Numerische Methoden der Elektrotechnik

(1)

4 ^ei

* kann Spuren von Katzen enthalten nicht für Humorallergiker geeignet alle Angaben ohne Gewehr ^*

Numerische Metho- den der Elektrotech- nik

1. Grundlagen

1.1. Numerik

f(x) =y ⇒ f(˜˜x) = ˜y

liefert eine zahlenmäßige Lösung eines Problems mit einem Algorithmus fMathematisches Problem fÑumerischer Algorithmus xexakte Problemdaten ˜xgerundete Problemdaten yexaktes Ergebnis y˜gerundetes Ergebnis

1.2. Fehlertypen

Datenfehler:Eingabedaten aus ungenauer Messung

Verfahrensfehler:Diskretisierung von Gleichungen, Endliche Iteration Rundungsfehler:(Zwischen-)Ergebnisse nur mit Maschinengenauigkeit

1.3. Numerische Qualit¨ atsmerkmale

Konsistenz:Wie gut l¨ost das Verfahren tats¨ach. das Problemf˜(x)→y?

ResiduumR < C·h^p Schrittweiteh, Konsistenzordn.p Kondition:Wie stark schwankt das Problem bei Störungf(˜x)→y? Stabilität:Wie stark schwankt das Verfahren bei Störungf(˜˜x)→f˜(x) Konvergenz:Algorithmus stabil und konsistent:f(˜˜x)→f(x)→˜ y

1.4. Spektralradius

Spektralradiusρ(A

e

)einer MatrixA e

:Betragsm¨aßig gr¨oßter Eigenwert.

Konvergenzbeweis aller Verfahren: Gershgorinkreise um die Null mitr≤1 ρ(A

e ) = max

i |λ_i|

1.5. Diagonaldominanz

Diagonalelemente sind gr¨oßer als die restlichen Elemente der selben Zeile:

A e

= (a_ij) diagonaldominant

strikt diagonaldominant⇔ |a_ii|≥

>

Pn j=1,j̸=i

a_ij ∀i

1.6. Definitheit

A e

positiv definit positiv semidefinit⇔λ_i>

≥0∀i bzw. ⃗x^TA e

⃗ x>

≥0∀⃗x̸= 0

1.7. Kondition

Ein Maß wie stark sich Eingabefehler auf die Ausgabe auswirken.

κ_abs(x) = f^′(x)

κ_rel(x) =

f′(x) f(x) x

= f′(x)

·|x|

|f(x)|

Fallsκ_rel≪100: gute Konditionierung

Verkettungh=g(f(x)) κ^h_abs(x) =κ^g_abs(f(x))κ^f_abs(x) f¨ur⃗y=A

e

⃗

x ⇒ cond(A

e ) =

A

e

−1 ·

A

e cond(A

e

)→ ∞schlecht,cond(A e

)→1gut

1.8. Fehler

Absolut:

f(x)˜ −f(x)

Relativ:

f(x)−f(x)˜

∥f(x)∥

1.9. Residuum

⃗r=⃗b−A e

⃗ x

bezeichnet die Abweichung vom gewünschten Ergebnis, wenn Näherungslösungen eingesetzt werden.⃗rklein⇒rel. Fehler≪1.

1.10. Parametrisierung einer Geraden

g(x) =ax+b y₁=g(x₁) a= ^y_x¹^−y² 1−x2 y2=g(x2) b=^x¹_x^y²^−x²^y¹

1−x2

1.11. Schnittpunkt zweier Geraden

a₁₁x₁+a₁₂x₂=b₁ x₁=_a^a²²^b¹^−a¹²^b² 11a22−a12a21 a₂₁x₁+a₂₂x₂=b₂ x₂=_a^−a²¹^b^{1 +}^a¹¹^b² 11a22−a12a21

1.12. Matrizen

A e

∈K^m×n (A

e +B

e )^⊤=A

e

⊤+B e

⊤ (A

e

·B e

)^⊤=B e

⊤·A e

⊤ (A

e

⊤)⁻¹= (A e

−1)^⊤ (A

e

·B e

)⁻¹=B e

−1A e

−1 1.12.1. Dimensionen

Bildraum Nullraum

BildA e

= A

e

⃗ x

⃗x∈Kⁿ kerA e

=

⃗x∈Kⁿ A

e

⃗ x=⃗0 rangA

e

= dim(BildA e

) defA

e

= dim(kerA e ) rangA

e

=rist Anzahl. lin. unab. Spaltenvektoren.

A e

erzeugtK⇔r=n A e

ist Basis vonK⇔r=n=m dimK=n= rangA

e

+ dim kerA e

rangA e

= rangA e

⊤ 1.12.2. Quadratische MatrizenA∈K^n×n

regul¨ar/invertierbar/nicht-singul¨ar⇔det(A e

)̸= 0⇔rangA e

=n singul¨ar/nicht-invertierbar⇔det(A

e

) = 0⇔rangA e

̸=n orthogonal⇔A

e

⊤=A e

−1⇒det(A e

) =±1 symmetrisch:A

e

=A e

⊤ schiefsymmetrisch:A

e

=−A e

⊤ hermitsch:A

e

=A e

⊤ unit¨ar:A

e

−1=A e

⊤ 1.12.3. Determinante vonA

e

∈K^n×n:det(A e

) =|A e

| det

"

A e

0 C e

e D f

#

= det

"

A e

B 0 e e

D f

#

= det(A e

) det(D f ) det(A

e ) = det(A

e

T) det(A

e

−1) = det(A e

)⁻¹ det(A

e B

e ) = det(A

e ) det(B

e ) = det(B

e ) det(A

e ) = det(B

e A

e ) HatA

e

2 linear abh¨ang. Zeilen/Spalten⇒ |A e

|= 0 Entwicklung. n.jter Zeile:|A

e

|= n P i=1

(−1)^i+j·a_ij· |A e

ij| 1.12.4. Eigenwerteλund Eigenvektorenv

A e

⃗

v=λ⃗v detA e

=Qλ_i SpA e

=Pa_ii=Pλ_i Eigenwerte:det(A

e

−λ1 e

) = 0Eigenvektoren:ker(A e

−λ_i1 e

) =⃗v_i EW von Dreieck/Diagonal Matrizen sind die Elem. der Hauptdiagonale.

