Fachhochschule Hannover vorgezogene Wiederholungsklausur 22.09.2006 Fachbereich Maschinenbau Zeit: 90 min Fach: Physik II im SS06 Hilfsmittel: Formelsammlung zur Vorlesung

Fachhochschule Hannover vorgezogene Wiederholungsklausur 22.09.2006 Fachbereich Maschinenbau Zeit: 90 min Fach: Physik II im SS06 Hilfsmittel: Formelsammlung zur Vorlesung 1. In ein U-Rohr mit zwei offenen Enden wird auf der einen Seite Wasser

und auf der anderen Öl eingefüllt (vermischen sich praktisch nicht). Die Gleichgewichtslage ist in Abb. 1 dargestellt. Wie groß ist die Dichte des Öls?

2. Betrachten Sie die in Abb. 2 dargestellte Hydraulikpresse zum Pressen von Pulverproben (Durchmesser des großen Zylinders: 10 cm,

Durchmesser des kleinen Zylinders: 2 cm). Die Probe habe eine Fläche von 4 cm². Wie groß ist der Druck und wie groß die Kraft auf die Probe, wenn eine Kraft von 300 N, wie gezeigt, auf den Hebel ausgeübt wird?

3. Um wissenschaftliche Geräte lange Zeit in große Höhen zu bringen, verwendet man Ballone mit geschlossenen Hüllen aus gasdichtem Material

(Überdruckballone). Betrachten Sie einen Ballon, der im prall gefüllten Zustand einen festen Durchmesser von

12

D m besitzen soll (siehe Abb. 3). Als Auftriebsgas soll Helium verwendet werden. Der Startort liegt in einer Höhe von 500 m. Kurz vor dem Start wird eine

Lufttemperatur von 12°C und ein Luftdruck von 930 hPa gemessen. Die Masse des Ballons, ohne Gas, aber

einschließlich Nutzlast, betrage 60 kg.

(0^He 0,1785kg m^3, 0^Luft 1, 293kg m^3bei ^{p0 1013hPa} und

0 0

T  C)

a. Welche Masse Helium muss eingefüllt werden, um den Ballon mit einer Beschleunigung von a4m s^2 am Boden starten zu können?

(Hinweis: Der Ballon ist beim Start nicht notwendigerweise prall.)

b. Welche maximale Höhe kann mit dem Ballon erreicht werden?

4. In einem U-Rohr befindet sich Öl mit einer Säulenlänge von ^l80cm. Eine Seite des Rohres ist offen, die andere verschlossen. Durch Überdruck in dem verschlossenen Teil wird die Flüssigkeitssäulen um x_m 10cm aus der Ruhelage bei x0 0

ausgelenkt. Zum Zeitpunkt t0 wird der Verschluss des U-Rohres geöffnet und die Flüssigkeitssäule beginnt zu schwingen.

a. Stellen Sie zunächst die Bewegungsgleichung der ungedämpften Schwingung auf und ermitteln Sie die Formel für die

Eigenkreisfrequenz der ungedämpften Schwingung 0. b. Die Beobachtung zeigt, dass die Amplitude nach 6

Schwingungsperioden auf 2 mm abgeklungen ist. Wie lautet die Amplitudenfunktion der gedämpften Schwingung? Wie groß sind die Abklingkonstante  und die Eigenkreisfrequenz der gedämpften Schwingung e?

c. Wie groß ist die Beschleunigung a0 zum Zeitpunkt t0?

d. Zusatzfrage: Welche maximale Geschwindigkeit erreicht die Flüssigkeitssäule?

