Fachhochschule Hannover PT4 17.06.2004 Fachbereich Maschinenbau Zeit: 90 min Fach: Physik II Hilfsmittel: Formelsammlung zur Vorlesung

Fachhochschule Hannover PT4 17.06.2004 Fachbereich Maschinenbau Zeit: 90 min Fach: Physik II Hilfsmittel: Formelsammlung zur Vorlesung 1. Otto von Guericke zeigte 1654 in einem spektakulären Demonstrationsversuch, dass 16 Pferde,

acht an jeder Seite, die zusammengefügten, mit Leder gedichtete und mit mittels Luftpumpe evakuierten "Magdeburger Halbkugeln" nicht trennen konnten. Nehmen Sie an, dass das Innerer der Kugel auf etwa 1/100 des äußeren Luftdruckes gepumpt werden konnte. Wie groß war die zur Trennung der Halbkugeln benötigte Kraft bei einem Kugeldurchmesser von 42 cm?

2. Ein Stahlseil wird lotrecht ins Meer versenkt. Bei einer Länge von 7,824 km zerreißt das Seil.

Wie groß ist die Zugfestigkeit des Materials?

3. Der Schallpegelmesser in einer Vorlesung mit PT-Studenten zeigt 76 dB. Die Lautstärke einer

"Unterhaltung" wird mit etwa 60 dB angegeben. Wie viele der anwesenden Studenten müssen gleichzeitig "diskutieren", damit sich die angezeigte Lautstärke ergibt?

4. Eine Kugel mit Radius R hängt an einer Stange der Länge R. Die Massen von Stange und Kugel verhalten sich wie 1/10. Eine Messung liefert für die Schwingungsdauer 0,95 s. Die Schwingungsamplitude beträgt nach 5 Schwingungsperioden 1,5% der Ausgangsamplitude. (Zur Vereinfachung des Problems vernachlässige man die Dicke der Pendelstange.)

Bestimmen Sie:

a. Den Abstand d zwischen Drehpunkt und Schwerpunkt.

b. Die Abklingkonstante ^ . c. Das Massenträgheitsmoment.

d. Die Eigen(kreis)frequenz 0und die Schwingungsdauer T0 der ungedämpftenSchwingung.

e. Den Wert von R.

5. Betrachten Sie ein Drehpendel, dass aus einer Metallscheibe der Masse 1,0 kg mit einem

Durchmesser von 30 cm montiert auf einer Drehachse und einer (masselosen) Spiralfeder gebildet wird. Zur Auslenkung der Scheibe um einen Winkel von 90 muss am äußeren Rand der Scheibe eine Kraft von 10 N aufgewendet werden, die senkrecht bezüglich der Verbindungslinie von Angriffspunkt und Drehachse wirkt. Die gemessene Schwingungsdauer des Drehpendels beträgt 0,69 s.

a. Die Schwingungsdauer T0 der ungedämpften Schwingung.

b. Die Abklingkonstante ^ . c. Die Resonanzfrequenz R.

d. Wie groß ist die Resonanzamplitude, wenn das Drehpendel mit einem periodischen Drehmoment

 

t M



t



M  _a sin_a und ^Ma 1^Nm bei a Rerregt wird?

e. Wie groß ist die Amplitude im Grenzfall a ^0?

f. Wie groß ist die Amplitudenüberhöhung im Resonanzfall?

g Skizieren Sie die Resonanzkurven (Maximalamplitude) und der Phasenverschiebung als Funktion von a für den vorliegenden Fall mit ^{ 0} und für ^{ 0}.

h. Unter welchen Bedingungen tritt keine Amplitudenüberhöhung mehr auf? Skizzieren Sie auch für diesen Fall die Resonanzkurve.

Dichte: Meereswasser:_MW 1,025gcm^3, Stahl: _ST 7,8gcm^3 Standarddruck: ^p0 ^1013hPa

R

R

Lösungen:

1. Die Halbkugeln haben eine Querschnittsfläche von:

2 2

2 2

1385 , 0 21

, 0 14 ,

2 3 m m

A D   



 





Der äußere Luftdruck sei gleich dem Standarddruck 1013 hPa. Der Druck im inneren Kugel 10,13 hPa. Die Druckdifferenz ist:

 hPa hPa

p 101310,13 1003



Die Kraft zur Trennung der Kugeln ist:

N N

p A

F   0,13851,00310⁵ 13892

2. Der Draht reißt, wenn die wirkende Kraft Fmax größer ist als das Produkt aus Zugfestigkeit Querschnittsfläche des Drahtes.