1.12.5. Spezialfall2×2MatrixA det(A

e

) =ad−bc Sp(A

e ) =a+d

"

a b c d

#−1

=_det¹_A e

"

d −b

−c a

#

λ_1/2=^Sp^A 2e±

s_spA 2e

₂

−detA e 1.12.6. Spezielle Matrizen

DiagonalmatrixD f

:detD f

=Q d_i D

f

−1= diag (d₁, . . . , d_n)⁻¹= diag

d⁻¹₁ , . . . , d⁻¹_n

1.13. Norm

|| · ||

Definition: Zahl, die die

”Gr¨oße“ eines ObjektsXbeschreibt.

Jede Norm muss folgende 3 Axiome erf¨ullen::

1. Definitheit:∥X ∥ ≥0mit∥X ∥= 0⇔ X= 0

2. absolute Homogenit¨at:∥α· X ∥=|α| · ∥X ∥ (αist skalar) 3. Dreiecksungleichung:∥X+Y∥ ≤ ∥X ∥+∥Y∥

1.13.1. Vektornormen: (⃗x∈Kⁿ,P

voni= 0bisn) Summen ∥⃗x∥₁=P

|x_i| Euklidische ∥⃗x∥₂=pP

|x_i|² Maximum∥⃗x∥_∞= max|x_i| Alg. p-Norm∥⃗x∥_p= (P

|x_i|^p)¹^/p

1.13.2. Matrixnormen (A e

∈K^m×n, i∈[0, m], j∈[0, n]) F¨ur Matrixnormen gilt zu den 3 Standard Axiomen zus¨atzlich:

4. Submultiplikativit¨at:

A

e +B

e ≤

A

e ·

B

e

Gesamtnorm

∥A e

∥_M=∥A e

∥_G

√mn

∥A e

∥_G= √ mn·max

i,j a_ij

Zeilennorm (max Zeilensumme) ∥A

e

∥_∞= max i

Pn j=1

a_ij

Spaltennorm (max Spaltensumme) ∥A e

∥₁= max j

n P i=1

aij Frobeniusnorm

euklidische Norm (||I

e

||_E=√

n) ∥A

e

∥_E= r P i=1

P j=1

a_ij ² Spektralnorm, Hilbertnorm ∥A

e

∥_λ= q

λ_max(A e

⊤·A e )

1.14. Jacobi-Matrix

f⃗:Rⁿ→R^m

∂

∂⃗x f⃗(⃗x) =J

e f(x) =







∂f1

∂x1 . . . ^∂f¹

∂xn ..

.

.. .

∂fm

∂x1 . . . ^∂fm

∂xn







=





 (∇f₁)^T

.. . (∇f_m)^T







1.15. Wichtige Formeln

Dreiecksungleichung:

|x| − |y|

≤ |x±y| ≤ |x|+|y|

Cauchy-Schwarz-Ungleichung:

⃗x^⊤·⃗y

≤ ∥⃗x∥ · ∥⃗y∥

Bernoulli-Ungleichung: (1 +x)ⁿ≥1 +nx Arithmetische Summenformel Pⁿ

k=1

k=ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾₂ Geometrische Summenformel

n P k=0

q^k=^1−qn_1−q⁺¹

Binomialkoeffizient _n

k

= _n n−k

=_k!·(n−k)!^n!

1.16. Sinus, Cosinus

sin²(x)+cos²(x) = 1 e^jx= cos(x) + j·sin(x)

x 0 π/6 π/4 π/3 ¹₂π π ³₂π 2π

φ 0 deg 30 deg 45 deg 60 deg 90 deg 180 deg 270 deg 360 deg

sin 0 ¹₂ √¹

2

√3

2 1 0 −1 0

cos 1

√3

2 √1

2 1

2 0 −1 0 1

tan 0

√3

3 1 √

3 ±∞ 0 ∓∞ 0

Additionstheoreme Stammfunktionen cos(x−^π₂) = sinx ´

xcos(x) dx= cos(x) +xsin(x) sin(x+^π₂) = cosx ´

xsin(x) dx= sin(x)−xcos(x) sin 2x= 2 sinxcosx ´

sin²(x) dx= ¹₂ x−sin(x) cos(x) cos 2x= 2 cos²x−1 ´

cos²(x) dx= ¹₂ x+ sin(x) cos(x) sin(x) = tan(x) cos(x) ´

cos(x) sin(x) =−¹ 2cos²(x) Sinus/Cosinus Hyperbolicussinh,cosh

sinhx= ¹₂(e^x−e^−x) =−j sin(jx) cosh²x−sinh²x= 1 coshx=¹₂(e^x+e^−x) = cos(jx) coshx+ sinhx=e^x Kardinalsinussi(x) =^sin(x)_x genormt:sinc(x) =^sin(πx)_πx

1.17. Integrale

´

e^xdx=e^x= (e^x)^′ Partielle Integration: ´

uw^′=uw−´ u^′w

Substitution: ´

f(g(x))g^′(x) dx=´ f(t) dt

F(x) f(x) f^′(x)

1

q+1x^q+1 x^q qx^q−1

2

√ ax3 3

√ax ₂^√^a_ax

xln(ax)−x ln(ax) ¹_x

1

a2eâx(ax−1) x·eâx eâx(ax+ 1) ax

ln(a) a^x a^xln(a)

−cos(x) sin(x) cos(x)

cosh(x) sinh(x) cosh(x)

−ln|cos(x)| tan(x) ¹

cos2 (x)

´e^atsin(bt) dt=e^{at a}sin(bt)+bcos(bt) a2 +b2

´ √dt at+b=²

√at+b a

´t²e^atdt= ^{(ax−1)2 +1} a3 e^at

´te^atdt=^at−1

a2 e^at ´

xe^ax²dx=_2a¹e^ax²

1.18. Exponentialfunktion und Logarithmus

a^x=e^x^lna log_ax= ^lnx_lna lnx≤x−1 ln(x^a) =aln(x) ln(^x_a) = lnx−lna log(1) = 0

1.19. Reihen

∞ P n=1

1 n→ ∞ Harmonische Reihe

∞ P n=0

qⁿ^|q|<1= _1−q¹ Geometrische Reihe

∞ P n=0

zn n! =e^z Exponentialreihe

2. L¨ osung nichtlinearer Gleichungen

Exakte L¨osungx∗, Fehlerϵ=x−x∗

2.1. Iterationsverfahren (Nullstellensuche)

Problem:f(x) = 0, f(x)stetig in[a, b]undf(a)·f(b)<0 Gesucht:x^∗:f(x^∗) = 0, a≤x^∗≤b

Konvergenz:ε^(k+1)=¹₂ε^(k)= 1 2

_k+1 ε⁽⁰⁾ Iterationsschritte bisε < τ:k=

ld

ε(0)

