Numerische Integration Numerische Integration: - wird z. B. genutzt, falls keine der analytischen Methoden erfolgreich anwendbar ist, - näherungsweise Berechnung des bestimmten Integrals

(1)

Numerische Integration

Numerische Integration:

- wird z. B. genutzt, falls keine der analytischen Methoden erfolgreich anwendbar ist, - näherungsweise Berechnung des bestimmten Integrals

I= Zb

a

f(x)dx,

- nutze bestimmte Funktionswerte,

- Schrittweiteh= (b−a)/n, (n+1Stützstellen), - Stützstellenxi=a+i·h, füri=0,1,2, . . .n, - Funktionswerteyi=f(xi), füri=0,1,2, . . .n.

(2)

Numerische Integration

I= Zb

a

f(x)dx,

2 4 6 8

I=5.2083

2 4 6 8

I≈2.8935

2 4 6 8

I≈4.3724

(3)

Numerische Integration

I= Zb

a

f(x)dx,

2 4 6 8

I=5.2083

2 4 6 8

I≈5.4977

2 4 6 8

I≈5.2405

(4)

Numerische Integration

Einfache Methoden:

- Trapezregel

Tn=T(f,a,b,n) =hy0

2 +y1+· · ·+y_n−1+yn

2 , - Simpsonregel (ngerade wählen)

Sn=S(f,a,b,n) =h

3(y0+4y1+2y2+4y3+· · ·+4yn−1+yn).

Restglied (Fehlerwerte):

- Trapezregel (f zweimal stetig differenzierbar)

I=Tn+R^(T)_n mit R^(T)_n =−(b−a)h²

12 f^′′(ξ) für einξ∈(a,b), - Simpsonregel (fviermal stetig differenzierbar)

I=Sn+R^(S)n mit R^(S)n =−(b−a)h⁴

180 f⁽⁴⁾(ξ) für einξ∈(a,b).

(5)

Numerische Integration

Beispiel:

- Bestimmung von

I= Z 6

−4

exp

−x² 2

≈2.506548883, - Stammfunktion nicht zugänglich,

(6)

Numerische Integration

Beispiel:

- Bestimmung von

I= Z 6

−4

exp

−x² 2

- Trapezregel mitn=6bzw.n=30

−40 −2 0 2 4 6

0.2 0.4 0.6 0.8 1

x f(x),n=6Trapeze

−40 −2 0 2 4 6

0.2 0.4 0.6 0.8 1

x f(x),n=30Trapeze

(7)

Numerische Integration

Beispiel:

- Bestimmung von

I= Z 6

−4

exp

−x² 2

- Fehlerwerte für Trapez- und Simpsonregel (mitÎ=2.506548883) n |Tn−Î| |Sn−Î|

6 3.52·10⁻³ 9.08·10⁻² 10 9.21·10⁻⁵ 1.21·10⁻² 20 2.65·10⁻⁵ 4.66·10⁻⁶ 30 1.21·10⁻⁵ 1.07·10⁻⁶ 100 1.12·10⁻⁶ 9.59·10⁻⁹ 200 2.79·10⁻⁷ 6.04·10⁻¹⁰

(8)

Numerische Integration

Trick:

- bei mehrfacher Auswertung vonTnmit Verdopplung der Streifenzahlen gilt

T2n=1 2Tn+h

2 Xn

i=1

f(a+2i−1 2 h), - Näherungswerte (mStützstellen für erste Näherung, z.B.m=1,

Basisschrittweite¯h= (b−a)/m)

Ii,0=T₂im (sum. Trapezregel zuh= ¯h/2ⁱ), - Romberg-Regel zur Verbesserung der Approximation

Ii,j=4^jI_i,j−1−I_i−1,j−1

4^j−1 , j=1, . . . ,i.

(9)

Übersicht

1. Grundlagen 2. Analysis

2.1 Folgen, Reihen, Zinsen 2.2 Funktionen

2.3 Differentialrechnung 2.4 Extremwertbestimmung 2.5 Nichtlineare Gleichungen 2.6 Funktionen mehrerer Variabler 2.7 Integralrechnung

2.8 Differentialgleichungen

3. Lineare Algebra 4. Literatur

(10)

Differentialgleichungen

Definition 2.34

Eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung hat die Form y^′(x) =f(x,y)

mit einer Funktionf :R×Rⁿ→Rⁿ. (Engl. ordinary differential equation (ode).)