(gibt Zusatzpunkte)

Verwenden Sie zur Vereinfachung bei allen Aufgaben g = 10 m s^-2. Abb. 2

Abb. 3 Abb. 1

Abb. 4

Lösungen:

1. Man betrachte die Punkte a und b in den beiden U-Rohrschenkeln. Da der Druck in einer Flüssigkeit nur von der Tiefe abhängt, er im Punkt a genau so groß, wie im Punkt b. Wie erkennbar ist die Oberkante der Öl- Säule genau sie hoch wie das Ende des rechten U-Rohrs. Die Ölsäule hat eine Höhe von: hÖl ^{27, 2}cm

Höhe der Wassersäule: hWasser ^{27, 2}cm^{9, 41}cm^{17, 79}cm Da der Tiefendruck in den Punkten a und b gleich ist, gilt:

3 3

17, 79

1 0, 654

27, 2

Wasser Wasser Öl

Öl

h g g

h cm cm

    

2. Die Kraft F0 300Nam Hebelarm der Länge ^2L erzeugt das

Drehmoment: M F2_L2L

Das Drehmoment bewirkt eine Kraftübertragung auf den kleinen Zylinder. Der Hebelarm hat die Länge L. Da das Drehmoment konstant ist, gilt:

1_L 2_L 2

M F L F   L

1_L 2 2_L 600

F   F  N

Der Druck in der Hydraulikflüssigkeit kann als konstant betrachtet werden (die Tiefendrücke sind gegenüber den absoluten Drücken vernachlässigbar). Da der Druck pG auf den großen Zylinder gleich dem Druck pK  p1L ist der auf den kleinen Zylinder von außen ausgeübt wir, gilt:

1 G

K L

K G

K K G

F

F F

p P

A A A

   

Fläche des kleine Zylinders: ²

K 4 K

A   D

Fläche des großen Zylinders: ²

G 4 G

A   D Einsetzen

2 2

1 2 1 2

10 600 15000 2

G G

G L L

K K

A D

F F F N N

A D

    

Kraft auf die Probe: FG ¹⁵⁰⁰⁰N Druck auf die Probe:

3

7

2 4 2

15 15 10

3, 75 10

4 4 10

G p

F kN N

p Pa

A cm ^ m

     

 3. Benennung der physikalischen Größen:

Index 0 für Standardwerte:

Luftdichte bei Standardbedingungen: ₀^Luft He-Dichte bei Standardbedingungen: 0He

Index 1 für die aktuellen Werte am Startort:

Luftdichte am Startort: ₁^Luft Heliumdichte am Startort: ₁^He 3a. Berechnung der Gasdichten am Startort:

Die allgemeine Gasgleichung

1 1

1 0

0 0

T p T

p



 ^

dient zur Berechnung der aktuellen Dichten von Luft und Helium (1^Luft und 1^He) am Startort aus den Standardwerten (₀^Luft und ₀^He):

Luftdichte am Startort: 1 ^{1 0} 0 3 3

1 0

930 273

1, 293 1,137 285 1013

Luft p T Luft kg kg

T p m m

    ^ 



Heliumdichte am Startort: 1 ^{1 0} 0 3 3 1 0

930 273

0,1785 0,1570 285 1013

He p T He kg kg

T p m m

    ^ 



Für die beschleunigte Bewegung des Ballon gilt das D’Alembertsche Prinzip:

i 0

i

F m a 



^{ }



FAFG



m ages ⁰ (*)

mit FA Auftriebskraft: 1 1

He Luft

FA V  g

und FG Gewichtskraft: ^{FG m gges }



^{mR mN V1He1He}



^g

und mges Gesamtmasse: 1 1

He He

ges R N

m m m V  wobei 1

VHe das am Boden eingefüllte Heliumvolumen, 1 1

He He

V  mHe die Masse des eingefüllten Gases, 1

Luft die Luftdichte am Startort, mR die Rüstmasse und mN die Masse der Nutzlast bedeuten.