τ

2.2. Fixpunktiteration (alg. Iterationsverfahren)

Jedes Problemf(x) =g(x)l¨asst sich als Fixpunktproblem schreiben:

x^∗= Φ(x^∗) :=f(x)−g(x) +x x^(k+1)= Φ(x^(k))

x^⋆= Φ(x^⋆) Falls

Φ^′(x^⋆)

<1⇒Konvergenz bzw. stabiler Fixpunkt Falls0<

Φ^′(x^⋆)

<1⇒lineare Konvergenz mit ε^(k+1)≈Φ^′(x^⋆)ε^(k)

FallsΦ^′(x^⋆) = 0undΦ^′′(x^⋆)̸= 0⇒quadratische Konvergenz Allgemein:Konvergenzordnungn⇔

Φ^′(x^⋆) = Φ^′′(x^⋆) =. . .= Φ⁽ⁿ⁻¹⁾(x^⋆) = 0undΦ⁽ⁿ⁾(x^⋆)̸= 0

2.3. Newton-Raphson

Funktion durch Gerade ann¨ahern und Nullstelle bestimmen. An dieser Stel- le den Vorgang wiederholen. Nur lokale Konvergenz

Ausgangsproblem:

f(x) = 0 x^(k+1)=x^(k)− f(x^(k))

f^′(x^(k))=: Φ x^(k)

2.3.1. Konvergenz Falls

Φ^′(x^⋆)

<1⇒Konvergenz bzw. stabiler Fixpunkt

Fallsf^′(x^⋆)̸= 0(einfache Nullstelle)⇒quadratische Konvergenz mit ε^(k+1)=1

2 f^′′(x^⋆)

f^′(x^⋆)ε^{(k) 2}

Fallsf^′(x^⋆) = 0(Nullstellengradn >1)⇒lineare Konvergenz mit Konvergenzfaktor= n−1

n 2.3.2. Sekanten-Methode

Falls die Auswertung vonf^′(x)vermieden werden soll:

x^(k+1)=x^(k)− f(x^(k))

x^(k)−x^(k−1) f(x^(k))−f(x^(k−1)) 2.3.3. Mehrdimensional

Theoretisch:

⃗x^(k+1)=⃗x^(k)−J e

−1 f⃗

⃗ x^(k)

f⃗(x^(k)) Praktisch:

J e f⃗

⃗x^(k)

⃗x^(k+1)=J e f⃗

⃗x^(k)

·

⃗

x^(k)−f(x⃗ ^(k)

Homepage:https://makeappdev.github.io/TUM-Projekte/– Fehler bittesofortmelden. von Markus Hofbauer, Kevin Meyer und Benedikt Schmidt – Mail:latex@kevin-meyer.de Stand: 18. January 2020 um 16:22 Uhr (git 26) 1/4

(2)

3. L¨ osung linearer Gleichungssysteme

Ausgangsproblem:

A e

⃗ x=⃗b

A e

=M f

−N f

Systemmatrix D

f

Diagonalmatrixdiag(diag(A e )) L

e

Linke untere Dreiecksmatrixtril(A e

,−1) U

e

Rechte obere Dreiecksmatrixtriu(A e

,1) A

e

=D f

+L e

+U e

, keine LR-Zerlegung!

3.1. Allgemeines Iterationsverfahren

Mit beliebiger, invertierbarer MatrixC

e

∈R^n×ngilt Umformung:

A e

⃗ x=⃗b⇔C

e

⃗ x=C

e

⃗ x−A

e

⃗

x+⃗b⇔⃗x= (1 e

−C e

−1A e

)⃗x+C e

−1⃗b W¨ahleK

f

= (1 e

−C e

−1A e

)(alles vor dem⃗x) Verfahren konvergiert allgemein, wenn Spektralradiusρ(K

f )<1

3.2. Jacobi-Verfahren

Konvergiert fallsρ(K

f

j)<1oder fallsA e

strikt diagonaldominant Spektralradiusρ(K

f

j) = max|λ_i(A e

)|mitλ_iEW.

K f

j=D f

−1(−L e

−U e ) Matrixdarstellung:

⃗

x^(k+1)=K f

j⃗x^(k)+D f

−1⃗b Komponentenweise:

x^(k+1)_i = 1 a_ii



b_i− n X j=1,j̸=i

a_ijx^(k)_j





Vorkonditionierung:

P e

=D f

−1 ⇒ P e A

e

⃗ x=P

e

⃗b

3.3. Gauß-Seidel-Verfahren

Unterschied zu Jacobi: Komponentenweise Berechnung von⃗xmit bereits iterierten Werten. (K¨urzere Iterationszyklen)

K f

gs=−(D f

+L e

)⁻¹U e Matrixdarstellung:

⃗

x^(k+1)=K f

gs⃗x^(k)+ (D f

+L e

)⁻¹⃗b Komponentenweise:

x^(k+1)_i = 1 a_ii



b_i− i−1 X j=1

a_ijx^(k+1)_j − n X j=i+1

a_ijx^(k)_j





Konvergiert fallsρ(K f

gs)<1oderA e

strikt diagonaldominant oderA positiv definit e

FallsAtridiagonal und positiv definit ρ(K

f

gs) =ρ(K f

j)² Vorkonditionierung:

P e

= (D f

+L e

)⁻¹ ⇒ P e A

e

⃗ x=P

e

⃗b

3.4. Successive Over-Relaxation

K f

SOR= (D f

+ωL e

)⁻¹(D f

(1−ω)−ωU e ) Matrixdarstellung:

⃗x^(k+1)=K f

SOR⃗x^(k)+ (D f

+ωL e

)⁻¹ω⃗b Komponentenweise:

x^(k+1)_i = ωa⁻¹_ii ⃗b_i−ⁱ⁻¹P j=1

a_ijx^(k+1)_j − Pⁿ j=i+1

a_ijx^(k)_j

! + (1−ω)x^(k)_i

Optimale Konvergenz f¨ur

ωopt= arg min ω ρ(K

f SOR) FallsApositiv definit und tridiagonal⇒ρ(K

f

gs) =ρ(K f

j)²<1:

ω_opt= 2

1 +q 1−ρ(K

f j)²

3.5. Gradienten-Verfahren

Voraussetzungen:A

e

=A e

TundA e

positiv definit

Φ(⃗x) =1 2⃗x^TA

e

⃗x−⃗x^T⃗b

⃗

r^(k)=⃗b−A e

⃗ x^(k) α^(k)= ⃗r^(k)T⃗r^(k)

