Fachhochschule Hannover 01.07.2008 Fachbereich Maschinenbau Zeit: 90 min Fach: Physik II im SS08 Hilfsmittel: Formelsammlung zur Vorlesung

Fachhochschule Hannover 01.07.2008 Fachbereich Maschinenbau Zeit: 90 min Fach: Physik II im SS08 Hilfsmittel: Formelsammlung zur Vorlesung 1. Ein Floß besteht aus zehn aneinander gebundenen Baumstämmen. Jeder hat einen

Durchmesser von 40 cm und eine Länge von 5,85 m. Wie viele Personen (mP ⁷⁰kg) kann das Floß aufnehmen ohne dass diese nasse Füße bekommen, wenn das Holz eine Dichte von

0,65 3

H g cm

  ^ besitzt und

a. in einer Meeresbucht betrieben werden soll (_W1 1,032g cm^3).

b. Was passiert wenn das Floß mit der in 1a. bestimmten maximalen Personenzahl in eine Flußmündung mit einer Wasserdichte von _W2 1, 000g cm^3 steuert? Begründung!

2. Die Reifendruckmessgeräte an der Tankstelle messen den Reifendruck relativ zum äußeren Luftdruck. Ein PKW mit einer Leermasse von 1570 kg wird im Normalbetrieb mit einem Reifendruck von 2,1 bar befüllt.

a. Wie groß ist die Reifenaufstandfläche (bei einem Fahrzeug mit vier Rädern)?

b. Auf einer Urlaubsreise wird der PKW bis zur höchsten zulässigen Gesamtmasse von 2095 kg beladen. Wie muss der Fahrer den Reifendruck anpassen, damit die

Reifenaufstandfläche gegenüber dem Normalbetrieb gleich bleibt.

c. Bei langen Matsch- oder Sandstrecken soll man im Extremfall den Reifendruck auf 0,5 bar senken. Warum ? Was ändert sich?

3. Eine Masse ^m wird in unterschiedlichen Anordnungen (a) und (b) mit zwei Federn verbunden, die die

Federkonstanten D1D2 D besitzen.

a. Welches Verhältnis haben die Schwingungsdauern T Ta b ? b. Welche Werte ergeben sich für Ta und Tb, wenn ^m1kg

und D200N m^1.

c. Betrachten Sie die Anordnung (b) mit den Daten von 3b.:

Zum Zeitpunkt t0 soll die Auslenkung ^{x t( 0) 0 cm} betragen und der ruhenden Masse ^m ein Kraftstoß in +x- Richtung (z. B. ein Hammerschlag mit einer mittleren

Kraft von F 400N während einer Kontaktzeit von ^{ t 0,005s}) versetzt werden.

Berechnen Sie die Auslenkung und die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt ^t2s.

4. Ein dünner Stab der Länge ^L0,6m und der Masse ^m0,8kg wird um einen Punkt, der von dem einen Ende 20 cm und von dem anderen 40 cm entfernt ist, drehbar aufgehängt.

a. Wie groß ist die Schwingungsdauer der ungedämpften Schwingung.

b. Wie lang müsste ein Faden sein, damit eine daran hängende Masse mit derselben Schwingungsdauer schwingt?

c. Das Pendel soll um einen Winkel von 32° ausgelenkt werden und anschließend frei schwingen. Nach 6 Schwingungen ist der maximale Winkelausschlag nur noch 4° beträgt.

Wie groß ist die Abklingkonstante?

d. Welche Energie hat das Pendel bei der Auslenkung von ^



^t0



^{ 32} ? e. Welche Energie hat es nach einer Schwingungsdauer?

5. Beschreiben Sie erzwungene Schwingungen für unterschiedliche Dämpfungen:

a. Skizzieren Sie Resonanzkurven für vier Abklingkonstanten  mit ^{0 }



^{1 2}



^0

b. Was passiert, wenn für die Abklingkonstante ^{ }



^{1 2}



^0 gilt? Begründung!

c. Skizzieren Sie den Winkel  der Phasenverschiebung als Funktion von  _{a 0}.