Problemstellung / Bemerkungen:

- gegeben ist die Differentialgleichung, gesucht ist die Funktiony(x), - oft istxdie Zeit und es gilty˙=f(y,t),

- ein Spezialfall isty˙=f(y)(autonom),

- anderer Spezialfall isty˙=f(t), dann lösen alle Stammfunktionen vonfdie DGL.

(11)

Anfangswertprobleme

Definition 2.35

Ein Anfangswertproblem besteht aus einer Differentialgleichung y^′=f(y(x),x)

und einem Anfangswert

y(x0) =y0.

Problemstellung:

- gesucht ist eine spezielle Lösungyder DGL, welche den Anfangsbedingungen genügt,

- für die Lösung gilt

y(x) =y0+ Z x

x₀

f(y(τ), τ)dτ.

(12)

Systeme

Räuber-Beute-Modelle:

- zwei Größen,x(t)(Beutetiere/Hasen) undy(t)(Räuber/Füchse)

→Zustand(x,y)hängt von der Zeittab, - je eine Wachstumsgeschwindigkeit gegeben, - ohne Räuber wachsen die Beutetiere ungehemmt, - ohne Beute verkümmert die Räuberpopulation,

- beide Populationen vorhanden → Zuwachs bei Räubern, Abgänge bei Beute, - Differentialgleichung

˙

x(t) =ax(t)−bx(t)y(t),

˙

y(t) =cx(t)y(t)−dy(t) mit festen Systemparameterna,b,c,d>0.

(13)

Beispiel:

- Parameter:a=1.5,b=0.6,c=0.8,d=3.0,

˙

x(t) =ax(t)−bx(t)y(t),

˙

y(t) =cx(t)y(t)−dy(t)

0 2 4 6 8 10

0 1 2 3 4 5 6 7

t

x(t),y(t)

Populationsentwicklung

1 2 3 4 5 6 7

0 1 2 3 4 5 6

x(t)

y(t)

Phasenplot

(14)

Anfangswertprobleme

Beispiel eines SEIR-Modells:

- vereinfachte Modellierung der Ausbreitung einer Pandemie, - 4 Klassen

S: Suspectibles, Individuen, die sich mit der Krankheit anstecken können, E: Exposed, Infizierte, die noch nicht infektiös sind,

I: Infectious, Individuen, die infiziert sind und die Krankheit übertragen können, R: Removed, Zahl geheilter oder verstorbener Patienten,

- Individuen durchlaufen

S→E→I→R, - Übergänge zwischen den Stufen modellieren.

(15)

Anfangswertprobleme

Modellierung des DurchlaufsS→E→I→R:

- Übergänge

S^′(t) =−βS(t)I(t) proportional Begegnungen vonS(t)undI(t) E^′(t) =+βS(t)I(t)−αE(t) Durchlaufen der Stufen

I^′(t) = +αE(t)−γI(t) Durchlaufen der Stufen R^′(t) = +γI(t)

- Parameterα, β, γ >0

β: Kehrwert mittlerer Zeit zwischen Kontakten, α: Kehrwert mittlerer Latenzzeit,

γ: Kehrwert mittlerer infektiöser Zeit.

- βsteuerbar, α, γbiologisch fest (mglw. durch Arznei leicht reduzierbar).

(16)

Anfangswertprobleme

Modellierung:

- Anzahlen normiert Menge mit 4 Mio. Individuen, anfangs nur ein(!) Infizierter

S(0) =1, E(0) = 1

4 000 000, I(0) =R(0) =0.

(17)

Anfangswertprobleme

Modellierung:

S(0) =1, E(0) = 1

4 000 000, I(0) =R(0) =0.

Frei laufen lassen:

β=6, α=1

5, γ=1 7

1 2 3 4

IndividueninMio.

(18)

Anfangswertprobleme

Modellierung:

S(0) =1, E(0) = 1

4 000 000, I(0) =R(0) =0.

Etwas Abstand halten:

β=1.33, α= 1

5, γ= 1 7

1 2 3 4

IndividueninMio.

(19)

Anfangswertprobleme

Modellierung:

S(0) =1, E(0) = 1

4 000 000, I(0) =R(0) =0.

Abstand halten + Schutzmaßnahmen:

β= 1

4, α= 1

5, γ=1 7

1 2 3 4

IndividueninMio.

(20)

Anfangswertprobleme

Modellierung:

- Anzahlen normiert Menge mit 4 Mio. Individuen, anfangs nur ein(!) Infizierter S(0) =1, E(0) = 1

4 000 000, I(0) =R(0) =0.

