

s

1

0

s

2

0 . ..

 

 , s

1

≥ · · · ≥ s

k

> s

k+1

= · · · = 0

mit k = Rang A

singul¨are Werte s

j

: Wurzeln der Eigenwerte von A

∗

A

Spalten u

j

von U und v

j

von V : orthonormale Basen aus Eigenvektoren von AA

∗

bzw. A

∗

A

Av

j

= s

j

u

j

, Ax = X

k

i=1

s

i

(v

∗i

x)u

i

Pseudo-Inverse

A

+

= V S

+

U

∗

, S

+

= diag(1/s

1

, . . . , 1/s

k

, 0, . . . , 0) mit s

i

> 0 den Singul¨arwerten von A

x = A

+

b: Minimum-Norm-L¨osung des Ausgleichsproblems | Ax − b | → min

88

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