TECHNISCHE UNIVERSITÄT BERLIN Fakultät V

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TECHNISCHE UNIVERSITÄT BERLIN

Fakultät V – Verkehrs- und Maschinensysteme - Institut für Mechanik

Prof. Dr. Valentin L. Popov M.Sc. Emanuel Willert

Kontaktmechanik und Reibungsphysik WiSe 2017/18 – UE 12

Thema: Hydrodynamische Schmierung Aufgabe 1: Schmierung eines Lagers

Eine der technisch wichtigsten laminaren Bewegungen einer zähen Flüssigkeit ist die Bewegung eines Schmiermittels zwischen Zapfen und Lager. Im vorliegenden Fall dreht sich eine Welle mit Radius r und Länge l mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω, während der äußere Zylinder vom Radius r + a unbeweglich ist. Bei konzentrischer Bewegung (Fall A) ergibt sich ein Reibungsmoment an der Wel- le, das nicht von der Belastung des Zapfens abhängt. Im Allgemeinen (Fall B) liegt die Welle in Be- zug auf das Lager exzentrisch, da sie unter Last steht. Es wird angenommen, dass die Flüssigkeit mit der dynamischen Viskosität η inkompressibel ist und den ganzen Raum zwischen Welle und Zapfen füllt. Ferner sei die Spaltbreite a r, sodass mit genügender Genauigkeit für das im Spalt vorhande- ne Schmiermittel eine ebene Hagen-Poiseuillesche-Schichtenströmung vorausgesetzt werden darf. Da die auftretenden Reynoldszahlen gewöhnlich sehr klein sind, dürfen die Trägheitskräfte gegenüber den viskosen Kräften vernachlässigt werden.

a) Bestimmen Sie zunächst die Schichtdicke h als Funktion des Umlaufwinkels φ und anschlie- ßend die Geschwindigkeit des Fluides v_ mit Hilfe der aus der Vorlesung bekannten Glei- chungen für eine Strömung nach Hagen-Poiseuille.

b) Der Volumenstrom zwischen Zapfen und Lager soll mit Q:l r ^h⁰₂ bezeichnet werden. Be- rechnen Sie den noch unbekannten Koeffizienten h0 durch Auswertung der periodischen Be- dingung für den Druck p(0) p(2 ) und diskutieren Sie im Anschluss daran die Form der Funktion p( ) .

c) Wie groß ist das Reibmoment an der Welle?

d) Bestimmen Sie die resultierende Kraft aus der Druckverteilung auf den Zapfen.

FG Systemdynamik

und Reibungsphysik

(2)

Lösung Aufgabe 1:

a) Aus dem Cosinus-Satz folgt die Beziehung

     

 

2 2 2

2 2

2 cos

cos sin cos .

r a e r h e r h

h e r r a e a e



  

     

        (1)

Unter den getroffenen Voraussetzungen ist die Strömung überall näherungsweise eben und tangential gerichtet. Für eine laminare Strömung wurde in der Vorlesung das Geschwindigkeitsprofil hergeleitet:

 

^{1 d}

 

⁰

 

^{1 d}

   

^.

2 d 2 d

v

p p r

v z z z h z h z z h z h

x h r h





  

        (2)

b) Der Volumenstrom ergibt sich zu

 

³ ⁰

0

2 0

2 3

d 1 d :

d 12 2 2

d 1

6 .

d

h p h rh h

Q l v z z l l r

r

h

p r

h h

 

 

  

 

     

 

 

    

 



(3)

Die Auswertung der Periodizität

   

²² 2 ⁰3

0

2 0 6 1 h d

p p r

h h

       ⁽⁴⁾

liefert dann mithilfe der Integrale

   

 

2 2

2 2 2 2 3

0 0

2 2

3 3 2 2 5

0 0

d d 2

, cos

d d 2

cos

a

h a e a e

a e

h a e a e

 

  



  



 

 

  

 

 

(5)

die gesuchte Länge

2 2

0 2 2 2.

2 a e

h a

a e

 

 (6)

Da h eine gerade Funktion in φ ist, ist die Druckdifferenz p(φ) – p(0) eine ungerade Funktion. An der Unterseite des Zapfens herrscht daher Überdruck, an der Oberseite Unterdruck.

c) Die Reibspannungen am Zapfen sind

0 2 0

3

d 1 d 4

d _z d 2 .

h

v p h r

z r h r h h

   

 

 

        

  (7)

Das gesamte Reibmoment ist damit

2

 

2 2

2 3

0 2

0 0 0

2 3 2 2

3

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

d d

d 4 3

8 12 1 4 2

2 2 .

MR lr lr h

h h

a lr a e

lr a e a e a e a e a e

       

  



 

     

 

  

          

  

(8)

d) Da die Druckdifferenz eine ungerade Funktion in φ ist, verschwindet die horizontale Komponente der resultierenden Kraft. Für die vertikale Komponente erhält man mit der partiellen Integration

(3)

2

 

2 2 0

0 0

sin d cos d cos d

z d

F lr p lr p p

  

     



 

     

 

 

⁽⁹⁾

und den Integralen

   

2 2

2 2 2 2 3

0 0

2 2

3 3 5

2 2

0 0

cos d cos d 2

, cos

cos d cos d 3

cos

e

h a e a e

ea

h a e a e

 

    



    



  

 

  

 

 

(10)

das Ergebnis

3

2 2

12 .

z 2

lr e

F a e a e

 

  (11)