A F_max _max

Die wirkende Kraft ist: Gewichtskraft minus Auftriebskraft:

 

A L g

F F

F_max  _G  _A  _STl _MW   

 

²

max  _ST _MW Lg520MNm^

 3. Lautstärke einer sprechenden Person:

0

log 1

10

60 I

dB  I

  Lautstärke von x PT-Studenten:

0

log 10

76 I

dB  I^x

 

mit der Schallintensität: 0 10 ¹² ₂ m I  ^ W

Schallintensität I1: ^{10 12} ₂ ⁶ ₂

60

1 10 10 10

m W m

I   ^ W  ^

Schallintensität Ix: ^{10 12} ₂ ⁶ ₂

76

10 40 10

10 m

W m

I_x   ^ W   ^

Lösung: x 40, also reden alle wie üblich gleichzeitig!!

4a. Abstand Drehachse – Schwerpunkt: _{R R R}

m m

R R m

m d

K S

K

s      

 







 1,864

110 205 1

, 1

2 05 , 2 0 2

4b. Gedämpfte Schwingung: 



t 5T_e



₀e^5Te

Abklingkonstante: ^ln₅^0,_T^{015  4}₄^,1997_,75 ^{0,88415s1}

e



4c. Trägheitsmoment von Kugel und Stange:

 

²

2

2 2

5 2 3

1m R m R m R

J  _s  _K  _K

2 2

2 2

2 4,43

30 4 133

5 2 30

1 m R m R m R m R m R

J  _K  _K  _K  _K  _K

4d. Eigenfrequenz der ungedämpften Schwingung:

61388 1

,

2 6 _



 s

T_e

e

 

1 1

2 2

2 2

0  _e   6,61388 0,88415 s^ 6,67272s^



Schwingungsdauer der ungedämpften Schwingung:

s T 2 0,94162

0

0  





4e. Physikalisches Pendel:

R g R

m R g m J

d g m

K ges K

2 133 123 110

133 10

205 30 11

0 2  















 

 

Lösung für R: ^R ₁₃₃¹²³₂^g2 ^{0,10m 10cm}

0





 

5a. Winkelrichtgröße: ^{D*  M}_ ^{ F}_^{R 10N}_^_/⁰₂^{,15m 0,95493Nm}

Trägheitsmoment der Scheibe: ^{2 0,01125 2}

2

1mR kgm

J  

Eigen(kreis)frequenz der ungedämpften Schwingung:

1 2

*

0 9,21318

01125 , 0

95493 ,

0  _



 s

m kg

Nm J

 D

Schwingungsdauer der ungedämpften Schwingung:

s T 2 0,68198

0

0  





5b. Eigen(kreis)frequenz der gedämpften Schwingung:

10607 1

, 69 9 , 0

2

2 _





 s

s T_e

e



 

Abklingkonstante:   0² _e² 1,40s^1

5c. Resonanzfrequenz: _R  0²2² 8,9979s^1

5d. Resonanzamplitude:

 



₀^{2 2}



²

 

²

0

2 ,

,

R R

a R

a R

f





 

















mit ₂ ^{88,88 2}

01125 , 0

1  



 s

m kg Nm J

f_a M^a

Einsetzen der Resonanzbedingung: 2 2

0 2 4

2 0 2

2 4

2 0 2 4

2

2 88 , 88 4

4 88 , 88 8

4 4

88 , 88

ß s s

s

R   

 



  ^{  }

















 

 

  3,48590 1,10960

10607 , 9 40 , 1 2

88 , 88 2

88 , 88

1 1

2

2  



 

  ^ _ ^ _

s s

s s

e R

5e. Amplitude im Grenzfall a ^0:

 



0^{2 2}



²

^{ }

^{2 02}

0 2

, ,

0     



 ^a

a a

a a

R

f

f 









 

^

 





    ^ _ 1,047190,33333 21318

, 9

88 , , 88

,

0 _{2 2}

2 2

0

0 s

f_a s

a R

5f. Amplitudenüberhöhung im Resonanzfall:

 

 

1,04719 ^3,329 48590

, 3 ,

, 0

, ,

0

0  























a R

R a R

5g. Resonanzkurven und Darstellungen der Phasenverschiebung finden Sie in den Vorlesungsunterlagen.

5h. Bedingung für _R 0: 0 6,5147 ¹

2

1  

  s