Verwenden Sie zur Vereinfachung g = 10 ms^-2

Lösungen:

1a. Wenn die auf dem Floß bedindlichen Personen keine nassen Füsse bekommen sollen, muss

gelten: Auftriebskraft Gewichtskraft

 

1

W VHolz g mHolz mMenschen g

     

   

Menschen W Holz Holz W Holz Holz Holz

m   V m   V  V

 

²

Menschen W Holz 4

m    n  D  L

     

 

 



^{1,032 0,65}



^{3 10 402 2 600}

Menschen 4

m  g cm^  cm  cm

     

 

 

Menschen 2808

m  kg

Maximale Zahl der Personen ist 40: mMenschen ^{40 70} kg ²⁸⁰⁰kg²⁸⁰⁸kg 1b. Vergleich von Auftriebskraft und Gewichtskraft.

Auftriebskraft: FA W2VHolzg

2 2

3 3 40 2

10 10 585 10

A 4

F  _ kg cm_   cm cm m s_ 73,51

FA  kN

Gewichtskraft: Fg 



mMenschenmHolz



g



mMenschenHVHolz



g

2 2

3 3 40

40 70 0,65 10 10 585

g 4

F   kg  _ g cm_   cm  cm g

 

 



^{2800 4778}



⁷⁵⁷⁸

Fg  kg kg g kg g 75,78

Fg  kN

Da die Auftriebskraft kleiner als die Gewichtskraft ist, sinkt das Floß.

2a. Reifendruck: _R 2,1 2,1 10^{5 R}

R

p bar Pa F

    A

wobei: FR - Gewichtskraft des PKW pro Reifen

AR - Reifenaufstandsfläche

Lösung: 4 1570 10₅ 4₂ ^{2 2}

1,87 10 2,1 10

R g R

R R

F F N

A m

p p N m





     

mit Fg - Gewichtskraft des PKW

2 2 2

1,87 10 187 AR   ^ m  cm 2b. Umstellen nach Reifendruck:

2

5

2 2

4 2095 10 0, 25

2,80 10 1,8710

g R

R

F kg ms

p Pa

A m



 

 

   

R 2,8

p  bar

2c. Ein niedriger Reifendruck vergrößert die Kontaktfläche von Reifen und Untergrund. Da Druck und Kontaktfläche umgekehrt proportional sind, erreicht man pR ^0,5bar eine

Kontaktfläche von:



^0,5



^{2,1 187 2 785 2}

R R 0,5

A p bar bar cm cm

  bar 

3a. Anordnung (a):

Wenn zwei Federn entsprechend Abb. (a) in Reihe angeordnet werden, ist die Kraft an beiden Federn gleich: F1F2 F

Der Federweg für beide Federn in Reihe xges ist die Summe der Federwege der Einzelfedern:

1 2

xges  x x

Es gilt: F1D x1 1 und F2 D x2 2

und es folgt: FD x1 1 und F D x2 2

Einsetzen:

1 2

ges

F F x  D D

1

1 2

1 1

F xges

D D

 

   

 

mit:

1

1 2

,

1 2 1 2

1 1

ges a

D D D

D D D D

  

     Für die Eigenkreisfrequenz des Federpendels der Abb. (a) gilt:

, 0,

0, ges a 2

a

a

D

m T

   



1 2

  

2 2 2

0,

1 2

4 4

a

m D D m D D

T  D D  D D

 

 

2 2

0,_a 4 2 m

T    D (*)

Anordnung (b):

Herleitung der Schwingungsdauer: Auf die Masse m wirkt die Summe der Zugkraft der Feder (1) und der Druckkraft der Feder (2) (oder umgekehrt). Die Zugkraft der einen Feder wirkt immer in gleiche Richtung wie die Druckkraft der anderen.