⃗ r^(k)TA

e

⃗ r^(k) Optimierung:⃗r^(k+1)=⃗r^(k)−α^(k)A

e

⃗

r^(k)Matrixdarstellung:

⃗

x^(k+1)=⃗x^(k)+α^(k)⃗r^(k)

4. Matrix Zerlegung

4.1. LR-Zerlegung von Matrizen (Lower and Upper)

Geeignetes L¨osungsverfahren f¨urA

e

⃗

x=⃗b, fallsn <500 A

e

=L e

·R e

mitR e

obere Dreiecksmatrix (rangA e

= rangR e ) 4.1.1. Pivotisierung (Spaltenpivotsuche)

PermutationsmatrixP e

⊤=P e

−1vertauscht Zeilen, damit LR Zerlegung bei 0 Einträgen möglich ist. Tausche so, dass man durch die betragsmäßig größte Zahl dividiert (Pivotelement)

4.1.2. Rechenaufwand (FLOPS)

LU-Zerlegung ²₃n³−¹₂n²−¹₆n

Vorw¨artseinsetzen n²−n

R¨uckw¨artseinsetzen n²

Bei symmetrischer Matrix f¨ur LU Zerlegung halbiert.

Aufwand f¨ur Berechnung vonA e

−1:n³+n²∈ O(n³)

LR-Zerlegung mit GaußverfahrenA e

=L e R

e

;P e

−1=P e

⊤ 1.Sortiere Zeilen vonA

e mitP

e

so dassa₁₁> . . . > a_n1 2.Zerlegen vonP

e A

e

⃗ x=⃗bzuL

e (R

e

⃗ x) =L

e

⃗ y=P

e

⊤⃗bmit Zerlegungsmatrix:

(Beispiel f¨ur2×2) A e

=

"

a b c d

#

→

"

a b

c a d−^c

ab

#

=A e

∗

mit den Eliminationsfaktorenl_ik= ^aik akk

z.B.= _a^c 3.F¨ur jede Spalte der unteren Dreiecksmatrix wiederholen.

F¨ur einen×nMatrix braucht mann−1Durchl¨aufe 4.R

e

=triu(A e

∗) (obere△-Matr. vonA e

∗, inkl. Diagonalelem.) 5.L

e

=tril(A e

∗,−1) +1 e

(untere△-Matr. mit1en auf Diag.) 6. Vorw¨artseinsetzen:L

e

⃗

y=⃗bbzw.L e

⃗ y=P

e

⊤⃗b (Löse nach⃗y) 7. Rückwärtseinsetzen:R

e

⃗

x=⃗y (L¨ose nach⃗x)

4.2. QR-Zerlegung (existiert immer)

A

e

=Q e R

e mitQ

e

−1=Q e

⊤

Berechnung (Verfahren): Housholder (numerisch stabil) , Gram-Schmidt, Givens Rotation.

A e

−EZF−−−→H f A

e

−EZF−−−→H˜ f H f A

e

=R e

⇒A e

=H f

⊤H˜ f

⊤R Aufgabe: Finde Vektor⃗vder Senkrecht aufH e

f steht.

Lösen von LGSen mit derQRZerlegung Bestimme⃗xdurch Rückwärtssubsitution ausR

e

⃗ x=Q

e

⊤⃗b

QR-Zerlegung mit Householder-Transformation f¨urA e

∈R^m×n 1.Setze⃗a=⃗s1(erste Spalte) und⃗v=⃗a+ sgn(a1)∥⃗a∥⃗e1 2.BerechneHouseholder-TrafomatrixH

f

⃗v1=1 e

m− ²

⃗ v⊤⃗v⃗v⃗v^⊤ 3.ErhalteA

e

∗=H f

⃗ v1A

e

(ersten Spalte bis aufa₁₁nur Nullen) 4.Wiederhole f¨urA

e

∗ohne 1. Zeile und Spalte (Untermatr.A e

∗ 11) ErweitereH

f

∗

⃗

v2oben mit1 e

mzuH f

⃗

v2(h₁₁= 1) 5.Nachp= min

m−1, n Schritten:H f

⃗vpA e

∗=R e

weil 6.Q

e

⊤=H f

⃗vp· · ·H f

⃗ v1undQ

e

⊤A e

=R e

4.3. Orthogonalisierungsverfahren nach Gram-Schmidt

Berechnet zunVektoren⃗v_iein Orthogonalsystem⃗b_i (i∈[1;n])

⃗b₁=⃗v₁ ⃗b_i=⃗v_i− i−1

X k=1

⃗b^⊤_k ·⃗v_i

⃗b^⊤_k·⃗b_k

⃗b_k

Erhalte Orthonormalsystem durch⃗b^′_i=⃗b_i/ ⃗b_i

QR-Zerlegung:A

e

=Q e R

e mitQ

e

=⃗b^′₁, . . . , ⃗b^′_n R

e

=Q e

⊤A e

4.4. Givens Rotation (Jacobi-Rotation)

G e

−1=G e

⊤ Die orthogonale Givens-RotationsmatrixG

e

entspricht der Einheitsmatrix wobei 4 Elemente die Form

"

c s

−s c

#

haben. Diecbeliebig auf der Haupt- diagonalen unds/−sin der gleichen Zeile/Spalte wie diec.

QR-Zerlegung mit Givens-Rotation f¨urA e

∈R^m×n 1.Initialisierung: SetzeR

e

=A e

undG e

gesamt=1 e m 2.Wiederhole folgende Schritte f¨ur alle Elementer_xyinR

e , welche 0werden m¨ussen um obere Dreiecksmatrix zu erhalten. (Reihex, Spaltey), verfahre spaltenweise (links nach rechts) und in jeder Spalte von oben nach unten:

3.Setzea=ryy(Hauptdiagonalelement in dieser Spalte) 4.Setzeb=rxy(Wert, welcher durch0ersetzt werden soll) 5.Berechnec:=^a_punds:=^b_pmitp:=p

a²+b²

6.SetzeG e

= (g_ij) =











c i=x, j=x

c i=y, j=y

s i=y, j=x

−s i=x, j=y Einheitsmatrix sonst 7.SetzeR

e

=G e R

e undG

e gesamt=G

e G

e gesamt 8.Fahre, falls n¨otig, mit n¨achstem Element inR

e fort 9.ErhalteQ

e

=G e

⊤ gesamt L¨ose

4.5. D¨ unnbesetzte Matrizen

Ziel:effizienteres Speichern von Matrizen mit vielen 0 Eintr¨agen. A

e

=







a 0 0 0

0 b c 0

0 0 0 d

e 0 f 0







COO CRS CCS

row {1,2,2,3,4,4} {1,4,2,2,4,3}

rowptr {1,2,4,5,7}

col {1,2,3,4,1,3} {1,2,3,4,1,3}

colptr {1,3,5,6,7}

val {a, b, c, d, e, f} {a, b, c, d, e, f} {a, b, c, d, e, f}

COO Zeilen und Spaltenindex vonval CRS rowptr(i) zeigt auf j-tes Element voncol CCS colptr(i) zeigt auf j-tes Element vonrow

rowptr(1)=1, rowptr(n)=n+1, gibt an, bei welchem element (in col) die neue Zeile beginnt.

