at Karlsruhe SS2003
Institut f
ur Theorie der Kondensierten Materie
Prof. Dr. Peter Wole, Dr. Jan Brinkmann 30.05.03
http://www.tkm.uni-karlsruhe.de/lehre janbritkm.uni-karlsruhe.de /Physikhohh.Zi.10.13
Ubungsblatt Nr. 5 zur Theorie B (Mehanik)
1 Der shiefe Wurf einer Kugel der Masse m im Shwerefeld der Erde soll durh Variation
aus dem Prinzip der kleinsten Wirkung berehnet werden. Die Kugel bewegt sih in der
x-z-Ebene, die Shwerkraft zeigt innegativez-Rihtung.
a) Berehnen Sie die Wirkung der Kugel, S[r℄= Z
T
0
dtL(r(t);r(t))_ .
FurdiezuvariierendeBahn r(t),dievonderKugelinderZeit 0tT durhlaufen
wird, soll dabei der Ansatz
x(t)=x
0 +v
x t+at
2
; z(t)=z
0 +v
z t+bt
2
eingesetzt werden. x
0
;z
0
;v
x
;v
z
;a;b sind Konstanten.
b) Bestimmen SiedieKonstanten desAnsatzesso,da S extremalisiertwird.Dabeisind
die Endpunkte der Bahn einzusetzen, x(0) =z(0)=0;x(T)=x
m
;z(T)=0.
Wie lautetalso die Bahn,die von der Kugel tatsahlih durhlaufen wird?
Hinweis: Mitden Endpunkten ist S[r℄=S(a;b) ) S
a
=0; S
b
=0.
) Bestimmen SiedieLagrangegleihungenund vergleihen SiederenspezielleLosungmit
dem Ergebnis aus b).
2 Ein Teilhen der Masse m rutsht im Shwerefeld der Erde
(neg. z-Rihtung) auf der klebrigen Innenahe eines Kegels
mit halbem
Onungswinkel . Die Reibung wird durh die
Rayleighshe Dissipationsfunktion F = 1
2 r_
2
beshrieben.
a) Bestimmen Sie die Lagrangefunktion und die (modi-
zierten)LagrangegleihungenfurdiegeneralisiertenKo-
ordinaten r und .
b) ImFallohne Reibung, =0,istmit der Winkelbewegung (t) eineErhaltungsgroe
L verbunden. Identizieren Sie L.
Es sei >0: Berehnen Sie L(t) mit L(0)=L
0 .
) Es sei eine sehr langsame Radialbewegung r(t) angenommen, d.h., r_ =0;r= 0 in
der Bewegungsgleihung fur r. Bestimmen und beshreiben Sie r(t) fur =0 und
>0.