Es ist: m_Rm_N 60kg

Es folgt aus Gl. (*):

 

^{V1He1Luft g}

 

^{ mRmN V1He1He}



^g



^



^{mRmN V1He1He}



^a0

   

1^He 1^Luft _{R N} 1^He 1^He _{R N} 1^He 1^He a 0

V m m V m m V

         g 

 

1^He 1^Luft _{R N} 1^He 1^He 1 a 0

V m m V

      g

 

nach Aufgabenstellung ist: 4 10 0, 4 a

g  

 

1^He 1^Luft 1, 4 1^He 1^He 1, 4 _{R N} 0

V   V    m m 

  ^{ }

1^He 1^Luft 1, 4 1^He 1, 4 _{R N} V      m m

 

 

1 3

1 1

1, 4 1, 4 60

1, 4 1,137 1, 4 0,1570

R N

He

Luft He

m m kg

V   kg m^

 

 

  

3 3

1

84 91,58

0,9172

VHe  m  m

3 3

1^He 1^He 1^He 91,58 0,1570 14,38 m V   m  kg m^  kg

Vergleich: ^{4 3} 904,78 ³

B 3

V  R  m das Prallvolumen des Ballon ist also erheblich größer. Der Ballon wird beim Start also nur etwa zu 10% mit Helium gefüllt.

3b. Mit steigender Höhe wird die Luftdichte geringer. Zunächst dehnt sich das He-Gas im Ballon aus, bis der gesamte Ballon prall gefüllt ist (dies wird in der vorliegenden Aufgabe nicht näher betrachtet). Danach bleibt das Auftriebsvolumen konstant. Es ist gleich dem Ballonvolumen VB. Wenn man ein konstantes Auftriebsvolumen hat, wird mit steigender Höhe der Auftrieb geringer.

In der Maximalhöhe gilt: ^{FA VB Luft}



^Hmax



^{g }



^{mRmN V1He1He}



^{g FG}

Die Luftdichte ^Luft(Hmax) in der Höhe Hmax ergibt sich nach der barometrischen

Höhenformel: max 1 ⁰ max

0

( ) exp

Luft

Luft Luft

Luft

H g H

p

     

    

 

mit:

3 2

0 0

1, 293 9,81 1

1013 7986

Luft Luft

g kg m m s

p hPa m

   ^{ } 

Einsetzen: ^{VB 1Luftexp}^₇₉₈₆^Hmax_m^^{g }



^{mR mN V1He1He}



^g

 

max 1 1

1

exp 7986

He He

R N

Luft B

H m m V

m V





   

 

 

 

1 max

1 1

7,986 ln

Luft B

He He

R N

H km V

m m V



  

 

max

904,78 1,137 7,986 ln

60 91,58 0,1570

H  km 

 

max

1028,73

7,986 ln 7,986 2,6269

74,38

H  km  km

max 20,978

H  km

Da der Ballon nur sehr wenig He-Gas verliert, kann er sehr lange in etwa dieser Höhe verbleiben.

4a. Die Differenz der Flüssigkeitssäulen im linken und rechten Teil des U-Rohrs entspricht einer Flüssigkeitssäule der Höhe ^2x. Der Schweredruck am Boden einer Flüssigkeitssäule mit der Höhe 2x gegeben durch:

S Fl 2

p   g x

Druck multipliziert mit der Querschnittsfläche A der Säule ergibt die rückstellende Kraft:

Rück S 2 Fl

F  p A      g A x Gesamtmasse der Säule: mFl V Fl A l

(Dies ist eine Näherung: Man betrachtet dazu statt der U-förmigen Flüssigkeitssäule eine zylinderförmige Säule der Länge l und der Querschnittsfläche A)

D’Alembertsches Prinzip: _i 0

i

F m x

   

 





^ ^{ hier: FRückm x0} Einsetzen: ²Fl   g A x Fl   A l x ⁰

Es folgt: ^{l x    } ^{2 g x 0}

Standardform der DGL: 0²

2g 0

x x x x

l 

     

 

mit:

2

1 0

2 2 10

0,8 5,0

g m s

l m s

    ^  ^

Schwingungsdauer: 0

2 2 1, 257

2 5

T l s s

g

 

  

Lösung für x(t): x t( )x_mcos



0t



4b. In der Vorlesung wurde die Lösung für eine gedämpfte Schwingung mit den

Anfangsbedingungen x t



⁰



xm und v0 x t( 0) 0 abgeleitet (Siehe Formelsammlung):