5. Numerische Differentiation

5.1. Vorw¨ artsdifferenz

f^′(x₀)≈f˜_Vor^′ (x₀) =f(x0+h)−f(x0) h f^′(x0)−f˜_Vor^′ (x0)∈ O(h)

5.2. R¨ uckw¨ artsdifferenz

f^′(x₀)≈f˜_R¨^′_uck(x₀) =f(x₀)−f(x₀−h) h f^′(x₀)−f˜_R¨^′_uck(x₀)∈ O(h)

5.3. Zentrale Differenz

f^′(x₀)≈f˜_Zentral^′ (x₀) =f(x0+h)−f(x0−h) 2h f^′(x₀)−f˜_Zentral^′ (x₀)∈ O(h²) h_opt= ³

q3ϵ

M Max. Rundungsfehlerϵ

(3)

6. Numerische Integration

6.1. Polynom-Ans¨ atze

ˆ_b

a

f(x) dx≈ ˆ_b

a P(x) dx 6.1.1. Lagrange

P(x) = n X k=0

L_n,k(x)·f(x_k)

L_n,k(x) = n Y i=0,i̸=k

x−x_i x_k−x_i 6.1.2. Differenzen

f[x_i] =f(x_i) f[x_i, x_i+1] =^f[^{xi+1 ]}_xi+1^−f[₋_xi^xi^]

f[xi, . . . , xj] =f[x_i+1, . . . , x_j]−f[x_i, . . . x_j−1] x_j−x_i

P(x) =f[x₀] + n X k=1

f[x₀, . . . , x_k](x−x₀). . .(x−x_k−1)

6.2. Newton-Cotes

ˆ_b

a

f(x) dx≈ n X i=0

g_if(x_i)

h= b−a n 6.2.1. Trapez

fallsn= 1:

ˆ_b a

f(x) dx≈(b−a)f(a) +f(b) 2

Zusammengesetztes Trapez: n=#Kanten = #St¨utzstellen - 1 ˆ_b

a

f(x) dx≈h 2

n−1 X k=0

f(x_k) +f(x_k+1)

Allgemein:

ˆ_b a

f(x) dx≈h





f(a) +f(b)

2 +

n−1 X k=1

f(a+k·h)





6.2.2. Simpson¹₃ (Fassregel) fallsn= 2:

ˆ_b a

f(x) dx≈b−a

6 (f(a) + 4f(a+h) +f(b)) Allgemein(zusammengesetzte Simpsonregel):

ˆ_b a

f(x) dx≈h 3



f(a) +f(b) + n−1

X k=1

a_kf(a+k·h)





a_k= 3 + (−1)^k+1 6.2.3. Simpson³₈

fallsn= 3:

ˆ_b a

f(x) dx≈3h

8(f(a) + 3f(a+h) + 3f(a+ 2h) +f(b))

6.3. Kubische Splines

S(x)

St¨uckweise Approximation vonf(x)durchnkubische Polynome mit S(x_i) =f(x_i)

Bestimme Parametera, b, c, df¨ur jedes Teilst¨uck:

S_j(x) =a_j+b_j(x−x_j) +c_j(x−x_j)²+d_j(x−x_j)³ S_j^′(x) =b_j+ 2c_j(x−x_j) + 3d_j(x−x_j)²

F¨urj= 0,1, . . . , n−1:

S_j(x_j) =f(x_j)∧S_j(x_j+1) =f(x_j+1) F¨urj= 0,1, . . . , n−2:

S_j(x_j+1)=^! S_j+1(x_j+1)≡a_j+1 S^′_j(x_j+1)=^! S_j+1^′ (x_j+1)≡b_j+1 S_j^′′(xj+1)=^! S_j+1^′′ (xj+1)≡2cj+1 Freier bzw. nat¨urlicher Rand:

S^′′(x₀) =S^′′(x_n) = 0 Eingespannter Rand:

S^′(x₀) =f^′(x₀)∧S^′(x_n) =f^′(x_n)

Parameterbestimmung 1.a_j=f(x_j)undh_j=x_j+1−x_j 2.L¨ose LGS f¨ur⃗c:A

e

⃗ c=⃗l

A e

=







1 0 0 . . . 0

h0 2(h0+h1) h1

...

.. . ...

... ...

...

.. . ..

.

... hn−2 2(hn−2−hn−1) hn−1

0 . . . 0 0 1







⃗l=







0 3

h1(a₂−a₁)− ³

h0(a₁−a₀) ..

. 3

hn−1(a_n−a_n−1)− ³

hn−2(a_n−1−a_n−2) 0







3.b_j= ¹

hj(a_j+1−a_j)−^hj

3(2c_j+c_j+1) 4.d_j= ₃¹

hj(c_j+1−c_j)

7. Least Squares

7.1. Ausgleichsrechnung

Gegeben:nDatenpunkte(x_i, y_i), Gesucht: Eine Polynom-Funktionf welche die Datenpunkte m¨oglichst gut (kleinstes Fehlerquadrat) approxi- miert. Es gilt:f⃗_⃗_α(⃗x) =⃗y+⃗r≈⃗ymit Residum⃗r

BestimmekParameterαjso, dass Fehlerquadrat⃗r^⊤⃗rminimiert wird.