D'Alembertsches Prinzip:



D x D x1  2



m x0



 D1 D x m x2



 0

1 2 0

D D

x x

m

  



Es folgt: 0, ^{1 2}

0,

2

b

b

D D

m T

    

2 2 2

0,

1 2

4 4

b

m m

T   D D   D D

 

2 2

0,

4 1

b 2 T m

 D

   (**)

Für das Verhältnis der Schwingungsdauer soll gelten:

2 0, 0,

2 4

0,5

a b

T T

 

 

 

 

 

Lösung: ^0,

0, a 2

b

T T 

3b. Anordnung (a): 0,^{2 2} 1 ²

4 2 1 0,3948

a 200

T kg s

 N m_

   

0,_a 0,6283

T  s

Anordung (b): ^{0,2 2} 1 ²

1 1

4 0,0987

2 200

b

T kg s

 N m_

   

0,_b 0,3142

T  s

3c. Es gilt: Kraftstoß = Impulsänderung

 

0



0 0



0

F t dt      F t p m v m v  m v



Für v0 ergibt sich:

 

0 ¹

400 0,005

0 2

1

F t N s

v t v m s

m kg

   

    

Allgemeine Lösung eines ungedämpften schwingenden System (siehe Formelsammlung):

 

sin( 0 )

x t  A  t

Es folgt für die Geschwindigkeit: v t

 

x t

 

 A 0cos(0t) Anfangsbedingung Nr.1: ^{x t}



^0



^0



0



0 sin( 0 0 ) sin( ) x t   A     A  Nicht-triviale Lösung: ^{sin( ) 0}  also  0

Anfangsbedingung Nr.2: v t



0



v0 x t0

 

 A 0cos(0 0 ) Da  0 folgt: v t



0



v0 x t0

 

 A 0  1 A 0

Es ist:

1

1 2 1

0,

2 200 1 20

b

D D N m

m kg s

   ^{ }

   (siehe 3b.)

1 0

1 0

2 0,1

20 v m s

A m

 s



   

Funktion der Auslenkung: ^{x t}

  

^{ 0,1m}



^{sin 20}

 

^s1



^t



Funktion der Geschwindigkeit: ^{v t}

  

^{ 0,1m}



^



^20s1



^{cos 20}

 

^s1



^t



Lösung für Auslenkung: ^{x t}



^2s

 

^{ 0,1m}



^{sin 20}

 

^s1



^2s





²



^{0,0745 7, 45}

x t s  m cm

Lösung für Geschwindigkeit: ^{v t}



^2s

 

^{ 0,1m}



^



^20s1



^{cos 20}

 

^s1



^2s





²



^{1,33 1}

v t s   m s^

4a. Der drehende Stab mit Länge L stellt ein physikalisches Pendel dar. Nach Steinerschem Satz

gilt für das Trägheitsmoment: 1 ^{2 2}

ges 12

J  m L m d wobei h der Abstand zwischen Dreh und Schwerpunkt ist.

Es gilt: ^{d 10cm}

2 2 2 2

1 0,8 0,6 0,8 0,1

ges 12

J   kg m  kg m 0,032 2

Jges  kg m

Eigenfrequenz: 0 2 2 ¹

0,8 10 0,1

5,0000 0,032

m g d kg m m

J kg m s s

   ^

  

Schwingungsdauer: 0

0

2 1, 2566

T  s

   4b. Mathematisches Pendel:

l

 g

0

Pendellänge:

2

2 2 2

0

10 0, 4

5 g m s

l m

 s



   

4c. Laut Formelsammlung gilt für die Auslenkung einer gedämpften Schwingung für die Anfangsbedingungen 



t0



0  32 und ^



^t0



^0.

