Prof. Dr. W. Bergweiler SS 2014 Analysis IV Serie 2 1. Wie lauten die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen in Polarkoordinaten? Definition: Sei Ω ⊆ C offen. Der Laplace-Operator ∆ : C

Prof. Dr. W. Bergweiler SS 2014 Analysis IV

Serie 2

1. Wie lauten die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen in Polarkoordinaten?

Definition:Sei Ω⊆Coffen. DerLaplace-Operator ∆ : C²(Ω,C)→C(Ω,C) ist definiert durch

∆h= ∂²h

∂x² +∂²h

∂y².

Eine Funktion h∈C²(Ω,C) heißt harmonisch, wenn ∆h= 0 gilt.

2. (a) Sei Ω⊆C offen undh∈C²(Ω,C). Zeigen Sie, dass

∆h= 4 ∂

∂z¯

∂h

∂z = 4 ∂

∂z

∂h

∂z¯. (b) Sei Ω⊆C offen undf ∈C¹(Ω,C). Zeigen Sie, dass

∂f

∂z = ∂f

∂z und ∂f

∂z = ∂f

∂z.

(c) Sei Ω ⊆ C offen und f ∈ C²(Ω,C). Weiter sei f holomorph. Zeigen Sie, dass f, ¯f, Ref, und Imf harmonisch sind.

3. Beweisen Sie Satz 2.6 der Vorlesung.

Die L¨osungen sind bis Dienstag, den 29.04.2014, 10:00 Uhr, im Fach des jeweiligen ¨Ubungsleiters abzugeben.