ErstelleA e

∈R^n×kmitA e

⃗

α≈f(⃗⃗x), Zeilen ausk x-Termen:x², x,1 minα ⃗r= min

α A

e

⃗ α−⃗y

2 2= min

α ⃗y−A

e

⃗ α

2 2 Minimierung durch Ableitung:∀j∈[1, k] :^∂(⃗^r)2

∂αj

= 0! Dadurch ergibt sich:A

e

⊤A e

⃗ α=A

e

⊤⃗y L¨osen der Normalengleichung 1.Bestimme eine reduzierte QR-Zerlegung

A e

= ˜Q e R˜

e mitQ˜

e

∈R^n×k,R˜ e

∈R^k×k 2.L¨oseR˜

e

⃗ x= ˜Q

e

⊤⃗y

7.1.1. Lineare Ausgleichsrechnung (k= 2) f_⃗_α(x) =α1x+α0 A

e

= [⃗x ⃗1] ⃗α=

"

α1 α₀

#

arg min α1,α0

E(α₁, α₀) = n X i=1

(y_i−(α₁x_i+α₀))²

7.1.2. Polynomial Least Squares

f_⃗_α(x) =P(x, ⃗α) =α_kx^k+. . .+α₁x+α₀ arg min

α0,...,αk−1En(α₀, . . . , α_k−1) = n X i=1

(y_i−P(⃗α, x_i))²

Minimierung durch Ableitung:∀i∈[0, k−1] :^∂En

∂αj

= 0!

7.2. Anwendung in der linearen Ausgleichsrechnung

(Minimierung d. Restes)

Problem:A e

⊤A e

⃗ x=A

e

⊤⃗bmitA e

∈R^m×nund⃗b∈R^m L¨osen der Normalengleichung 1.Bestimme eine reduzierte QR-Zerlegung

A e

= ˜Q e R˜

e mitQ˜

e

∈R^m×n,R˜ e

∈R^n×n 2.L¨oseR˜

e

⃗ x= ˜Q

e

⊤⃗b

⃗b−A e

⃗ x

2= Q

e

⊤(⃗b−A e

⃗ x)

2=

⃗˜b−R˜ e

⃗ x

2+∥⃗c∥²≥ ⃗c²

8. Numerische L¨ osung von Differentialgleichun- gen

Ausgangsproblem: DGL

x(t) =. f(x(t))

Idee: Anstatt die Funktionx(t)zu bestimmen, wird versucht die Lösung x(t = t^∗)für ein bestimmtest^∗zu finden. Man kennt bereits eine Lösungx(t₀)und hangelt sich von dort mit Schrittenx(t₀+ ∆tν) (Schrittweite∆t,ν-ter Schritt) nach vorne bis manx(t^∗)erreicht.

ˆ

x(ν) ˆ=ˆx^(ν)=x(t₀+ ∆tν) f(ν)ˆ =^∧f(t₀+ ∆tν)

8.1. Expliziter Euler

ˆ

x^(ν+1)= ˆx^(ν)+ ∆t·fˆ ˆ x^(ν) stabil f¨ur0<∆t <2, instabil f¨ur∆t >2

8.2. Impliziter Euler

ˆ

x^(ν+1)= ˆx^(ν)+ ∆t·fˆ ˆ x^(ν+1) L¨ose Gleichung nachxˆ^(ν+1)

8.3. Trapez

ˆ

x(ν+ 1) = ˆx(ν) +∆t

2 ( ˆf(ν) + ˆf(ν+ 1))

8.4. Gear

O((∆t)²)

ˆ

x(ν+ 2) =4

3x(νˆ + 1)−1 3x(ν) +ˆ 2

3∆tfˆ(ν+ 2)

8.5. Heun

ˆ

x^[P](ν+ 1) = ˆx(ν) + ∆tf(ν,ˆ x(ν))ˆ ˆ

x(ν+ 1) = ˆx(ν) +∆t 2

fˆ(ν,ˆx(ν)) + ˆf(ν+ 1,xˆ^[P](ν+ 1))

8.6. k-Schritt-Adams-Bashforth

ˆ

x(ν+k) = ˆx(ν+k−1) + ∆t k−1

X i=0

b_k,if(νˆ +i)

b_i,k i= 0 i= 1 i= 2 i= 3

k= 1 1

k= 2 −¹₂ ³₂

k= 3 ₁₂⁵ −¹⁶₁₂ ²³₁₂

k= 4 −₂₄⁹ ³⁷₂₄ −⁵⁹₂₄ ⁵⁵₂₄

8.7. Finite Differenzen

St¨utzstellent₀, . . . tn

Vorw¨artsdifferenzmitx(tn)bekannt:

1 h







−1 1

−1 1 .. ..

h











 x(t₀) x(t₁) ..

x(t_n)







=





 x(t. ₀) x(t. ₁) ...

x(t_n)







R¨uckw¨artsdifferenzmitx(t₀)bekannt:

1 h





 h

−1 1 .. ..

−1 1











 x(t₀) x(t₁) ..

x(tn)







=





 x(t. ₀) x(t. ₁) ...

x(tn)





 F¨ur zweite Ableitung immer -1, 2, -1 in einer Zeile

9. Matlab Sample Code

1 f u n c t i o nx = g a u s s V e r f a h r e n ( A , b ) 2 [ L , U , P ] = L U Z e r l e g u n g ( A ) ; 3 [ y ] = v o r w a e r t s S u b s t i t u t i o n ( L , P , b ) ; 4 [ x ] = r u e c k w a e r t s S u b s t i t u t i o n ( U , y ) ; 5 end

1 f u n c t i o n[ L , U , P ] = L U Z e r l e g u n g ( A ) 2 n = s i z e( A , 1) ;

3 L = z e r o s( n , n ) ;

4 P = eye( n ) ;

5

6 fori = 1: n -1

7 [ pivot , p i v o t I n d e x ] = max(abs( A ( i : n , i ) ) ) ; 8 p i v o t I n d e x = p i v o t I n d e x + ( i - 1) ; 9 p i v o t = A ( p i v o t I n d e x , i ) ;

(4)

10 P s u b =eye( n ) ;

11 P s u b (: , [ i , p i v o t I n d e x ]) = P s u b (: , [ p i v o t I n d e x , i ]) ;

12 A ([ i , p i v o t I n d e x ] , :) = A ([ p i v o t I n d e x , i ] , :) ; 13 L ([ i , p i v o t I n d e x ] , :) = L ([ p i v o t I n d e x , i ] , :) ;

14 P = P s u b * P ;

15 p i v o t R o w = A ( i , i +1: n ) ;

16 forj = i +1: n

17 f a c t o r = A ( j , i ) / p i v o t ;

18 L ( j , i ) = f a c t o r ;

19 c u r r e n t R o w = A ( j , i +1: n ) ;

20 A ( j , i +1: n ) = c u r r e n t R o w - f a c t o r * p i v o t R o w ;

21 A ( j , i ) = 0;

22 end

23 end

24

25 U = A ;

26 L = L + eye( n ) ;

27 end

1 f u n c t i o n[ y ] = v o r w a e r t s S u b s t i t u t i o n ( L , P , b ) 2 n = s i z e( L , 1) ;