   

( ) _m ^t sin _e cos _e

e

x t x e ^  t  t



  

    

 

Setzt man tn  n Te,

so folgt: x t( _n  n T_e)x e_m ^nTe Für n = 6 soll nach Aufgabenstellung 4b. gelten:

(6 _e) 0, 2 10 6^Te

x T  cm cm e ^{  }

Es folgt: 1

ln 6

50    T^e Lösung für :

2 2

ln 50 0

ln 50 ln 50

6 6 2 6 2

e

Te

 

 

 

 

   

 

 

2

2 2 2

0

ln 50

 12  



 

  

 

2 2

2 2

0

ln 50 ln 50

1 12 12

 

 

     

    

     

 

2

1 2

1 12 ln 50

g

 l

  

 

  

Exakte Lösung:  0,10320 0,5161s^1 (Bem: In diesem Fall wäre auch die Näherung:

1 1

0

ln 50 ln 50

0,1038 5 0,5188

12 ^e 12 s s

  

 

 

    

akzeptabel.)

Die Eigenkreisfrequenz der gedämpften Schwingung ist:

2 2

0 0 2

1 1 1 12

ln 50

e   

     

 

  

 

1

0,9947 0 4,9735

e s

    ^

4c. In der Vorlesung wurde die Lösung für die Geschwindigkeit einer gedämpften Schwingung mit den Anfangsbedingungen x t



⁰



xm und v0 x t( 0) 0 abgeleitet

(Siehe Formelsammlung): ^{( )} m ^{02 t sin}

 

e e

x t x  e ^ t



   



Ableitung von x t( ): ^{( ) m 02}



^t

 

^sin

 

^{e t ecos}

 

^e



e

x t x  e ^   t e ^  t



 

     



Beschleunigung: ^{( ) m 02 t}



e^cos

 

e ^sin

 

e



e

x t x  e ^  t   t



 

  



Für t 0 gilt: 0 ( 0) ^{m 02} 1



_e 1 0



_m 0²

e

x x t x    x 



          

 

2

0 0,1 5,0 m2 2,5m2

x   s  s



4d. Zusatzaufgabe: Die Maxima und Minima der Geschwindigkeit entsprechen den Nullstellen

der Beschleunigungsfunktion: ^{( ) m 02 t}



e^cos

 

e ^sin

 

e



e

x t x  e ^  t   t



 

  



Die Beschleunigung ist also genau dann bei t T max gleich Null,

wenn _ecos



_eTmax



sin



_eTmax



0



max

 

max



cos sin

e eT eT

   



max



⁰

0

0,9947

tan 9,5829

0,1038

e

eT  

  

   



Es folgt: _max 0, 4669 0,9338

eT 2

    

max

0

0,9338 1

0,9947 2

T 

  



0 0

max 0,9388 0,9388

2 2 4

T T

T 

    

Kommentar: Eine ungedämpfte Schwingung hat das Geschwindigkeitsmaximum bei ⁰ 4 T . Bei der gedämpften Schwingung wird das Geschwindigkeitsmaximum früher erreicht, im Beispiel beträgt die Abweichung ~6,1%.

Max. Geschwindigkeit:

2 0,9388 0

0 4 0

( ) sin 0,9947 0 0,9388

4

T m

e

x T

x t  e ^ 



   

    

 mit 0

0

2 T

   ( ) ^{02 0,938840} sin 0,9338

2

T m

e

x t x  e ^ 



   

   



0 0

0,9388 0,9388

0 4 4

( ) 0,9946 0.9999 0

0,9947

T T

m

m

x t  x  e^{ }   x  e^{ }

0 0

0,10382 0,93884 0,09742

0 0

( )

T T

m m

x t x e x e

 

 ^{ }  ^

   



( ) _m 0 0,8581 x t x  

( ) 0,10 5,0 1 0,8581 0, 4290m

x t m s

s

    