Hier zu beachten:

- vereinfachende Modellierung,

- keine adaptive Steuerung (Drosten, Wieler, Vorsicht) durch angepasste Werte.

Anpassung/Steuerung in der realen Welt durch:

- Erfahrungen, - Vorsicht, - Quarantäne etc.

(21)

Übersicht

1. Grundlagen 2. Analysis 3. Lineare Algebra

4. Literatur

(22)

Übersicht

1. Grundlagen 2. Analysis 3. Lineare Algebra

3.1 Vektoren und Matrizen 3.2 Lineare Gleichungssysteme 3.3 Lineare Unabhängigkeit 3.4 Lineare Abbildungen

3.5 Über- und unterbestimmte Systeme 3.6 Optimierung

4. Literatur

(23)

Vektoren

Einfachstes Beispiel eines Vektors:

- n-Tupel reeller Zahlen,

- Zeilenvektor x= (x1,x2, . . . ,xn) mit xi∈R, - Spaltenvektor

y=



 y1

... ym



, - Beispiele

w= (35,2,17), z=



 9 11 18



.

(24)

Vektoren

Transponieren eines Vektors:

- macht aus einem Zeilenvektor eine Spaltenvektor und umgekehrt

(35,2,17)^T=



 35

2 17



,



 9 11 18





T

= (9,11,18).

(25)

Vektoren

Visualisierung in der Ebene:

- Zwei- und dreidimensionale Vektoren werden häufig als Pfeile visualisiert, - Einige Vektoren:

-2 -1 0 1 2 3

-1 0 1 2 3 4 5

x1

x2

0 1

1 0.5

0.5 0.5

1

0 0

x1

x2

x3

(26)

Vektoren

Rechenregeln für Vektoren:

- Addition von Vektoren gleichen Formats

(x1,x2, . . . ,xn)^T+ (y1,y2, . . . ,yn)^T= (x1+y1,x2+y2, . . . ,xn+yn)^T, - Subtraktion von Vektoren gleichen Formats

(x1, . . . ,xn)−(y1, . . . ,yn) = (x1−y1, . . . ,xn−yn),

- Multiplikation mit Skalaren (d. h. Zahlen)

α(x1, . . . ,xn) = (αx1, . . . , αxn), - Vektoren unterschiedlichen Formats lassen sich nicht Addieren.

(27)

Vektoren

Addition und Subtraktion von Vektoren - graphisch:

u v

v+u

v−u

(28)

Lineare Räume

Definition 3.1

Vektoren sind Elemente eines Vektorraums.

Ein VektorraumVist eine nichtleere Menge mit zwei Operationen (i) x,y∈V ⇒ ∃x+y∈V Addition

(ii) α∈K,x∈V ⇒ ∃αx∈V Multiplikation mit Skalar

(29)

Lineare Räume

Definition 3.1

Anmerkungen:

- Vektoren aus verschiedenen Vektorräumen lassen sich im allgemeinen nicht sinnvoll addieren,

- x+yist nicht ausfürbar, wenn die Formate nicht zu einander passen, - Vektorräume werden auch lineare Räume genannt,

- Standardfall istK=R, eventuellK=Q,K=C.

(30)

Lineare Räume

Definition 3.1

Beispiel 1: IstV=Rⁿein VR?

- ja, denn

(i) α(x1, . . . ,xn)^T= (αx1, . . . , αxn)^T ∈Rⁿ,

(ii) (x1, . . . ,xn)^T+ (y1, . . . ,yn)^T) = (x1+y1, . . . ,xn+yn)^T ∈Rⁿ.

(31)

Lineare Räume

Definition 3.1

Beispiel 2: IstV=Rⁿ₊ein VR?

- nein, denn z.B. fürn=2:

1 1

+ 1

2

= 2

3

∈R²₊, 1

1

| {z }

∈V

− 1

2

| {z }

∈V

= 0

−1

| {z }

∈/V

,

also ist die Linearität gebrochen.

(32)

Lineare Räume

Definition 3.1

Beispiel 3: Menge aller Polynome bis zum Gradp

- SeiVdie Menge aller Polynome vom Grad kleiner oder gleichp, also z.B. fürp=4sind

x²∈V, x⁴+3x³+2x²−4x−1∈V, sin(x)∈/V,

- Vist ein VR, denn

(i) f,gPolynome vom Grad ≤p ⇒ f+gPolyn. vom Grad ≤p (ii) f Polynom vom Grad ≤p ⇒ αfPolynom vom grad ≤p.