3 y = z e r o s( n , 1) ;

4 b = P * b ;

5 y (1) = b (1) / L (1 , 1) ; 6

7 fori = 2: n

8 r o w S u m = L ( i , 1: i -1) * y (1: i -1) ; 9 y ( i ) = ( b ( i ) - r o w S u m ) / L ( i , i ) ;

10 end

11 end

1 f u n c t i o n[ x ] = r u e c k w a e r t s S u b s t i t u t i o n ( U , y ) 2 n = s i z e( U , 1) ;

3 x = z e r o s( n , 1) ; 4 x ( n ) = y ( n ) / U ( n , n ) ; 5

6 fori = n -1: -1:1

7 r o w S u m = U ( i , i +1: n ) * x ( i +1: n ) ; 8 x ( i ) = ( y ( i ) - r o w S u m ) / U ( i , i ) ;

9 end

10 end

1 f u n c t i o n[ x_k , r_k , a l p h a _ k ] = c o n j u g a t e G r a d i e n t I t e r a t i o n ( A , b , x0 , N )

2 x_k =z e r o s(l e n g t h( x0 ) , N +1) ; 3 r_k =z e r o s(l e n g t h( x0 ) , N +1) ; 4 p_k =z e r o s(l e n g t h( x0 ) , N +1) ; 5

6 a l p h a _ k =z e r o s(1 , N ) ; 7 b e t a _ k =z e r o s(1 , N ) ; 8

9 x_k (: ,1) = x0 ;

10 r_k (: ,1) = b - A * x0 ; 11 p_k (: ,1) = r_k (: ,1) ; 12

13 fori = 1: N

14 Ap = A * p_k (: , i ) ;

15 a l p h a _ k ( i ) = ( p_k (: , i ) ’* r_k (: , i ) ) ./( p_k (: , i ) ’* Ap ) ; 16 x_k (: , i +1) = x_k (: , i ) + a l p h a _ k ( i ) .* p_k (: , i ) ; 17 r_k (: , i +1) = r_k (: , i ) - a l p h a _ k ( i ) .* Ap ; 18 b e t a _ k ( i ) = ( Ap ’* r_k (: , i +1) ) ./( Ap ’* p_k (: , i ) ) ; 19 p_k (: , i +1) = r_k (: , i +1) - b e t a _ k ( i ) .* p_k (: , i ) ;

20 end

21 end

1 f u n c t i o n[ x_k , r_k , a l p h a _ k ] = g r a d i e n t I t e r a t i o n ( A , b , x0 , N ) 2 x_k =z e r o s(l e n g t h( x0 ) , N +1) ;

3 r_k =z e r o s(l e n g t h( x0 ) , N ) ; 4 a l p h a _ k =z e r o s(1 , N ) ; 5

6 x_k (: ,1) = x0 ;

7 fori = 1: N

8 r_k (: , i ) = b - A * x_k (: , i ) ;

9 a l p h a _ k ( i ) = ( r_k (: , i ) ’* r_k (: , i ) ) ./( r_k (: , i ) ’* A * r_k (: , i ) ) ;

10 x_k (: , i +1) = x_k (: , i ) + a l p h a _ k ( i ) .* r_k (: , i ) ;

11 end

12 end

1 f u n c t i o n [ Q , R ] = h o u s e h o l d e r ( A ) 2 n = s i z e( A , 1) ;

3 i d e n t i t y = eye( n ) ;

4 Q = eye( n ) ;

5

6 for i = 1 : ( n -1)

7 a = z e r o s( n , 1) ;

8 a ( i :end) = A ( i :end, i ) ;

9 v = a +s i g n( a ( i ) ) *n o r m( a ) * i d e n t i t y (: , i ) ; 10 Q p a r t i a l = i d e n t i t y - 2/( v ’* v ) *( v * v ’) ; 11 Q = Q p a r t i a l * Q ;

12 A = Q p a r t i a l * A ;

13 end

14

15 R = A ;

16 Q = Q ’;

17 end

1 f u n c t i o n [ Q , R ] = g i v e n s R o t a t i o n ( A ) 2 n = s i z e( A , 1) ;

3 Q = eye( n ) ;

4 R = A ;

5

6 for i = 1:( n -1)

7 for j = i +1: n ;

8 G = c r e a t e G i v e n s R o t a t i o n ( R , j , i ) ;

9 Q = G * Q ;

10 R = G * R ;

11 end

12 end

13

14 Q = Q ’;

15 end

1 f u n c t i o n [ G ] = c r e a t e G i v e n s R o t a t i o n ( A , row , col ) 2 a1 = A ( col , col ) ;

3 a2 = A ( row , col ) ; 4 p = s q r t( a1 * a1 + a2 * a2 ) ;

5 c = a1 / p ;

6 s = a2 / p ;

7 G = eye(s i z e( A , 1) ) ; 8 G ( row , row ) = c ; 9 G ( col , col ) = c ; 10 G ( row , col ) = ( -1) * s ; 11 G ( col , row ) = s ; 12 end

1 f u n c t i o n [ a , b , c , d ] = s p l i n e P a r a m e t e r ( xi , f ) 2 n = max(s i z e( xi ) ) ;% A n z a h l der S t u e t z s t e l l e n

3 a = f ( xi ) ;

4 h = z e r o s( n -1 ,1) ;% S c h r i t t w e i t e 5

6 for i =1: n -1

7 h ( i ) = xi ( i +1) - xi ( i ) ;

8 end

9 A = s p a r s e(z e r o s( n , n ) ) ;% M a t r i x f u e r LGS 10 bs = z e r o s( n ,1) ;% r e c h t e S e i t e f u e r LGS

11 for i =2: n -1

12 A ( i , i ) = 2*( h ( i ) + h ( i -1) ) ; 13 A ( i , i -1) = h ( i -1) ; 14 A ( i , i +1) = h ( i ) ;

15 bs ( i ) = (3/ h ( i ) ) *( a ( i +1) - a ( i ) ) - (3/ h ( i -1) ) *( a ( i ) - a ( i -1) ) ;

16 end

17 A (1 ,1) = 1;

18 A ( n , n ) = 1;

19 c = A \ bs ;% L o e s u n g des LGS

20 b = z e r o s( n ,1) ;% P a r a m e t e r b f u e r S p l i n e s 21 d = z e r o s( n ,1) ;% P a r a m e t e r d f u e r S p l i n e s

22 for i =1: n -1

23 b ( i ) = (1/ h ( i ) ) *( a ( i +1) - a ( i ) ) -( h ( i ) /3) * ( 2 * c ( i ) + c ( i +1) ) ;

24 d ( i ) = ( 1 / ( 3 * h ( i ) ) ) *( c ( i +1) - c ( i ) ) ;

25 end

26 end

10. Blabla Fragen

1. Nennen Sie einen Vorteil der Dividierten Differenzen gegen¨uber der Lagrange-Interpolation.

•geringerer Aufwand

•keine komplette Neuberechnung bei neuer St¨utzstelle 2. Nennen Sie einen Nachteil der Polynominterpolation gegen¨uber der

Spline-Interpolation.

