Übungsblatt Aufgabe 8.1 Seien X und Y Banachräume,A:X

Universität Konstanz

Fachbereich Mathematik und Statistik Prof. Dr. Reinhard Racke

Dipl.-Math. Olaf Weinmann

9. Juni 2008 _¢¢AA¢¢AA ^¢¢AA

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Funktionalanalysis 8. Übungsblatt

Aufgabe 8.1 Seien X und Y Banachräume,A:X −→ Y und B: Y⁰ −→X⁰ linear. Gilt für alle x∈X und alle y⁰ ∈Y⁰

y⁰(Ax) = (By⁰)(x), dann sindA undB stetig.

Denition 8.2 Es seien a, b ∈ R mit a < b. Weiter sei f: [a, b] −→ R eine Funktion und P_n(a, b) sei eine Partition a=x₀ < x₁ < ... < x_n=b.

(a) V(P_n(a, b)) :=P_n−1

k=0|f(x_k+1)−f(x_k)| heiÿt Variation von f bzgl. P_n(a, b). (b) Das Supremum aller Variationen

V_a^b(f) := sup

Pn(a,b)

V(P_n(a, b))∈[0,∞]

heiÿt vollständige Variation von f.

(c) Ist V_a^b(f)<∞, so heiÿt f von beschränkter Variation oder f ∈ BV(a, b). Aufgabe 8.3 Es seiena, b∈Rmit a < b. Zeigen Sie:

(i) f ∈ BV(a, b)⇐⇒ ∃v, w, monoton wachsend: f =v−w.

(ii) f ∈ BV(a, b) =⇒f besitzt nur abzählbar viele Unstetigkeitsstellen.

Denition 8.4 Die schwache Topologie eines BanachraumesX ist die Vektorraumtopologie, die von den Halbnormen

p_f(x) :=|f(x)|, f ∈X⁰ erzeugt wird (vgl. Aufgabe 3.6).

Aufgabe 8.5 Sei X ein unendlich dimensionaler Banachraum. Zeigen Sie: Die schwache To- pologie hat die folgenden Eigenschaften:

(i) Die schwache Topologie ist die gröbste Topologie, in der allef ∈X⁰ stetig sind.

(ii) Jede im schwachen Sinn oene Menge ist unbeschränkt.

(iii) Eine Folge (x_k)_k∈N konvergiert genau dann in der schwachen Topologie gegen ein x ∈X, wenn

∀f ∈X⁰: f(x_k)→f(x) gilt.

Aufgabe 8.6 Es sei X:=C([a, b])und(x_n)_n∈N eine Folge mitx_n∈X für n∈N. Zeigen Sie:

x_n* x⇐⇒sup

n∈N

kx_nk<∞ und∀t∈[a, b] :x_n(t)→x(t).

Abgabetermin: Montag 16. Juni 2008, vor 10:00 Uhr in die Briefkästen bei F411.

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