     

_



 



 

 e^ t t

t ^t _e _e



 

 ^ sin cos

0 0

Umrechnung ins Bogenmaß:

 

0

0 32 0,5585

t 180

      



mit: e² 0²²

Für t ⁶Te gilt laut Aufgabenstellung: 



⁶Te



 ⁴

Umrechnung ins Bogenmaß:



⁶



^{4 0,0698}

e 180

 T    





⁶



^{4 4 0,0698}

e 180

 T      



Es gilt:

 

0 ⁶

   

0

6T_e e ^{ Te}  sin _e6T_e cos _e6T_e

   



  

   

 

Es ist: ^sin



e⁶ e



^sin e^{62 sin 6 2}

 

⁰

e

T 

  



 

    

 

und: ^cos



e⁶ e



^cos e^{62 cos 6 2}

 

¹

e

T 

  



 

    

 

Es folgt: 



6T_e



0e^6Te

 

6

0

6Te Te

e ^





 



⁰



1 ln 6T_e 6T_e

 

 

Exakte Beziehung für : ⁶¹Te^ln



⁶⁰Te



⁶¹Te^{ln324 6ln 8}Te

 



  

  

Näherungslösung: Setze T_e T0



⁰



⁰

0 0

ln 8 1 ln

6T 6T 6 2

 

  

  



1

5 ln 8 1

0, 2758 12

s s

 

  

 

--- Man kann die Abklingkonstante aber auch exakt bestimmen:

Es gilt: 0^{2 2}

2  

_e  

 

²

2 2

2 2 2 2

0

4 4 ln 8

e 6 e

T T T

   

 

²

2 2

2 2 2 2

0

4 ln 8 4

1 4 6

Te T

 



 

  

 

 

 

²

0 0

2 2

1 ln 8 1 0,003043

4 6

Te T T

      

1,00152 0

Te T

0

ln 8 0,99848

6 1,00152 T ^Näherung

   

 

0,99848 0, 2754 1

exakt Näherung s

    ^

Der Unterschied ist aber vernachlässigbar. Für diese Lösung gibt es Sonderpunkte.

---

4d. Die potentielle Energie entspricht der Hubarbeit für den Schwerpunkt:



³²



pot S

E m g h 

mit:



³²



(20 )

cos32 d h 1 h

d d

  

   

   

(32 ) 1 cos32 0,1 1 0,8480 0,01520

h  d    m   m

Potentielle Energie: Epot m g hS



³² 



^0,8kg¹⁰m s^2^0,01520m

 

^{32 0,1216}

pot S

E m g h   J

4e. Beim Schwerependel (mathematisches oder physikalisches Pendel) verwendet man eine lineare Näherung für das Rückstelldrehmoment (bzw. für die Rückstellkraft):

 

^*

M   D

Die Schwingungsenergie ist dann proportional zum Quadrat der maximalen Auslenkung:

* 2

1

pot 2

E  D

Es folgt:

 

^*

   

^{2 * 0}

^{   }

²

0

1 1

1 sin cos

2 2

Te

pot e e e e e

E t T D  t D  e ^   T  T



    

       

Da gilt, ^sin



eTe



⁰ und ^cos



eTe



¹ folgt:

 

^* 0^{2 2}

 

²

1 0

2

e e

T T

pot e pot

E T  D  e^{  } E t  e^{  }

  

⁰



^{2 e}

pot e T

pot

E T E t e



  

 

Es gilt (siehe Aufg. 4c.): ln 8 ¹

0,3466

e 6

T s

   ^

Es folgt:

 

 

^{2 0,3466} 0, 4999 ~ 50%

 

0

pot e pot

E T E t e

   

 

Lösung: E_pot

 

T_e 0, 4999 0,1216 J 0,0608J 5a. Siehe Vorlesung

5b. Wenn: 0

1

  2

folgt: _R  ₀² 2² 0

Die Resonanzfrequenz ist also bei _a _R ⁰, d. h. es gibt keine Amplitudenüberhöhung.

5c. Siehe Vorlesung