(33)

Lineare Räume

Definition 3.1

Beispiel 4: IstV={x∈R³ : x3=0}ein VR?

- V={x∈R³: x3=0}ist VR, denn

(i)



 x1

x2

0





| {z }

∈V

+



 y1

y2

0





| {z }

∈V

=



 x1+y1

x2+y2

0





| {z }

∈V

, (ii) α



 x1

x2

0



=



 αx1

αx2

0



∈V,

(34)

Lineare Räume

Definition 3.1

Beispiel 5: IstV={x∈R³ : x3=1}ein VR?

nein, denn

(i)



 x1

x2

1





| {z }

∈V

+



 y1

y2

1





| {z }

∈V

=



 x1+y1

x2+y2

2





| {z }

∈/V

,

(35)

Längenmessung in der Ebene

Ebener Vektor von PunktPnach PunktQ:

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

P

Q

PQ

(36)

Vektornormen

Idee der Normen:

- Vektoren eine Maßzahlen zuordnen,

- für die Maßzahlen gelten bestimmte Rechenregeln, - verschiedene Normen ergeben verschiedene Maßzahlen.

Definition 3.2

SeiVein Vektorraum über dem KörperK(oft istK=R). Eine Vektornorm ist eine Abbildungk · k:V→Kund definiert die Länge eines Vektors sowie Abstände inV. Sie besitzt die Eigenschaften

kxk ≥0 und kxk=0⇔ x= (0, . . . ,0)^T (Definitheit),

kλxk=|λ|kxk ∀λ∈K (Linearität),

kx+yk ≤ kxk+kyk ∀x,y∈V (Dreiecksungleichung).

(37)

Vektornormen

Definition 3.3

Fürp∈N,p≥1ist diel^p-Norm

kxk^p = ^p vu ut

Xn i=1

|xi|^p.

Oft genutzte Standardnorm:

- Euklidische Norm (l²-Norm) inRⁿ

kxk= vu ut

Xn i=1

x²_i, - euklidische Länge der Vektoren.

(38)

Vektornormen

Beispiele fürp-Normen:

- Betragssummennorm (l¹-Norm)

kxk¹=|x1|+· · ·+|xn|, - Euklidische Norm (l²-Norm)

kxk²= q

x²₁+x²₂+. . .+x²n, - Maximumnorm (l^∞-Norm)

kxk∞= max

i=1...n|xi|, - zux= (1,−2,3,−4)∈R⁴sind

kxk² =p

1²+ (−2)²+3²+ (−4)²=√

30≈5.48, kxk¹ =1+2+3+4=10,

kxk∞=4.

(39)

Vektornormen

Metrik:

- Abstandsmessung zwischen zwei Punkten d(x,y) =kx−yk,

- Beispiel fürV=R²

x= 1

5

, y=

−3 2

Abstand zwischenxundyist

d(x,y) =p

(1−(−3)²+ (5−2)²=√ 25=5.

(40)

Produkte

Definition 3.4

Das Euklidische Skalarprodukt (inneres Produkt) von Vektorenx,y∈Rⁿist

(x,y) =hx,yi= Xn

i=1

xiyi.

Weiter heißen zwei Vektorenx,yorthogonal, wenn(x,y) =0gilt.

Beispiel:

1 2

· −1

3

=1·(−1) +2·3=−1+6=5

Bemerkungen:

- die Euklidische Norm lässt sich definieren alskxk²=p (x,x), - es gibt noch Vektorprodukt und Spatprodukt – lassen wir aus.

(41)

Matrizen

Definition 3.5

Einem×n-Matrix hat die Form

A=





a11 . . . a1n

... ... am1 . . . amn



∈R^m^×ⁿ.

Die einzelnen Einträge aij (i-te Zeile,j-te Spalte) werden Elemente genannt.

Beispiel für Matrizen:

A=





0 1

−1 −1

1 5



∈R#Zeilen×#Spalten=R^3×2.

(42)

Matrizen

Weiteres Beispiel für Matrizen:

B=

14 π 2e

√3 −5 0

∈R^2×3.

Komponentenweise Definition:

C∈R^3×2, c11=0, c32=5, c12=c22=1, c21=c31=−1

⇒C=





0 1

−1 1

−1 5