•Oszillation am Intervallrand⇒großer Fehler am Rand 3. Nennen Sie zwei Vorteile des Adams-Bashfort-3-Schrittverfahrens

gegen¨uber der Trapez- Methode zum L¨osen nichtlinearer Differen- tialgleichungen.

•h¨ohere Genauigkeit (lokaler Fehler kleiner bei gleicher Schritt- weite)

•explizites Verfahren (geringerer Rechenaufwand)

4. Nennen Sie zwei Vorteile des Gauß-Verfahrens gegen¨uber dem Jacobi-Verfahren.

•für alle nicht-singulären Matrizen lösbar

•geringerer Aufwand, wenn das gleiche Gleichungssystem mit verschiedenen rechten Seiten gel¨ost werden soll.

5. Nennen Sie drei numerische Integrationsverfahren, die die gleiche (lokale) Fehlerordnung wie das Trapezverfahren besitzen.

•Gear

•Taylor-Verfahren zweiter Ordnung

•Zweischritt Adams Bashfort

6. Nennen Sie einen Vorteil des Jacobi-Verfahrens gegen¨uber dem Gauß-Seidel-Verfahren.

•leicht parallelisierbar

7. Nennen Sie einen Nachteil des Jacobi-Verfahrens gegen¨uber dem Gauß-Seidel-Verfahren.

•langsamere Konvergenz

8. Geben Sie an, welche numerischen Probleme bei Anwendung der Sekantenmethode zur Bestimmung der Nullstelle vonF(x)in der N¨ahe der Nullstellex₀auftreten k¨onnen.

•In der N¨ahe der Nullstelle istF(x^(k))≈0, weshalb in der Iterationsvorschrift n¨aherungsweise der Term⁰₀auftreten kann.

Dementsprechend k¨onnen Ausl¨oschungsfehler auftreten.

11. Sonstiges

11.1. Graphen

G= (V, E)

mKnoten (vertices)v_i,nKanten (edges)e_j

einfach/multi: nur eine/mehrere Kanten zwischen zwei Knoten gerichtet: Kanten nur in eine Richtung. gewichtet: Kanten haben Werte Zyklus: Gleicher Start und Endknotenvstart=v_end

Pfad: Alle Knoten verschiedenv_k̸=v_l Kreis: Zyklus und Pfad zusammen AdjazenzmatrixA

e

= (a_ij)∈B^|V^|×|V^|: a_ij=

(

1 fallsv_imitv_jverbunden ist 0 sonst(∄e: (v_i, v_j)∈e) A

e

immer symmetrisch, geht nur f¨ur ungerichtete Graphen!

InzidenzmatrixB e

= (b_ij)∈B^|V^|×|E|: b_ij=







−1 fallse_jbeiv_istartet(e_j= (v_i, vx)) 1 fallse_jbeiv_iendet(e_j= (vx, v_i)) 0 sonst(v_i∈/e_j)

Jede Zeile (f¨ur jede Kante) enth¨alt genau einmal1und−1 Rang vonB

e

:|V|−#zusammenh¨angende Gebiete. Maximal|V| −1!

NullraumkerB e

: Vektoren der Gebiete. Also mindestens⃗1∈kerB e LaplacematrixL

e

=B e

⊤B e

= (l_ij)∈B^|V^|×|V^| l_ij=







d_i fallsi=jund genaud_iKanten vonv_iweggehen

−1 fallsi̸=jund die Kante(v_i, v_j)existiert 0 sonst

11.2. Kirchhoff (Inzidenzmatrix B)

KCL:B

e

⊤⃗i=⃗0 KVL:⃗u−B e

⃗

u_knoten=⃗0 Ohm:⃗i=G e

·⃗u

11.3. Komplexit¨ at / Landau-Notation

Definiert Zeit und Platzbedarf von Algorithmen (∃c∈R∀n > n₀) f∈ Og(n) ⇒ 0≤f(n)≤c·g(n) f∈Ωg(n)

⇒ f(n)≥c·g(n)≥0 f∈Θ g(n)

⇒ c₁·g(n)≤f(n)≤c₂·g(n) Schrankenfunktionen (f¨ur großen∈N)

1<log₁₀(n)<ln(n)<log₂(n)<√

n < n < n·ln(n)<

(logn)!< n²< eⁿ< n!< nⁿ<2²ⁿ

11.4. Gleitkommadarstellung nach IEEE 754

Bitverteilung(single/double):

s(1) e(8/11) f(23/52)

s: Vorzeichen,e: Exponent,f: Mantisse

WertZ= (−1)^s·1.f·2^e−127 Genauigkeit:M= 2^−f

11.5. Singul¨ arwertszerlegung

A e

∈K^m×n=U e Σ e V

e

⊤ Zerlegung in zwei Rotationen und eine Streckung:

U e

∈K^m×m,V e

∈K^n×n: orthonormale Rotationsmatrizen Σ

e

∈K^m×n:1 e

⃗σerg¨anzt mit 0en damitdimΣ e

= dimA e Singul¨arwertszerlegung 1.BestimmenEWλ_ivonA

e

⊤A e

, sortiereλ₁≥. . .≥λ_n≥0 ErhaltennSingul¨arwerteσ_i=p

λ_i 2.Bestimme ONBV

e

= [⃗v₁, . . . , ⃗vn]aus EV vonA e

⊤·A 3.Bestimme ONBU e

e

= [⃗u₁, . . . , ⃗u_k]mit⃗u_i= ¹ σiA

e

⃗ v_i k= min(m, n), fallsn < m: Erg¨anzeU

e

zu ONB desK^m 4.Berechne Σ

m×ne

= U e

⊤ m×m

· A m×ne

· V n×ne

(U e

,V e

sind orthogonal)

Stabilit¨at: Falls Fehler ¡κσϵundσkleiner als ausgef¨uhrte Iterationen

Numerische Methoden der Elektrotechnik

4 ei