TECHNISCHE UNIVERSITÄT BERLIN
Fakultät V – Verkehrs- und Maschinensysteme - Institut für Mechanik
Prof. Dr. Valentin L. Popov M.Sc. Emanuel Willert
Kontaktmechanik und Reibungsphysik WiSe 2017/18 – UE 04
Thema: Rigorose Behandlung des Normalkontaktproblems ohne Adhäsion Aufgabe 1: Flachstempelkontakt
Abb. 1: Eindruck eines flachen, zylindrischen, starren Stempels in den elastischen Halbraum
Abb. 1 zeigt den Eindruck eines flachen, zylindrischen, starren Stempels vom Radius aF in den elasti- schen Halbraum. Die Spannungsverteilung ist durch
2 21 für 0
0 für
*
,
F
F
F F F
F
E r a
p r a r
r a
(1)
gegeben und die Oberflächennormalverschiebung lautet
für 0
, 2
arcsin für
F F
F F F
F F
r a
u r a
r a r
. (2)
a) Ermitteln Sie den Zusammenhang zwischen FN F, ,F und aF. b) Geben Sie die Kontaktsteifigkeit
d d
N F N
F
k F
,
: (3)
an und begründen Sie, dass diese Kontaktsteifigkeit für alle rotationssymmetrischen Profile gilt.
FG Systemdynamik
und Reibungsphysik
Aufgabe 2: Parabolischer Kontakt
Abb. 2: Normalkontakt zwischen einem starren, parabolischen Profil und einem elastischen Halbraum
Mithilfe des Satzes von Maxwell und Betti soll aufbauend auf den Lösungen (1) und (2) für den Flachstempelkontakt das klassische Hertzsche Kontaktproblem aus Abb. 2 gelöst werden. Gesucht sind die Zusammenhänge zwischen Normalkraft FN H, , Eindrücktiefe H und Kontaktradius aH. Nehmen Sie zunächst gleiche Kontaktflächen an
aF aH
und ermitteln Sie mit dem Satz von Betti in der Formd d
F H H F
p u A p u A
(4)die Zusammenhänge zwischen Normalkraft FN H, , Eindrücktiefe H und Kontaktradius aH. Nutzen Sie dabei die Tatsache aus, dass für alle axialsymmetrischen Normalkontaktprobleme die universelle Kontaktsteifigkeit gilt.
Lösung Aufgabe 1:
a) Die gesamte Normalkraft ergibt sich durch die Integration
* *
, 2 2
0
d 2 d 2 .
a
N F F F F F
F
F p A E r r E a
a r
(5)b) Die Kontaktsteifigkeit ist per Definition
, *
,
: d 2 .
d
N F
N F F
F
k F E a
(6)
Man kann sich klarmachen, dass die inkrementelle Differenz zwischen zwei infinitesimal benachbar- ten Kontaktkonfigurationen eines rotationssymmetrischen Indenters mit den Eindrücktiefen und
d , beziehungsweise den Kontaktradien a und ada, als eine Indentierung mit einem flachen zylindrischen Stempel mit dem Radius a um die Tiefe d verstanden werden kann (der Beitrag aus der Änderung des Kontaktradius ist dad und deswegen von quadratischer Ordnung, die vernach- lässigt werden kann). Die Änderung der Normalkraft zwischen diesen beiden Kontaktkonfigurationen ist damit durch die Kraft aus dem Eindrücken des Flachstempels gegeben,
dFN 2E a* d . (7)
Die inkrementelle Kontaktsteifigkeit ist damit für alle rotationssymmetrischen Indenter d *
: 2 .
d
N N
k F E a
(8)
Lösung Aufgabe 2:
Der Satz von Maxwell und Betti liefert den Zusammenhang
2
*
2 2 ,
0
d d
2 d .
2
H
F H H F
a
F H F N H
F
p u A p u A
r r r
E F
R a r
(9)Ausführen der Integration liefert unter der Annahme gleicher Kontaktgebiete die Beziehung
3
*
, 2 .
3
H
N H H H
F E a a
R
(10)
Die Universalität der inkrementellen Kontaktsteifigkeit liefert außerdem
2
* , *
3
2 *
,
d d
2 : 2
d d
4 .
3
N H H H
H N H H
H H
H
H H N H
F a a
E a k E a
R
a R F E a
R
(11)
Damit sind die Beziehungen zwischen den globalen Kontaktgrößen für das Hertzsche Kontaktproblem erfolgreich hergeleitet.